奇函数专题训练试题精选（一）附答案

奇函数专题训练试题精选（一）

一．选择题（共30小题） 1．（2013?广元一模）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ） A．f（x）是偶函数 B． f（x）是奇函数 C． f（x）=f（x+2） D． f（x+3）是奇函数 2．（2012?信阳一模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则 A．﹣ 3．（2012?泸州一模）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

的

B． ﹣ C． D． =（ ）

解集为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣1，0）∪（0，1） 4．（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） 1 3 A．﹣3 B． ﹣1 C． D． 5．（2010?山东）观察（x）′=2x，（x）′=4x，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（ ） A．f（x） B． ﹣f（x） C． g（x） D． ﹣g（x） 6．（2006?山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 7．（2006?福建）已知（fx）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，（fx）=lgx．设

，

，

2

4

3

x

则（ ） A．a＜b＜c B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b 8．（2006?江苏）已知a∈R，函数f（x）=sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a=（ ） ±1 0 1 A．B． C． ﹣1 D． 9．（2003?上海）f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）

A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称 若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根 B． 若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根 C．

D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根 10．（2014?南昌模拟）己知奇函数y=f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B． {x|﹣3＜x＜1或x＞2} C． {x|﹣3＜x＜0或x＞3} D． {x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3} 11．（2014?抚顺二模）设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F?G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（ ） |x| A．B． C． D． g（x）=2 g（x）=log2|x| 12．（2014?东昌区二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（ ） 3 A．f（x）=x|x| B． C． f（x）f（x）=﹣x = 13．（2013?文昌模拟）设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T=3，若的取值范围是（ ） A． ，则a

x

D． f（x）= B． a＜﹣1 C． D． 14．（2010?天津模拟）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ） A．f（x）=sinx B． f（x）=﹣|x+1| C． D． 15．（2007?江苏）设f（x）=lg（ A．（﹣1，0） +a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）

C． （﹣∞，0） B． （0，1） D． （﹣∞，0）∪（1，+∞） 16．（2006?东城区二模）己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（ ） A． C． 17．（2012?乐山二模）已知函数 A． 18．（2012?西城区二模）给定函数：①y=x；②y=x﹣1；③y=sinx；④y=log2x，其中奇函数是（ ） ①② ③④ ①③ ②④ A．B． C． D．

2

3

2

或 B． D． 或 是奇函数，则2 C． =（ ）

D． ﹣2 B．

19．（2012?焦作模拟）下列函数中，既是奇函数，又是减函数是（ ） 3 A．f（x）=﹣x|x| B． C． f（x）=cosx（x∈[0，π]） D． f（x）=x f（x）= 20．（2011?绵阳三模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．B． y=log3|x|，x∈R且x≠0 y=，x∈R C．y=sinx，x∈（﹣，） 3D． y=﹣x，x∈R 21．（2010?崇明县一模）函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数的充要条件是（ ） 22 mn=0 m+n=0 A．B． C． D． m﹣n=0 m+n=0 22．（2009?深圳二模）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 23．（2011?广安二模）已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ） 0 2 A．B． C． ﹣2 D． ﹣4022 24．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A．增函数且最小值为﹣5 B． 增函数且最大值为﹣5 减函数且最小值为﹣5 C．D． 减函数且最大值为﹣5 25．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ） 0.5 1.5 A．B． ﹣0.5 C． D． ﹣1.5 26．已知f（x）=x+ax+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（ ） A．﹣26 B． ﹣18 C． ﹣10 27．设函数 A． 28．设

，则使得f（x）=x为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的n的个数是（ ）

n

5

3

10 D． 若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）

B． ﹣4 C． 4 D． 1 2 3 4 A．B． C． D． 29．已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（2x+1）的周期为5，若f（1）=5，则f（2009）+f（2010）的值为（ ） 5 1 0 A．B． C． D． ﹣5 30．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的角x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8，其中正确的有（ ） A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

3

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奇函数专题训练试题精选（一）

参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题） 1．（2013?广元一模）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ） A．f（x）是偶函数 B． f（x）是奇函数 C． f（x）=f（x+2） D． f（x+3）是奇函数 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项． 解答： 解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数， ∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称， ∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0， 故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x）， 函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数． ∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4）， f（﹣x+3）=﹣f（x+3）， f（x+3）是奇函数． 故选D 点评： 本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法． 2．（2012?信阳一模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则 A．﹣ 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（），代入已知条件进行运算． =（ ）

