2020年湖北省襄阳市中考数学试卷及答案解析

2020年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.?2的绝对值是()

A. ?2

B. 2

C. ?1

2D. 1

2

2.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG

平分∠BEF，若∠EFG=64°，则∠EGD的大小是()

A. 132°

B. 128°

C. 122°

D. 112°

3.下列运算一定正确的是()

A. a+a=a2

B. a2?a3=a6

C. (a3)4=a12

D. (ab)2=ab2

4.下列说法正确的是()

A. “买中奖率为1

10

的奖券10张，中奖”是必然事件

B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件

C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨

D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

5.如图所示的三视图表示的几何体是()

A.

B.

C.

D.

6.不等式组{x?4≤2(x?1),

1

2

(x+3)>x+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是()

A. B. C. D.

7.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下

结论错误的是()

A. DB=DE

B. AB=AE

C. ∠EDC=∠BAC

第1页，共18页

第2页，共18页 D. ∠DAC =∠C

8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100

片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若

设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是( )

A. {x +y =100y =3x

B. {x +y =100x =3y

C. {x +y =10013x +3y =100

D. {x +y =10013y +3x =100

9. 已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是( )

A. OA =OC ，OB =OD

B. 当AB =CD 时，四边形ABCD 是菱形

C. 当∠ABC =90°时，四边形ABCD 是矩形

D. 当AC =BD 且AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形

10. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：

①ac <0；②3a +c =0；③4ac ?b 2<0；④当x >?1时，

y 随x 的增大而减小．

其中正确的有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 函数y =√4x ?2中，自变量x 的取值范围是______．

12. 如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =20°，则∠C =______．

13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经

的一种卦图，图中每一卦由三根线组成(线形为

或)，如正北方向的卦为，从图中三

根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根

和1根的概率为______．

14. 汽车刹车后行驶的距离s 与行驶时间t(秒)的函数关系是s =15t ?6t 2，汽车从刹车

到停下来所用时间是______秒．

15. 在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于______°.

16. 如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将△ADE 沿DE 折

叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于

点N ，连接BN.若BF ?AD =15，tan∠BNF =√5

2，则矩形ABCD 的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 先化简，再求值：(2x +3y)2?(2x +y)(2x ?y)?2y(3x +5y)，其中x =√2，

y =√6

2?1．

18.襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑

万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，

工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在

小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一

条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°，

BD=560米，∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多

少米？

(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)

19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方

式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的4

，这样120吨水可多用3天，

5

求现在每天用水量是多少吨？

20.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习

数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值，不含后端点值)．

信息二：第三组的成绩(单位：分)为747173747976777676737275

根据信息解答下列问题：

(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；

(2)第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是

______分；

(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为

______人．

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21.如图，反比例函数y1=m

x

(x>0)和一次函数y2=kx+b的图

象都经过点A(1,4)和点B(n,2)．

(1)m=______，n=______；

(2)求一次函数的解析式，并直接写出y1

(3)若点P是反比例函数y1=m

x

(x>0)的图象上一点，过点P

作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为______．

22.如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC?=BC?，

连接AE，AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．

(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．

23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，

八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；

(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千

克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？

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24.在△ABC中，∠BAC═90°，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE

交边BC于点F，连接CE．

(1)特例发现：如图1，当AD=AF时，

①求证：BD=CF；

②推断：∠ACE=______°；

(2)探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理

由；

(3)拓展运用：如图3，在(2)的条件下，当EF

AF

=1

3

时，过点D作AE的垂线，交AE

于点P，交AC于点K，若CK=16

3

，求DF的长．

25.如图，直线y=?1

2x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=?1

4

x2+bx+c经

过点A，点C，且交x轴于另一点B．

(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

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答案解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．

