数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用

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【2013年高考会这样考】 1.考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力. 【复习指导】 1.熟练把握等差数列与等比数列的基本运算. 2.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、 “数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. 3.注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法.

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基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表

不同点

相同点 (1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项 等差 数列 与前项的差；(2)a1和d可 以为零；

关系；(2)结果都必须是同 一个常数； (3)数列都可由a1, d或a1,q确定

(3)等差中项唯一

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(1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项等比 与前项的比； 数列 (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值

关系； (2)结果都必须是同

一个常数；(3)数列都可由a1, d或a1,q确定

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2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问 题，弄清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

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3.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型， 增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是 等比模型，这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的 变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是Sn与Sn+1之间的递推关 系.

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一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系， 优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列 概念和方法中的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已 指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为 等差数列或等比数列

,然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.

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(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比 数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与 函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列 在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这 一部分内容也将受到越来越多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调 性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.

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双基自测 1.(人教A版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等 比数列，则a2的值为( A.-4 解析 答案 ).

B.-6 C.-8 D.-10

由题意知：a2=a1a4.则(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得：a2=-6. 3 B

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2.(2011· 运城模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且4a1,2a2,a3成 等差数列，则S4=( A.7 解析 ).

B.8 C.15 D.16 设数列{an}的公比为q,则4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,即q2-

1-24 4q+4=0,∴q=2.∴S4= =15. 1-2 答案 C

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3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a6 =b7,则有( ).

A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定 解析 记等比数列{an}的公比为q(q>0),由数列{bn}为等差数列可知b4+b10

=2b7,又数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3+a9=a3(1+q6)= 1+q6 1+q6 1+q6 1 a6 3 =b7 3 ,又 3 = 3+q3≥2(当且仅当q=1时，等号成立),∴ q q q q

a3+a9≥2b7,即a3+a9≥b4+b10. 答案 B

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4.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b +c=10,则a=( A.4 解析 ).

B.2 C.-2 D.-4 由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三个实数a,b,c,待定为

cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得2b=a+c,即2cq2=cq+c,又等比 数列中c≠0,所以2q2-q-1=0,解一元二次方程得q=1(舍去，否则三个 1 a 5 实数相等)或q=-2,又a+3b+c=a+3aq+ =-2a=10,所以a=-4. q 答案 D

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5.(2012· 苏州质检)已知等差数列的

公差d<0,前n项和记为Sn,满足S20> 0,S21<0,则当n=________时，Sn达到最大值. 解析 ∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,

S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0, ∴n=10时，Sn最大. 答案 10

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考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例1】 在等差数列{an}中，a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项an; (2)令bn=2an-10,证明：数列{bn}为等比数列. [审题视点] 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an;第(2)问利用定义证明.

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(1)解 由an=a1+(n-1)d,a10=30, a +9d=30, 1 a20=50,得方程组 a1+19d=50, a =12, 1 解得 d=2.

∴an=12+(n-1)· 2=2n+10.+10 -10

(2)证明 由(1),得bn=2an-10=22n bn+1 4n 1 ∴ = n =4. bn 4+

=22n=4n,

∴{bn}是首项是4,公比q=4的等比数列. 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数 列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与 化归的思想方法.

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【训练1】 数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn,且T3=15, 又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn. 解 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),

两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1. 故{an}是首项为1,公比为3的等比数列，∴an=3n-1.

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(2)设{bn}的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得d1=2,d2=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正，∴d>0, n n-1 ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ 2 ×2=n2+2n.

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考向二 数列与函数的综合应用 【例2】 (2012· 南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈ N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值； n+1 (2)当b=2时，记bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. 4an [审题视点] 第(1)问将点(n,Sn)代入函数解析式，利用an=Sn-Sn-1(n≥2),

得到an,再利用a1=S1可求r. 第(2)问错位相减求和. 解 (1)由题意，Sn=bn+r,当n≥2时，Sn-1=bn-1+r,所以an=Sn-Sn-1= bn-1· (b-1),

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由

于b>0且b≠1,所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1=b+ b b-1 a2 r,a2=b(b-1), =b,即 =b, a1 b+r 解得r=-1. (2)由(1)知，n∈N ,an=(b-1)b n+1 2 3 4 Tn=22+23+24+ + n+1 , 2 n+1 1 2 3 n 2Tn=23+24+ +2n+1+ 2n+2 ,* n-1

=2

n-1

n+1 n+1 ,所以bn= - = + . 4×2n 1 2n 1

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n+1 1 2 1 1 1 两式相减得 Tn= 2+ 3+ 4+ + n+1- n+2 2 2 2 2 2 2 n+1 3 1 = - n+1- n+2 , 4 2 2 3 1 n+1 3 n+3 ∴Tn=2- n- n+1 =2- n+1 . 2 2 2 此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的 数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等.

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13 【训练2】 (2011· 福建)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3= 3 . (1)求数列{an}的通项公式； π (2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x= 6 处取得最大值，且最大值 为a3,求函数f(x)的解析式.

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