B． ﹣ C． D． 解答： 解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x）， ∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣， 故选 A． 点评： 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值． 3．（2012?泸州一模）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

的

解集为（ ） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣1，0）∪（0，1） 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号， 然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，

5

最后结合f（x）的单调性解出答案． 解答： 解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号， 而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0， 又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数， 当x＞0时，f（x）＜0=f（1）； 当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣1）， 所以0＜x＜1或﹣1＜x＜0． 故选D． 点评： 本题综合考查奇函数定义与它的单调性． 4．（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） 1 3 A．﹣3 B． ﹣1 C． D． 考点： 奇函数． 分析： 首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 解答： 解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， x

所以f（0）=2+2×0+b=0， 解得b=﹣1， x所以当x≥0时，f（x）=2+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 1所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 点评： 本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）． 5．（2010?山东）观察（x）′=2x，（x）′=4x，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（ ） A．f（x） B． ﹣f（x） C． g（x） D． ﹣g（x） 考点： 奇函数；归纳推理． 分析： 首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数， 然后由g（x）的奇偶性即可得出答案． 解答： 解：由给出的例子可以归纳推理得出： 若函数f（x）是偶函数，则它的导函数是奇函数， 因为定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 即函数f（x）是偶函数， 所以它的导函数是奇函数，即有g（﹣x）=﹣g（x）， 故选D． 点评： 本题考查函数奇偶性及类比归纳推理能力． 6．（2006?山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 考点： 奇函数． 分析： 利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=﹣f（x）即可求出f（6）． 解答： 解：因为f（x+2）=﹣f（x）， 所以f（6）=﹣f（4）=f（2）=﹣f（0）， 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）=0， 0243

6

所以f（6）=0， 故选B． 点评： 本题考查奇函数的性质． 7．（2006?福建）已知（fx）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，（fx）=lgx．设则（ ） A．a＜b＜c ，，

B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题． 解答： 解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx． 则=﹣lg＞0， =﹣lg＞0， =lg＜0， 又lg＞lg ∴0＜﹣lg＜﹣lg ∴c＜a＜b， 故选D． 点评： 本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性． 8．（2006?江苏）已知a∈R，函数f（x）=sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a=（ ） ±1 0 1 A．B． C． ﹣1 D． 考点： 奇函数． 分析： 利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0易于解决． 解答： 解：因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=﹣|a|=0， 解得a=0， 故选A． 点评： 本题考查奇函数定义． 9．（2003?上海）f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）

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A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称 若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根 B． 若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根 C． D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 奇函数的图象关于原点对称；当a≠0时af（x）与f（x）有相同的奇偶性；f（x）+b的图象可由f（x）上下平移得到． 充分利用以上知识点逐项分析即可解答． 解答： 解：①若a=﹣1，b=1，则函数g（x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误； ②当a=﹣1时，﹣f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，﹣2＜b＜0，则图象又向下平移﹣b个单位长度，所以g（x）=﹣f（x）+b=0有大于2的实根，所以选项B正确； ③若a=，b=2，则g（x）=f（x）+2，其图象由f（x）的图象向上平移2个单位长度，那么g（x）只有1个零点，所以g（x）=0只有1个实根，所以选项C错误； ④若a=1，b=﹣3，则g（x）的图象由f（x）的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g（x）=0只有一个实根，所以选项D错误． 故选B． 点评： 本题考查奇函数的图象特征及函数af（x）与f（x）的奇偶性关系，同时考查由f（x）到f（x）+b的图象变化． 10．（2014?南昌模拟）己知奇函数y=f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B． {x|﹣3＜x＜1或x＞2} C． {x|﹣3＜x＜0或x＞3} D． {x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3} 考点： 奇函数． 分析： 首先由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（﹣∞，0）为减函数且f（2）=0画出f（x）的草图， 然后由图形的直观性解决问题． 解答： 解：由题意画出f（x）的草图如下， 因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号， 由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2， 解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3， 故选D． 点评： 本题考查奇函数的图象特征及数形结合的思想方法． 8

11．（2014?抚顺二模）设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F?G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（ ） |x| A．B． C． D． g（x）=2 g（x）=log2|x| 考点： 奇函数；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 应用题；压轴题；创新题型． 分析： 由题意函数f（x）=2x（x≤0），g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，求出g（x），然后利用偶函数推出函数g（x）的解析式． 解答： 解：f（x）=2x（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数 x