根据绝对值的定义，可直接得出?2的绝对值．

【解答】

解：|?2|=2．

故选：B．

2.【答案】C

【解析】解：∵AB//CD，∠EFG=64°，

∴∠BEF=180°?∠EFG=116°，

∵EG平分∠BEF交CD于点G，

∴∠BEG=1

∠BEF=58°，

2

∵AB//CD，

∴∠EGD=180°?∠BEG=122°．

故选：C．

根据平行线的性质得到∠BEF=180°?∠EFG=116°，根据角平分线的定义得到∠BEF=58°，由平行线的性质即可得到结论．

∠BEG=1

2

此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．

3.【答案】C

【解析】解：A.a+a=2a，故本选项不合题意；

B.a2?a3=a5，故本选项不合题意；

C.(a3)4=a12，故本选项符合题意；

D.(ab)2=a2b2，故本选项不合题意．

故选：C．

分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．

本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

4.【答案】D

【解析】解：A、“买中奖率为1

的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；

10

B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；

C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；

D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；

故选：D．

根据随机时间的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．

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第8页，共18页 5.【答案】A

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．

故选：A ．

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体． 6.【答案】A

【解析】解：由不等式组

{x ?4≤2(x ?1),12

(x +3)>x +1得?2≤x <1， 该不等式组的解集在数轴表示如下：

故选：A ．

根据不等式组{x ?4≤2(x ?1),12

(x +3)>x +1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．

本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

7.【答案】D

【解析】解：由作图可知，∠DAE =∠DAB ，∠DEA =∠B =90°，

∵AD =AD ，

∴△ADE≌△ADB(AAS)，

∴DB =DE ，AB =AE ，

∵∠AEB +∠B =180°

∴∠BAC +∠BDE =180°，

∵∠EDC +∠BDE =180°，

∴∠EDC =∠BAC ，

故A ，B ，C 正确，

故选：D ．

证明△ADE≌△ADB 即可判断A ，B 正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC =∠BAC 即可．

本题考查作图?基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8.【答案】C

【解析】解：根据题意可得：{x +y =100x 3

+3y =100， 故选：C ．

根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9.【答案】B

【解析】解：A、根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，该结论正确；

B、当AB=CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；

C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；

D、当AC=BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；

故选：B．

根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．

10.【答案】B

【解析】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，

∴a>0，c<0，

∴ac<0，结论①正确；

②∵抛物线对称轴为直线x=1，

=1，

∴?b

2a

∴b=?2a，

∵抛物线经过点(?1,0)，

∴a?b+c=0，

∴a+2a+c=0，即3a+c=0，结论②正确；

③∵抛物线与x轴由两个交点，

∴b2?4ac>0，即4ac?b2<0，结论③正确；

④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，

∴当x<1时，y随x的增大而减小，结论④错误；

故选：B．

二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．

本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

11.【答案】x≥1

2

【解析】

【分析】

本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．

【解答】

解：依题意，得4x?2≥0，

，

解得：x≥1

2

故答案为x≥1

．

2

12.【答案】40°

第9页，共18页

【解析】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，

∴∠B =180°?∠BAD

2=180°?20°

2

=80°，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，

∴∠C=180°?∠ADC

2=180°?100°

2

=40°．

先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．

本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．

13.【答案】

3

8

【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m=3，

∴这一卦中恰有2根和1根的概率为m

n =3

8

；

故答案为：3

8

．

从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案．

本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．

14.【答案】1.25

【解析】解：∵s=15t?6t2=?6(t?1.25)2+9.375，

∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．

故答案为：1.25．

利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．

考查了一元二次方程的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．

15.【答案】60°或120

【解析】解：如图，

∵弦BC垂直平分半径OA，

∴OD：OB=1：2，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOC=120°，

∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．

故答案为：60°或120°．

根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB=1：2，得∠BOC=120°，根据同弧所对

第10页，共18页

第11页，共18页 圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC 所对的圆周角度数．

本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．

16.【答案】15√5

【解析】解：∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上， ∴AF ⊥DE ，AE =EF ，

∵矩形ABCD 中，∠ABF =90°，

∴B ，E ，N ，F 四点共圆，

∴∠BNF =∠BEF ，

∴tan∠BEF =√52

， 设BF =√5x ，BE =2x ，

∴EF =√BF 2+BE 2=3x ，

∴AE =3x ，

∴AB =5x ，

∴AB =√5BF ．

∴S 矩形ABCD =AB ?AD =√5BF ?AD =√5×15=15√5．

故答案为：15√5．

由折叠的性质得出∠BNF =∠BEF ，由条件得出tan∠BEF =√52

，设BF =√5x ，BE =2x ，由勾股定理得出EF =3x ，得出AB =√5BF ，则可得出答案．

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

17.【答案】解：原式=4x 2+12xy +9y 2?4x 2+y 2?6xy ?10y 2

=6xy ，

当x =√2，y =√62?1时，原式=6×√2×(√62?1)=6√3?6√2．

【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算?化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】解：∵A 、C 、E 三点在一条直线上，∠ABD =140°，∠D =50°， ∴∠E =140°?50°=90°，

在Rt △BDE 中，

DE =BD ?cos∠D ，

=560×cos50°，

≈560×0.64，

=38.4(米)．

答：点E 与点D 间的距离是38.4米．

【解析】求出∠E 的度数，再在Rt △BDE 中，依据三角函数进行计算即可． 考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．

19.【答案】解：设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，

依题意，得：12045x ?

