一元二次方程二次函数圆旋转一次函数

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所示，则a的取值范围为_____________．

14．解方程：(x 2) 6(x 2) 9 0．

2

16．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3) （1）求二次函数的解析式；

（2）当x＝______时，该二次函数有最______值(填“大”或“小”)是___________；

18．已知抛物线y1＝x2＋4x＋1的图象向上平移m个单位(m＞0)得到的新抛物线过点(1，8)． （1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2＝a(x－h)2＋k的形式；

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，在所给的平面直角坐标

系中直接画出简图，同时请直接写出该函数在－3＜x≤－围是_______________．

3

时对应的函数值y的取值范2

23．已知：关于x的方程kx2 (2k 3)x k 3 0． （1）求证：方程总有实数根； （2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2 (2k 3)x k 3 0的两个实数根均为负整数？

1B 2A 4C 6A 7B

8．B．如图，过P做PE⊥AB，PF⊥y轴并延长交直线与点M，根据垂径定理可以求出PE

＝1，有函数图像可知∠FOA＝45°，PF＝2，所以△MFB是等腰直角三角形，FO＝FM，所以求出FM即可．

12．根据二次函数图象可知a 0，

1) 又此二次函数图象经过(1，0)，(0，

则有a b c 0，c 1，得b (1 a)，

1 a24a (1 a)2

于是y ax (1 a)x 1 a(x )

2a4a4a (1 a)21 a

根据函数图象可知x 0， 1

2a4a

于是有 1 a 0． 14．x＝5．

2

a b c 1

16．（1）根据题意，得 c 2解得a＝－1，b＝2，c＝2，所以解析式为y＝－x2＋2x

a b c 3

＋2；

（2）1；大；3． 18．（1）设平移后的抛物线的解析式为y2＝x2＋4x＋1＋m，由该抛物线过点(1，8)，得8＝

12＋4×1＋1＋m，解得m＝2．从而y2＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1．所求平移的抛物线的解析式为y2＝(x＋2)2－1．

（2）易知，翻折后的抛物线的顶点为(－2，1)，且开口向下，故翻折后的抛物线的解

33

时，y＝，但是在－3＜x≤24

33－时，y的最大值为1，在从而，该函数在－3＜x≤－时22

析式为y＝－(x＋2)2＋1(－3＜x＜－1)，此时，当x＝－对应的函数值y的取值范围是0＜y≤1．

23．解：（1）分类讨论：

若k＝0，则此方程为一元一次方程，即 3x 3 0，∴x 1有根， 若k≠0，则此方程为一元二次方程，

∴△＝ 2k 3 4k k 3 9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程总有实数根．

2

（2）∵方程有两个实数根∴方程为一元二次方程． ∵利用求根公式x 得x1

2k 3 ，

2k

6 2k3

1；x2 1， 2kk

3

∵ 1是负整数，即k是3的约数

k

∴k＝ 1， 3

但k＝1、3时根不是负整数，∴k＝ 1、 3．

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）

1．抛物线y (x 1)2 1的顶点坐标为

A．(1,1) B．(1, 1) C．( 1,1) D．( 1, 1)

2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A．2 B．3 C． 6 D．11

4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°， BD=2，则AE的长为 A．2 B．3 C．4 D．5

5．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于

A

． B

． C

． D

． 7．如图，抛物线y ax2 bx c与x轴交于点( 1,0)，对称轴为

x 1，则下列结论中正确的是

A．a 0

B．当x 1时，y随x的增大而增大 C．c 0

D．x 3是一元二次方程ax2 bx c 0的一个根

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCB＝40°，则∠A=．

10．将抛物线y x2先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个

单位长度，所得抛物线的解析式是 ．

12．已知二次函数y x2 x，（1）它的最大值为；（2）若存在实数m，n使得当

自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n

，则

1

2

m=n=．

14．已知关于x的方程x2 2x 2k 3 0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

15．已知抛物线y x2 4x 5.

