随机过程习题

一、判断题：5个，10分

1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续 状态过程。

2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。

3、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Tn是第n次更新发 生的时刻，N(t)?n?Tn?t 4、任意马尔可夫链都存在极限分布。

5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率qij有qii?二、填空题：5个，15分

?qj?iij。

1、若随机变量X的矩母函数为

et2?2，则其期望E(X)为 ．

2、设随机过程X(t)?R?t?C,t?(0,?),C为常数， R服从区间[0,1]上的均匀分布,则其均值函数为 ． 3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年 需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。

则它在使用期内只维修过一次的概率是 ．

4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄 段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今 年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健 康, 3年后他仍处于健康状态的概率是 ． 5、设时齐连续时间马尔可夫链{X(t),t?0}是正则的， 由状态i经时间t后转移到状态j的概率为Pij(t)， 则

limP(t)? ．

ijt?0三、计算题：5个，40分

1、设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(0

2求P{N(1)?2N(1)?1}。

4、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Xn是第n?1次 更新和第n次更新相距的时间，且P(Xi?1)?1， 3P(Xi?2)?2，i?1,2,?，求P{N(2)?1}。 35、设马尔可夫链的状态空间S?{1,2,3,4}，转移概率矩阵为

?1??4P??0?0??1?14000141001??4?0?， 1??0??试判断状态1是否是常返态。

四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分

1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从 均值为2min的指数分布，并且与其他人所需时间是相互 独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检？

在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数 据（1表示畅销，2表示滞销）：

112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵；

2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分

将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个 盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后

盒子甲中的红球数。试证明{X(n),n?0,1,2,?}是遍历的 马尔可夫链。

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