理论力学9—刚体的平面运动

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在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始 终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。

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9.1 刚体平面运动概述和运动分解刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行, 并以此去截割刚体得一平 面图形 S 。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。 A1 N A S

A2

M

刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。

9.1 刚体平面运动概述和运动分解平面图形 S 在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段 O'M 的位置来 确定，而要确定此线段的位置，只需 确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段 O'M 与固定坐标轴 Ox 间的夹角 即可。 点 O' 的坐标和 角都是时间的函数， 即 y S M

O'O

x

xO f1 (t ), yO f 2 (t ), f3 (t )这就是平面图形的运动方程。

平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按 点O'的运动方程xO' = f1(t), yO' = f2(t)的平移，没有转动；另一部分 是绕O'点转角为 = f3(t)的转动。

9.1 刚体平面运动概述和运动分解平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以 解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以 轮心点O'为原点取动参考系O'x'y',则车厢的平动是牵连运动， 车轮绕平动参考系原点 O' 的转动是相对运动，二者的合成就是 车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子作平面运动时，可在轮心 O'处固连一个平动参考系 O'x'y',同样可把轮子这种较为复杂的 平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。 y'

y'

O'

x'

O'

x'

9.1 刚体平面运动概述和运动分解对于任意的平面运动， 可在平面图形上任取一点 O' , 称为 基点 。在这一点假想地 安上一个平移参考系O'x'y'; 平面图形运动时，动坐标轴 方向始终保持不变，可令其 分 别 平 行 于 定 坐 标 轴 Ox 和 Oy 。于是平面图形的平面 运动可看成为随同基点的平 移和张基点转动这两部分运 动的合成。

y

y'

O' O

x'x

9.2 求平面图形内各点速度的基点法1. 基点法已知O'点的速度及平面图形转动 的角速度，求M点的速度。

vM vMO'wO' M

v a ve v r vM vO vMO

vO'

vO'

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速 度合成法或称基点法。

例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm,滑块A 的速度vA=10 cm/s ,求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块 B和连杆中点M的

速度。

解: AB作平面运动，以A为基点， vB 分析B点的速度。

vBA30°

v B v A v BA由图中几何关系得：

vA

B w AB M30°

vB vA cot 30 10 3 cm/s vA vBA 20 cm/s sin 30w ABvBA 1rad s l方向如图所示。

vA

A

以A为基点，则M点的速度为

vM v A vMA

yB vM

将各矢量投影到坐标轴上得：

x : vM cos vA vMA sin 30

vMA M w AB30°

y : vM sin vMA cos 30 解之得

vA

x A

vA

vM 10cm s

tan 3

60

例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1;行星齿轮II沿 轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速 度wII及其上B,C两点的速度。

解 : 行星齿轮 II 作平面运动，求得 A 点的速度为

B vA vA D vDA

C A II wII

vA wO OA wO (r1 r2 )以 A为基点，分析两轮接触点 D 的 速度。wOOI

vD v A v DA由于齿轮 I 固定不动，接触点 D 不 滑动，显然vD=0,因而有vDA=vA = wO(r1+r2) ,方向与 vA 相反， vDA 为点D相对基点A的速度，应有vDA =wII· DA。所以

vDA wO (r1 r2 ) wII DA r2

以A为基点，分析点B的速度。

v B v A v BAvBA wII BA wO (r1 r2 ) vAvBA与vA垂直且相等，点B的速度2 2 vB v A vBA 2v A 2wO (r1 r2 )

vC vA vB vBA B vA D vCA

vA

C

A II wII

以A为基点，分析点C的速度。

wOOI

vC v A vCAvCA wII CA wO (r1 r2 ) vAvCA与vA方向一致且相等，点C的速度

vC vC vA 2wO (r1 r2 )

9.2 求平面图形内各点速度的基点法2. 速度投影定理

v B v A v BA

vBvBAB

将等式两边同时向AB方向投影:

[v B ]AB [v A ]AB [v BA ]AB由于vBA垂直于AB,因此 [vBA]AB=0。于是

vA

wA

vA

[v B ]AB [v A ] AB

同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的 投影相等。这就是速度投影定理。

例3 用速度投影定理解例1。 解：由速度投影定理得

[v B ]AB [v A ] ABv A cos30 vB cos 60

vB B

解得

30°

vB 10 3 cm s

vA

A

9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法设有一个平面图形 S 角速度为 w ,图形上点 A 的速度为 vA , 如图。在 vA的垂线上取一点 C ( 由 vA 到 AC 的转向与图形的转 向一致),有vCASN C

vAA

vC vA w AC如果取AC= vA /w ,则

vC vA w AC 0

w

vA

定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点。

该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。

9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离 成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线， 指向图形转动的一方。

vA vDwC C

D

A

v

BwB

9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法确定速度瞬心位置的方法有下列几种： (1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图 形与固定面的接触点 C 就是图形的速度瞬心。 如车轮在地面上作无滑动的滚动时。

vC

9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速 度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。C

vAw

wAB

A

O

vB

B

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3eoi.html