（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

（2）用配方法将y x2 4x 5化成y a(x h)2 k的形式．

17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另

三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面 积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向

连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为(x,y)．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标； （2）画出点P(x,y)运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的

面积．

20．已知函数y x2 bx c（x ≥ 0），满足当x =1时，y 1，

且当x = 0与x =4时的函数值相等．

（1）求函数y x2 bx c（x ≥ 0）的解析式并画出它的

图象（不要求列表）；

（2）若f(x)表示自变量x相对应的函数值，且

x2 bx c (x 0),

又已知关于x的方程 f(x)

2 (x 0),

f(x) x k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与 ⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若OE与AD交于点F，cos BAC

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与a x的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与a x的差y ax (a x)，再 说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y的代数式整理成y (a 1)x a，要判断y的符号可借助函数y (a 1)x a的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 a2 a 2b 2c 0，a 2b 2c 3 0． （1）分别用含a的代数式表示4b，4c； （2）说明a，b，c之间的大小关系．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线y kx2 (k 2)x 2（其中k 0）．

（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n)，直接写出n的最小值； （3）将该抛物线先向右平移

4DF

，求的值．

AF5

11

个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，2k

平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要

求写自变量的取值范围）．

25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A(2,3)，

C(n, 3)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式； ② 若点Q在直线y 1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

14．解：（1） ( 2)2 4(2k 3) 8(2 k)． ……………………………………………1分

∵ 该方程有两个不相等的实数根，

∴ 8(2 k)＞0．……………………………………………………………… 2分 解得k 2．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k为符合条件的最大整数时，k 1．…………………………………… 4分

此时方程化为x2 2x 1 0，方程的根为x1 1x2 15分

15． 解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为( 5,0) 和 (1,0)． ………………………2分

抛物线与y轴的交点的坐标为(0， 5)． …………………………………3分 （2）y x2 4x 5

(x2 4x 4) 9…………………………………………………………4分

(x 2)2 9． …………………………………………………………5分

17．解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴ CD=AB=x（米）．

∵ 矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴ BC 36 2x（米）．………………………………………………………1分

∴ S x(36 2x) 2x2 36x． ……………………………………………3分 自变量x的取值范围是0 x 12． …………………………………………4分 （说明：由0 x 36 2x可得0 x 12．） （2）∵S 2x2 36x 2(x 9)2 162，且x 9在0 x 12的范围内 ，

∴ 当x 9时，S取最大值．

即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分

19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．

…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P的坐标为(3,1)．……3分 （2）点P(x,y)运动的曲线（0≤x≤4）如图3所示．

…………………………………………………4分

它与x轴所围成区域的面积等于 1． ……………………………………5分

20．解：（1）∵ 函数y x2 bx c（x≥0）满足当x =1时，y 1， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，

1 b c 1,

∴ b

2. 2

解得 b 4，c 2．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为y x2 4x 2（x≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分

（2）k的取值范围是 2 k 2．（如图5）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD．（如图6） ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA=OD， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．

∴ OD∥AE．

∵ DE⊥AC， ∴ ∠AED=90°．

∴ ODE 180 AED 90 ．…………2分 ∴ DE⊥OD． ∵ OD是⊙O的半径， ∴ DE是⊙O的切线．………………………3分

（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6） ∴ ∠OGE=90°．

∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．

∴ 四边形OGED是矩形．

∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分

在Rt△OAG中，∠OGA=90°，cos BAC ∴ GE=OD =5k． ∴ AE=AG+GE=9k． ∵ OD∥GE，

∴ △ODF∽△EAF． ∴

22．解：（1）∵ a2 a 2b 2c 0，a 2b 2c 3 0，

4

，设AG=4k，则OA=5k． 5

DFOD5

．……………………………………………………………5分 AFAE9

2b 2c a2 a,

∴

2c 2b a 3.

消去b并整理，得 4c a2 3．……………1分

消去c并整理，得4b a2 2a 3． ………2分

（2）∵ 4b a2 2a 3 (a 3)(a 1) (a 1)2 4，

将4b看成a的函数，由函数4b (a 1)2 4的性质结合它的图象（如图7所示），以及a，b均为非负数得a≥3．

又 ∵ a＜5，∴ 3≤a＜5．…………………………………3分 ∵ 4(b a) a2 6a 3 (a 3)2 12，

将4(b a)看成a的函数，由函数4(b a) (a 3)2 12的性质结合它的图象

（如图8所示）可知，当3≤a＜5时，4(b a) 0． ∴ b＜a． ……………………………………………4分

∵ 4(c a) a2 4a 3 (a 1)(a 3)，a≥3，

∴ 4(c a)≥0．∴ c≥a ．∴ b＜a≤c． ………………5

阅卷说明：“b＜a，b＜c，a≤c”得到第4分，全写对得到5分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令y 0，则 kx2 (k 2)x 2 0． 整理，得 (x 1)(kx 2) 0． 解得 x1 1，x2