则有x∈（﹣∞，0]有g（x）=f（x）=2 （﹣x）g（x）是偶函数 有x＞0 可得g（x）=g（﹣x）=2 x所以g（x）=2 （x≤0） （﹣x）g（x）=2 （x＞0） 所以 x故选C 点评： 本题考查求指数函数解析式，奇函数的性质，考查计算能力，推理能力，是基础题．创新题型． 12．（2014?东昌区二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（ ） 3 A．f（x）=x|x| B． C． f（x）D． f（x）=﹣x f（x）= = 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项A是分段函数，可由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性； 选项B举一反例即可； C、D中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数． 解答： 解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|=当x＞0时，f（x）=x在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称， 2所以当x＜0时，f（x）=﹣x在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确． 333∵2＞1，而﹣2＜﹣1，所以函数f（x）=x在定义域内不是增函数，故B不正确． ∵确． ∵f（x）=的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=在定义域内不是奇函数，故D不关于原点对称，∴f（x）=sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正2不正确． 故选A． 点评： 怕断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，若对称，由f（﹣x）=﹣f（x）知函数为定义域上的奇函数，由f（﹣X）=f（x）知函数为定义域上的偶函数；若定义域不关于原点对称，在定义域内函数是非奇非偶的．有时也可以根据函数图象的特点分析，函数图象关于原点中心对称是函数为奇函数的充要条件，

9

关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件． 13．（2013?文昌模拟）设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T=3，若的取值范围是（ ） A． ，则a

B． a＜﹣1 C． D． 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 关键函数是一个奇函数和具有周期性，得到2对应的函数值与﹣1对应的函数的范围一样，列出关于a的不等式，解不等式即可． 解答： 解：∵奇函数f（x）的定义域为R， ∴f（﹣1）=﹣f（1）≤﹣1， ∵最小正周期T=3，若∴f（2）=f（﹣1）≤﹣1， ∴， ， ∴（a+1）（3a﹣2）≤0， ∴﹣1∴﹣1＜a≤ 故选C． 点评： 本题考查函数的性质，是一个函数性质的综合应用，解题的关键是把2对应的函数值同已知条件结合起来． 14．（2010?天津模拟）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ） A．f（x）=sinx B． f（x）=﹣|x+1| C． D． 考点： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题： 阅读型． 分析： 本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确． 解答： 解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错； ∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错； ，且a+1≠0， ∵a＞1时，y=a在[﹣1，1]上单调递增，y=a[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=x﹣x在[﹣1，1]上单调递增，故C错； 故选：D． 点评： 本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题． 15．（2007?江苏）设f（x）=lg（

+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）

A．（﹣1，0） B． （0，1） C． （﹣∞，0） D． （﹣∞，0）∪（1，+∞） 考点： 奇函数；对数函数的单调性与特殊点． 分析： 首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a， 10

然后由对数函数的单调性解之． 解答： 解：由f（﹣x）=﹣f（x），，即2222， =， 1﹣x=（2+a）﹣ax 22此式恒成立，可得a=1且（a+2）=1，所以a=﹣1 则 即 解得﹣1＜x＜0 故选A 点评： 本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性． 16．（2006?东城区二模）己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（ ） A． C． 或 B． D． 或 考点： 奇函数． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 由函数是奇函数和当x＞0时，f（x）=x﹣2，求出函数的解析式并用分段函数表示，在分三种情况求不等式的解集，最后要把三种结果并在一起． 解答： 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0， 设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣2，∴f（﹣x）=﹣x﹣2， ∵f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=x+2， ∴f（x）=， ①当x＞0时，由x﹣2＜，解得0＜x＜， ②当x=0时，0＜，符合条件， ③当x＜0时，x+2＜，解得x＜﹣， 综上，的解集是或． 故选D． 点评： 本题的考点是奇函数性质的应用，考查了由奇函数求出解析式，再根据解析式对x分类求解不等式的解集，注意f（0）=0这是易忽视的地方．

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17．（2012?乐山二模）已知函数 A．B． 是奇函数，则2 C． =（ ）