120x =3，

第12页，共18页 解得：x =10，

经检验，x =10是原方程的解，且符合题意， ∴

45x =8． 答：现在每天用水量是8吨．

【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是4

5x 吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 20.【答案】76 78 720

【解析】解：(1)50?4?12?20?4=10(人)，

补全频数分布直方图如图所示：

(2)第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，

抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为

77+792=78，因此中位数是78，

故答案为：76，78；

(3)1500×20+4

50=720(人)，

故答案为：720．

(1)计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；

(2)根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；

(3)样本估计总体，样本中80分以上的占20+4

50，因此估计总体1500人的20+4

50是80分以

上的人数．

考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．

21.【答案】4 2 2

【解析】解：(1)∵把A(1,4)代入y 1=

m x (x >0)得：m =1×4=4，

∴y =4x ，

∵把B(n,2)代入y =4x 得：2=4n ，

解得n =2；

故答案为4，2；

(2)把A(1,4)、B(2,2)代入y2=kx+b得：{k+b=4

2k+b=2，

解得：k=?2，b=6，

即一次函数的解析式是y=?2x+6．

由图象可知：y1

(3)∵点P是反比例函数y1=m

x

(x>0)的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，

∴S△POM=1

2|m|=1

2

×4=2，

故答案为2．

(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；

(2)分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1

(3)根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．

本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

22.【答案】(1)证明：连接OC，

∵EC?=BC?，

∴∠CAD=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠CAD=∠ACO，

∴AD//OC，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：连接OE，连接BE交OC于F，

∵EC?=BC?，

∴OC⊥BE，BF=EF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠FED=∠D=∠EFC=90°，

∴四边形DEFC是矩形，

∴EF=CD=√3，

∴BE=2√3，

∴AE=√AB2?BE2=√42?(2√3)2=2，

∴AE=1

2

AB，

∴∠ABE=30°，

∴∠AOE=60°，

∴∠BOE=120°，

∵EC?=BC?，

∴∠COE=∠BOC=60°，

连接CE，

∵OE=OC，

第13页，共18页

第14页，共18页 ∴△COE 是等边三角形，

∴∠ECO =∠BOC =60°，

∴CE//AB ，

∴S △ACE =S △COE ，

∵∠OCD =90°，∠OCE =60°，

∴∠DCE =30°，

∴DE =√33CD =1，

∴AD =3，

∴图中阴影部分的面积=S △ACD ?S 扇形COE =12×√3×3?60?π×22360=3√32?2π3

．

【解析】(1)连接OC ，根据EC

?=BC ?，求得∠CAD =∠BAC ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =∠ACO ，推出AD//OC ，根据平行线的性质得到OC ⊥CD ，于是得到CD 是⊙O 的切线；

(2)连接OE ，连接BE 交OC 于F ，根据垂径定理得到OC ⊥BE ，BF =EF ，由圆周角定理得到∠AEB =90°，根据矩形的性质得到EF =CD =√3，根据勾股定理得到AE =√AB 2?BE 2=√42?(2√3)2=2，求得∠AOE =60°，连接CE ，推出CE//AB ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：(1)当0≤x ≤50是，设y =kx ，根据题意得50k =1500， 解得k =30；

∴y =30x ；

当x >50时，设y =k 1x +b ，

根据题意得，

{50k +b =150070k +b =1980，解得{k =24b =300

， ∴y =24x +300．

∴y ={30x(0≤x ≤50)24x +300(x >50)