22

． ∴ 该抛物线与x轴的交点坐标为( 1,0)，(,0)． …2分

kk

2 kk2 4k 42

, )． ………3分 抛物线y kx (k 2)x 2的顶点坐标为(2k4k

（2）|n|的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分

1k2 4k

)．…………………………………5分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为(,

k4k

1

x , 1 k

由 可得 y 1．

k4x y 1 4

1

∴ 所求新函数的解析式为y 1． …………………………………7分

4x

25．解：（1）图2中的m．……………………………………………………………1分

（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D(m,12)，

∴ yE yD 12，此时原题图1中点P运动到与点B重合， ∵ 点B在x轴的正半轴上，

∴ S BOC

11

OB yC OB 3 12． 22

解得 OB 8，点B的坐标为(8,0)． ………………………………………2分

此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．（如图12）．

∵ 点C的坐标为C(n, 3)， ∴ 点C在直线y 3上．

又由图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上，

∴ 点C是直线y 3与直线l的交点，且 ABM CON． 又∵ yA yC 3，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．∴ ON=BM=6，点C的坐标为C(6, 3)．………3分 ∵ 图12中

AB

∴ 图11

中DE

，OF 2xD DE …………………4分

（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．（如图13）∵ O，B两点的坐标分别为O(0,0)，B(8,0)，

∴ 由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．

AM3PG

可得PG=2．

BM6BG

∴ 点P的坐标为P(4,2)．………………5分 设抛物线W的解析式为y ax(x 8)（a≠0）．

由tan ABM

∵ 抛物线过点P(4,2)，∴ 4a(4 8) 2．解得 a ． ∴ 抛物线W的解析式为y x2 x．…………6分 ②如图14．

i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时， ∵ 点Q在直线y 1上方的抛物线W 上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为Q1(0,0)．…7分

ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时， 可知BP的中点的坐标为(6,1)，BP的中垂线的解析式为y 2x 11．

18

18

图

13

∴ 点Q2的横坐标是方程 x2 x 2x 11的解． 将该方程整理得 x2 8x 88 0.

解得x 4

由点Q在直线y 1上方的抛物线W上，结合图14可知点Q

2的横坐标为4． ∴ 点Q

2的坐标是Q219)． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q

1(0,0)，Q219)．

18

清华附中2012-2013学年初二第二学期期末试卷

5．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A．x2

12

0ax bx c 0 B．2x

C．3x2 2x 5 3x2 D．(x 1)(x 2) 1

7．关于x的方程x2 4x a 0有两实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A．a 4 B．a 4 C．a 4 D．a 4

11．关于x的方程x2 2mx m 0的一个根为1，则m的值为 12．若关于x的方程x2 kx 9 0有两个相等的实数根，则k __________． 13．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，

则∠α的度数是 。

4

x 4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A3

顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为 ．

14．如图，直线y

17．解方程：x2 4x 5 0 19．已知：a

=

1，求a2 2a 2013的值．

20．求证：a取任何实数时，关于x的方程ax2 1 3a x 2a 1 0总有实数根．

22．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花

园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的面积为300m2．

29．关于x的方程x2 k 8 x 8k 1 0有两个整数根，则整数k＝．

a2 2a 1 a 1 0 ，原方程有实根， ……4分

2

综上所述，a取任何实数时，原方程总有实数根. ……5分 22．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． ………… 1分 根据题意可得，x（50﹣2x）=300， ………… 3分 解得：x1=10，x2=15， ………… 4分 当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，

故x1=10（不合题意舍去）， ………… 5分

15米． ………… 6分

北京市101中学2009-2010学年下学期初二年级期末考试数学试卷

3. 一元二次方程x2 3x 4 0的根的情况是（ ） A. 无实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根