D． ﹣2 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． 分析： 先由函数是奇函数，f（0）=0，求出参数a的值，再把a的值代入函数解析式，计算． 解答： 解：∵函数是奇函数，∴f（0）=0，即，=0，解得，a=2 ∴，=f（1）== 故选A 点评： 本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，必须掌握． 18．（2012?西城区二模）给定函数：①y=x；②y=x﹣1；③y=sinx；④y=log2x，其中奇函数是（ ） ①② ③④ ①③ ②④ A．B． C． D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 利用奇函数的概念f（﹣x）=﹣f（x）对①②③④逐个判断即可． 333解答： 解：∵函数y=f（x）=x，满足f（﹣x）=（﹣x）=﹣x， 32

∴y=f（x）=x为奇函数，故①正确； 同理可证，y=sinx为奇函数，故③正确； 对于②，y=x﹣1为偶函数，故②错误； 对于④，y=log2x的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，故④y=log2x为非奇非偶函数，故④错误． 综上所述，只有①③正确， 故选C． 点评： 本题考查奇函数的概念，掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）是根本，属于基础题． 19．（2012?焦作模拟）下列函数中，既是奇函数，又是减函数是（ ） 3 A．f（x）=﹣x|x| B． C． f（x）=cosx（x∈[0，π]） D． f（x）=x f（x）= 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 对于A f（x）=﹣x|x|，经检验满足奇函数，且是减函数，故A满足条件．对于函数（x）=x3，是奇函数，但在R上是增函数，故不满足条件．对于C、D中的函数，由于由于定义域不关于原点对称，故不具备奇偶性． 解答： 解：对于f（x）=﹣x|x|，由于f（﹣x）=x|x|=﹣f（x），故是奇函数． 当x增大时，f（x）的值减小，故是减函数，故A满足条件． 3对于函数（x）=x，是求函数，但在R上是增函数，故不满足条件． 对于f（x）=cosx，由于定义域为[0，π]，不关于原点对称，故函数不是奇函数． 32对于f（x）=

，由于定义域为（ 0，+∞），不关于原点对称，故函数不是奇函数．

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故选A． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题． 20．（2011?绵阳三模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．B． y=log3|x|，x∈R且x≠0 y=，x∈R C．y=sinx，x∈（﹣，） 3D． y=﹣x，x∈R 考点： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题： 证明题． 分析： 根据奇函数与偶函数的判断方法对四选项时行判断，A选项用指数函数的性质判断；B选项用对数函数的性质判断；C选项用正弦函数的性质进行判断；D选项用幂函数的性质进行判断． 解答： 解：A选项不正确，它不是一个奇函数； B选项不正确，因为它是一个偶函数，且不是单调函数； C选项不正确，因为它不是单调函数； D选项正确，函数是奇函数，且在R上是减函数． 故选D 点评： 本题考查 奇函数与单调减函数的判断，解题的关键是对四个选项中所涉及的函数的性质掌握得比较熟练，这样就可以快速作出判断． 21．（2010?崇明县一模）函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数的充要条件是（ ） 22 mn=0 m+n=0 A．B． C． D． m﹣n=0 m+n=0 考点： 奇函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 由奇函数的定义可得﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ），等价转化可得答案． 解答： 解：函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数，等价于﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ）， 等价于n=0，且|﹣sinx+m|=|sinx+m|，等价于 m=n=0， 故选 A． 点评： 本题考查奇函数的定义，充要条件的定义，得到对任意实数x，都有﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ），是解题的关键． 22．（2009?深圳二模）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题；规律型． 分析： 先根据奇函数的性质得到f（0）=0，再由对称性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函数和关于直线x=1对称得到f（4）=f（﹣2）=0，同样得到当x为偶数时，f（x）=0；根据f（﹣1）=1和f（x）为奇函数得到f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，再由函数f（x）关于直线x=1对称得到f（3）=f（﹣1）=1，进而可得到当x为奇数时，f（x）=1或者﹣1交替出现，进而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值． 解答： 解：根据奇函数性质，f（0）=0 ∵f（x）关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）=0 再由奇函数性质，f（﹣2）=﹣f（2）=0 再由关于直线x=1对称性质，f（4）=f（﹣2）=0 ∴f（﹣4）=﹣f（4）=0 ∴f（6）=f（﹣4）=0 13