； (2)设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果(100?a)千克，

∴40≤a ≤60，

当40≤a ≤50时，w 1=30a +25(100?a)=5a +2500．

当a =40 时．w min =2700元，

当50

当a =60时，w min =2740元，

∵2740>2700，

∴当a =40时，总费用最少，最少总费用为2700元．

此时乙种水果100?40=60(千克)．

答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．

【解析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象以及一元一次不等式的应用．

(1)由图可知y 与x 的函数关系式是分段函数，利用待定系数法求解析式即可．

(2)设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果(100?a)千克，根据实际意义可以确定

a的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用．

24.【答案】(1)①证明：如图1中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

∵AD=AF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴∠ADB=∠AFC，

∴△ABD≌△ACF(AAS)，

∴BD=CF．

②结论：∠ACE=90°．

理由：如图1中，∵DA=DE，∠ADE=90°，AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ACD=∠AED=45°，

∴A，D，E，C四点共圆，

∴∠ADE+∠ACE=180°，

∴∠ACE=90°．

故答案为90．

(2)90

(3)如图3中，连接EK．

∵∠BAC+∠ACE=180°，

∴AB//CE，

∴EC

AB =EF

AF

=1

3

，设EC=a，则AB=AC=3a，AK=3a?16

3

，

∵DA=DE，DK⊥AE，∴AP=PE，

∴AK=KE=3a?16

3

，∵EK2=CK2+EC2，

∴(3a?16

3)2=(16

3

)2+a2，

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第16页，共18页 解得a =4或0(舍弃)，

∴EC =5，AB =AC =15，

∴AE =√AC 2+EC 2=√152+52=5√10，

∴DP =PA =PE =12AE =

5√102，EF =14

AE =5√104， ∴PF =PE =5√104， ∵∠DPF =90°，

∴DF =√DP 2+PF 2=√(5√102)2+(5√104)2=25√24

【解析】

【分析】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

(1)①证明△ABD≌△ACF(AAS)可得结论．

②利用四点共圆的性质解决问题即可．

(2)结论不变．利用四点共圆证明即可．

(3)如图3中，连接EK.首先证明AB =AC =3EC ，设EC =a ，则AB =AC =3a ，在Rt △KCE 中，利用勾股定理求出a ，再求出DP ，PF 即可解决问题．

【解答】

(1)①见答案

②结论：∠ACE =90°．

理由：如图1中，∵DA =DE ，∠ADE =90°，AB =AC ，∠BAC =90°，

∴∠ACD =∠AED =45°，

∴A ，D ，E ，C 四点共圆，

∴∠ADE +∠ACE =180°，

∴∠ACE =90°．

故答案为90．

(2)见答案

(3)见答案

25.【答案】解：(1)令x =0，得y =?12x +2=2，

∴A(0,2)，

令y =0，得y =?12x +2=0，解得，x =4，

∴C(4,0)，

把A 、C 两点代入y =?14x 2+bx +c 得，

{c =2?4+4b +c =0，解得{b =12c =2

， ∴抛物线的解析式为y =?14x 2+12x +2，

令y =0，得y =?14x 2+12x +2=0，

解得，x=4，或x=?2，

∴B(?2,0)；

(2)过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，

设M(a,?1

4a2+1

2

a

+2)，则N(a,?1

2

a+2)，

∴S△ACM=1

2

MN?OC=1

2

(?1

4

a2+a)×4=?1

2

a2+2a，

∵S△ABC=1

2

BC?OA=1

2

×(4+2)×2=6，

∴S

四边形ABCM

=S△ACM+S△ABC=?1

2

a2+2a+6=?1

2

(a?2)2+8，

∴当a=2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，

此时M的坐标为(2,2)；

(3)∵将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，

∴PO′=PO=m，O′A′=OA=2，

∴O′(m,m)，A′(m+2,m)，

当A′(m+2,m)在抛物线上时，有?1

4

(m+2)2+1

2

(m+2)+2=m，

解得，m=?3±√17，

当点O′(m,m)在抛物线上时，有?1

4

m2+1

2

m+2=m，

解得，m=?4或2，

∴当?4≤m≤?3?√17或?3+√17≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．

【解析】(1)令x=0，由y=?1

2

x+2，得A点坐标，令y=0，由y=?1

2

x+2，得C

点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y=0，便可求得B点坐标；

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(2)过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M(a,?1

4a2+1

2

a+2)，则N(a,?1

2

a+2)，

由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；

(3)根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．

本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第(2)题关键再求函数的解析式，第(3)关键是确定O′，A′点的坐标与位置．

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