C. 有两个不相等的实数根

4. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，各班平均分和方差分别为

22

x甲 82,x乙 82,S甲 245,S乙 190，那么成绩比较整齐的班级是（ ）

A. 甲班

B. 乙班 D. 无法确定

C. 两班成绩一样整齐

5. 在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，82，72，82，81，81，79，83，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）

A. 81，81.5

B. 81，81

C. 82，82

D. 82，77

11. 据统计2008年我国手机年产量为5000万台，预计2010年手机年产量将达到9800万台，设这两年手机产量平均每年的增长率为x，则可列方程____________。

14. 若一个等腰三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，则此三角形的周长为__________。

15. 已知关于x的一元二次方程x2 kx k 2 0有两个相等的实根，则代数式

2k2 8k 8的值为________。

18. （本题共12分，每小题6分）

解方程：（1）x2 4x 1 0；（2）(x 3)2 2x(x 3) 0。

21. （本题6分）已知：关于x的一元二次方程x2 (m 1)x 2m 3 0。 试判断这个方程根的情况，并说明理由。

23. （本题7分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了如图所示的统计图。请你根据统计图给出的信息回答：

（1）样本中的众数是__________万元，中位数是__________万元； （2）这20个家庭的年平均收入为__________万元；

（3）如果该地区共有2000个家庭，估计该地区所有家庭的年收入总和约为__________万元。

3. A 4. B 5. A

11. 5000(1 x)2 9800 14. 11或13 15. 24 18. （1）x1 2 7,x2 2

（2）x1 3,x2 1

21. 因为 m2 6m 13 (m 3)2 4 4 0

所以这个方程有两个不相等的实数根。 23. （1）1.3，1.2

（2）1.6

（3）3200

海淀区八年级第一学期期末练习

1. 小彤的奶奶步行去社区卫生院做理疗，从家走了15分钟到达距离家900米的社区卫生

院，她用了20分钟做理疗，然后用10分钟原路返回家中，那么小彤的奶奶离家的距离S（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系图象大致是( )

2. 已知定点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1 x2）在直线y x 2上，若

t (x1 x2) (y1 y2)，则下列说明正确的是( )

①y tx是比例函数；②y (t 1)x 1是一次函数；

③y (t 1)x t是一次函数；④函数y tx 2x中y随x的增大而减小； A．①②③ 3. 函数y

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

x

的自变量x的取值范围是_______. x 5

5.如图，直线y kx b与坐标轴交于A（ 3，0），B（0，5）两点，

则不等式 kx b 0的解集为_________.

4. 如图，已知直线y

1

x b经过点A（4，3），与y轴交于点B。 2

(1)求B点坐标；

(2)若点C是x轴上一动点，当AC BC的值最小时，求C点坐标.

5. 设关于x一次函数y a1x b1与y a2x b2，我们称函数

y m(a1x b1) n(a2x b2)（其中m n 1）为这两个函数的生成函数。

(1)请你任意写出一个y x 1与y 3x 1的生成函数的解析式； (2)当x c时，求y x c与y 3x c的生成函数的函数值；

(3)若函数y a1x b1与y a2x b2的图象的交点为P（a，5），当a1b1 a2b2 1时，求代数式m(a1a b1) n(a2a b2) 2ma 2na的值

.

2

2

2

2

2

2

6. 已知A（ 1，0），B（0， 3），点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线

与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。 (1)求直线AB的解析式；

(2)若点D（0，1），过点B作BF CD于F，连接BC，求 DBF的度数及 BCE的面积；

(3)若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，且BG BA，试探究 ABG与 ACE之间满足的等量关系，并加以证明。

5．D 10．B 13. x -5 15．x 3 21. 解：(1)由点A (4, 3)在直线y 3

1

x b上, 得 2

1

4 b. 2

b=1. ∴ B(0, 1). ………………………………………1分

(2) 如图, 作点A (4, 3)关于x轴的对称点A (4, -3),

连接BA 交x轴于点C, 则此时AC+BC取得最小值. …………………………………2分 设直线BA 的解析式为y kx 1, 依题意 -3=4k+1. k=-1.

∴ 直线BA 的解析式为y x 1. …………………………………………………3分 令y=0, 则x=1.