… ∴当x为偶数时，f（x）=0 由题意，f（﹣1）=1 根据奇函数性质，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1 根据关于直线x=1对称性质，f（3）=f（﹣1）=1 不难得出，当x为奇数时，f（x）=1或者﹣1，交替出现 最后出现的一个是f（2009），很明显f（2009）=﹣1，前面的2008个全部抵消掉了 故而最终结果就是﹣1 故选A． 点评： 本题主要考查函数的基本性质﹣﹣奇偶性、对称性．函数是高中数学的核心内容，每一个地方都离不开函数，对于其基础性质一定要熟练掌握． 23．（2011?广安二模）已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ） 0 2 A．B． C． ﹣2 D． ﹣4022 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 计算题． 分析： 由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（﹣1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解． 解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0， 又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象， 由于奇函数的图象关于原点对称，此点是由函数f（x）的图象的对称中心右移一个单位得到 ∴函数f（x）的图象有对称中心（﹣1，0），即f（﹣1）=0， 因为f（﹣x）=f（x），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1）， ∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+1）=f（x﹣3）， ∴函数f（x）存在周期T=4，又f（2）=﹣2，f（﹣1）=0， 利用条件可以推得：f（﹣1）=f（1）=0，f（2）=﹣2，f（3）=f（4﹣1）=0， f（﹣3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=2，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=f（0）=0． 故选A． 点评： 此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，在利用已知的条件求出函数值． 24．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A．增函数且最小值为﹣5 B． 增函数且最大值为﹣5 减函数且最小值为﹣5 C．D． 减函数且最大值为﹣5 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数， 所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数， 且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5， 则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5， 故选B． 点评： 本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系． 25．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ） 0.5 1.5 A．B． ﹣0.5 C． D． ﹣1.5 14

考点： 奇函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5． 解答： 解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x）， ∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）． ∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5． 故选B． 点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键． 26．已知f（x）=x+ax+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（ ） 10 A．﹣26 B． ﹣18 C． ﹣10 D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题；转化思想． 53分析： 函数f（x）不具备奇偶性，但其中g（x）=x+ax+bx是奇函数，则可充分利用奇函数的定义解决问题． 解答： 解：令g（x）=x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f（x）=g（x）﹣8 所以f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10 得g（﹣2）=18 又因为g（x）是奇函数，即g（2）=﹣g（﹣2） 所以g（2）=﹣18 则f（2）=g（2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26 故选A． 点评： 本题较灵活地考查奇函数的定义． 53

27．设函数 A．B． ﹣4 若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）

C． 4 D． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． x分析： 由f（x）是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），再由x＜0时，f（x）=2，求出g（x）的解析式，再求出g（2）的值． x解答： 解：∵f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2， ∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2=即，． ﹣x， 故选A． 点评： 本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值，注意利用负号对自变量进行范围的转化． 28．设

，则使得f（x）=x为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的n的个数是（ ）

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n

1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据幂函数的指数大于0，则在区间（0，+∞）上单调递增，可排除n=，1，2，3的可能，然后判定当n=﹣1时，f（x）=是否满足条件即可． 解答： 解：f（x）=x，当n＞0时函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故，1，2，3都不符合题意 当n=﹣1时，f（x）=，定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），在区间（0，+∞）上单调递减，故正确 故选A． 点评： 本题主要考查了幂函数的性质，同时考查了函数奇偶性的判定，属于基础题． 29．已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（2x+1）的周期为5，若f（1）=5，则f（2009）+f（2010）的值为（ ） 5 1 0 A．B． C． D． ﹣5 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 利用函数f（2x+1）的周期性写出一个等式，通过换元得到f（x）的周期，利用周期性得到f（2009）=f（﹣1），f（2010）=f（0），利用奇函数求出f（﹣1），f（0）的值． 解答： 解：∵函数f（2x+1）的周期是5 ∴[2（x+5）+1]=f（2x+1） 即f（2x+11）=f（2x+1） 即f（y+10）=f（y） 故函数f（x）的周期是10 ∴f（2009）=f（﹣1），f（2010）=f（0） ∵函数f（x）为定义在R上的奇函数 ∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 ∴f（2009）+f（2010）的值为﹣5． 故选D 点评： 解决函数的周期性、单调性、奇偶性的问题，一般利用各个性质的定义得到一些已知条件中没有的等式，通过它们，判断出函数的其它性质． 30．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的角x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8，其中正确的有（ ） A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 n考点： 奇函数． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： 由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数， 由这些画出示意图，由图可解决问题． 解答： 解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数， 综合条件得函数的示意图，由图看出， 16

①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x1）＞f（x1﹣4）=f（﹣x2）=﹣f（x2）；则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确； ②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确； ③当m＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8． 当m＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确； 故选D． 点评： 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷． 17

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