整式的乘除及因式分解

整式的乘除与因式分解

【学习目标】

1.掌握与整式有关的概念；

2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；

3.掌握单项式、多项式的相关计算；

4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

【知识点总结】

1、单项式与多项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 2

2-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2

a 、a

b 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 2、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

3、多项式一般按字母的升（降）幂排列：

如：1223

223--+-y xy y x x

按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--

按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x

按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++-

按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y

4n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：235

()()()a b a b a b +?+=+

5n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即

如：23326)4()4(4==

6、积的乘方法则：n 是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=53525515105(2)()()32x y z x y z -???=-

7n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷

8、零指数和负指数；

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：2334

236x y z xy x y z -?=- 10、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即c b a m ,,,都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：2222

2(23)3()4633493x x y y x y x xy xy y x xy y --+=---=-- 11、多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：2222

22(32)(3)3926376(5)(6)563030a b a b a ab ab b a ab b x x x x x x x +-=-+-=--+-=+--=--

12、平方差公式

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+

13公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+

ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

14、三项式的完全平方公式：

15、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：242317497

a b m a b b m -÷=- 16、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++

17、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

【基础知识分析巩固】

1.同底数幂、幂的运算：

m n m n a a a +?= (m ，n 都是正整数).

mn n m a a =)( (m ，n 都是正整数).

n n n b a ab =)( (n 是正整数).

例题1.若642

2=-a ，则a = ；若8)3(327-=?n ，则n = . 例题2.若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

例题3.计算()[

]()[]m n x y y x 2322--

例题4. 计算：()[]()()[]43p p m n n m m n -?-?- 【练习】

1.若32=n a ，则n a 6= .

2.设148x y -=,且1927y x -=,则x y -等于 。

2.乘法公式

平方差公式：()()22b a b a b a -=-+

完全平方和、差公式：()2

222a b a ab b ±=±+ 例题1. 利用平方差公式计算：2009?2007－20082

例题2.（a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）

【练习】

1. 利用平方差公式计算：

① 22007200720082006-? ② 2

2007200820061?+

③（3+1）（32+1）（34+1）…（3

2008+1）－401632．

2. 已知,21=-

x x 求221x x +的值

3. 已知,16)(2=+y x 4)(2＝y x - ，求xy 的值

4. 如果22

2450a b a b +-++=，求,a b 的值

5. 证明若a 为整数，则a a -3能被6整除

4.单项式、多项式的乘除运算

例题1.（a －61b ）（2a ＋31b ）（3a 2＋12

1b 2）； 例题2. [（a －b ）（a ＋b ）]2÷（a 2－2ab ＋b 2）－2ab ．

【练习】已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值．

5. 因式分解：

（1）提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

例1把2105ax ay by bx -+-分解因式． 例2把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．

（2） 公式法：根据平方差和完全平方公式

例题 分解因式22925x y -

（3）配方法：

例题 分解因式2

616x x +- （4）十字相乘法：

A ．2()x p q x pq +++型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++

因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

例1把下列各式因式分解：

(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++

例2把下列各式因式分解：

(1) 2524x x +- (2) 2215x x --

例3把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-

(2) 222()8()12x x x x +-++ B ．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解

大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．

反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成

1122a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项

系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

例4把下列各式因式分解：

(1) 21252x x -- (2) 22

568x xy y +- 【练习】

1、 已知312=

-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、 若x y 、互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x y 、的值

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