∴ C(1, 0). …………………………………………………4分 23. 解：设长方形纸片的长为3x (x>0)cm，则宽为2x cm，依题意得

3x 2x=300. ……………………………………………………………………2分 6x2=300. x2=50.

∵ x>0， ∴ x =. ……………………………………………………………………3分 ∴ 长方形纸片的长为3cm. ∵ 50>49,

∴50>7.

∴ 3>21, 即长方形纸片的长大于20cm. …………………………………………4分 由正方形纸片的面积为400 cm2, 可知其边长为20cm, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. …………………………5分 25. 解：（1）答案不唯一. 比如取m =2时， n=-1.

生成函数为y=2(x+1)-(3x-1)=-x+3，即y=-x+3. ……………………………1分 （2）当x=c时，y=m(x+c)+n(3x-c)=2c(m+n). ……………………………………………2分

∵m n 1,

∴ y=2c(m+n)=2c . ……………………………………………3分 （3）法一：∵点 P (a, 5) 在y a1x b1与y a2x b2的图象上,

∴ a1a b1 5，a2a b2 5. …………………………………………………4分 ∴ a12a2+b12=( a1a+b1)2 -2 aa1b1 =52 -2 aa1b1, a22a2+b22= (a2a+b2)2 -2aa2b2=52 -2aa2b2. …………………………………………………5分

当 a1b1= a2b2=1时,

m(a12a2+b12) +n (a22a2+b22)+ 2ma+2na = m (52 -2a ) + n(52 -2a) + 2ma+2na =25(m+n). ∵m n 1,

∴ m(a12a2+b12) +n(a22a2+b22)+ 2ma+2na =25(m+n)=25. ……………………………6分 法二：∵点P(a, 5)在y a1x b1与y a2x b2的图象上,

∴ a1a b1 5，a2a b2 5. …………………………………………………4分 当 a1b1= a2b2 =1时,

m (a12a2+b12) +n (a22a2+b22)+2ma+2na= m (a12a2 +2aa1b1+b12) +n (a22a2 +2aa2b2+b22) =m(a1a+b1) 2+ n (a2a+b2) 2 …………………………………………………5分 =m 52+n 52=25(m+n). ∵ m+n=1,

∴ m (a12x2+b12) +n (a22x2+b22)+2ma+2na=25(m+n)=25. ……………………………6分 26. 解：（1）依题意，设直线AB的解析式为y kx 3.

∵ A（-1，0）在直线上，

∴ 0= -k-3. ∴ k=-3.

∴直线AB的解析式为y 3x 3. …………………………………………1分 （2）如图1，依题意，C（1，0），OC＝1. 由D（0，1）,得OD＝1. 在△DOC中，∠DOC＝90°，OD＝OC＝1. 可得 ∠CDO＝45°. ∵ BF⊥CD于F, ∴ ∠BFD＝90°

.

∴ ∠DBF＝90°-∠CDO =45°. …………………2分

可求得直线CD的解析式为y x 1. 图1 由

y 3x 3， x 2，

解得

y x 1，y 3.

∴ 直线AB与CD的交点为E(-2，3). …………………………………………3分

过E作EH⊥y轴于H, 则EH＝2. ∵ B(0，- 3), D(0，1), ∴ BD＝4.

∴ S BCE S BDE S BDC

11

4 2 4 1 6.………………………………4分 22

（3）连接BC, 作BM⊥CD于M.

∵ AO=OC,BO⊥AC, ∴ BA=BC.

∴ ∠ABO=∠CBO.

设 ∠CBO= ，则∠ABO= ，∠ACB=90 - . ∵ BG=BA， ∴ BG=BC. ∵ BM⊥CD,

∴ ∠CBM=∠GBM.

设∠CBM= ，则∠GBM= ，∠BCG＝90 - .

(i) 如图2，当点G在射线CD的反向延长线上时， ∵ ∠ABG=2 2 2( ),

∠ECA=180 (90 ) (90 ) .

∴ ∠ABG=2∠ECA. ……………………6分 (ii) 如图3，当点G在射线CD的延长线上时， ∵ ∠ABG=2 2 2( ), ∠ECA=(90 ) (90 ) .

∴ ∠ABG=2∠ECA. ……………………7分

综上，∠ABG=2∠ECA.

说明：第（3）问两种情况只要做对一种给 2分；累计3分.

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