江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷 - 9

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷9

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．集合A＝{ x |1＜x≤3，x∈R }，B＝{ x |－1≤x≤2，x∈R }，则A?B＝ ． 2．已知|a|＝3，|b|＝2．若a?b＝－3，则a与b夹角的大小为 ． 3．设x，y为实数，且

xy5＋＝，则x＋y＝ ． 1?i1?2i1?3i4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 ． 5．若?∈?，?，sin2?＝

???4??2?1，则cos?－sin?的值是 ．16 6．已知?＝{(x，y)|x＋y＜6，x＞0，y＞0}，A＝{(x，y)|x＜4，y＞0，x－2y＞0}，若向区域?上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为 ．

7．已知a，b为异面直线，直线c∥a，则直线c与b的位置关系是 ． 8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S的值为 ．

9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．

10．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx＝2－x的近似数(精确到0.1)时，设f(x)＝lgx＋x－2，得出f(1)＜0，且f(2)＞0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．

??????1?????，?，ON＝(0，1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足11．设OM＝?1?2??????????????????0≤OP?OM≤1，0≤OP?ON≤1，则z＝y－x的最小值是 ．

12．设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且满足f(1)＞－2，f(2)＝m－

3，则m的取值范围是 ． md?d2?x＋?a1??x＋c≥0的解集为[0，

2?2?13．等差数列?an?的公差为d，关于x的不等式

22]，则使数列?an?的前n项和Sn最大的正整数n的值是 ．

14．方程x2＋2x－1＝0的解可视为函数y＝x＋2的图象与函数y＝

1的图象交点x9)(i＝1，xi的横坐标．若x4＋ax－9＝0的各个实根x1，x2，?，xk(k≤4)所对应的点(xi，2，?，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝Asin(?x??)，x∈R(其中A＞0，?＞0，0＜?＜交点中，相邻两个交点之间的距离为

（1）求f(x)的解析式； （2）当x∈[?)的图象与x轴的2?2?，且图象上一个最低点为M(，?2)． 23??，]时，求f(x)的值域． 122 16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90?，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．

（1）证明：DE∥平面PBC； （2）证明：DE⊥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

有一气球以v(m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45?；再过10分钟后，测得气球在P的东偏北30?方向T处，其仰角为60?(如图，其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影)．求风向和风速(风速用v表示)．

18．（本小题满分16分）

已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x?2)2＋(y?2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

（1）求圆C的方程；

?????????（2）设Q为圆C上的一个动点，求PQ?MQ的最小值；

（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

19．（本小题满分16分）

设数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，n＝1，2，3，?． （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足b1＝1，且bn?1＝bn＋an，求数列?bn?的通项公式；

（3）设cn＝n (3－bn)，求数列?cn?的前n项和为Tn．

20．（本小题满分16分）

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)＝

k＋f(x)恒成立． 2（1）判断一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M；

（2）证明函数f(x)＝log2x属于集合M，并找出一个常数k；

（3）已知函数f(x)＝logax( a＞1)与y＝x的图象有公共点，证明f(x)＝logax∈M．

（附加题）

21．【选做题】在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线， 已知AB?6,CD?25，求线段AC的长度．

B．选修4－2：矩阵与变换

?1?已知二阶矩阵A有特征值?1?1及对应的一个特征向量e1???和特征值?2?2及对应的

?1??1?一个特征向量e2???，试求矩阵A．

?0?C．选修4－4：坐标系与参数方程

?y?sin??1在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?（?是参数），若以O为

?x?cos?极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

D．选修4－5：不等式选讲

已知关于x的不等式ax?1?ax?a?1（a?0）. （1）当a?1时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 22．［必做题］（本小题满分10分）

在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）． （1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？

（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数?的分布列，并计算其数学期望． 23．［必做题］（本小题满分10分）

已知(x?1)n?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?a3(x?1)3???an(x?1)n，（其中n?N?）

Sn?a1?a2?a3???an.

(1)求Sn；

(2)求证：当n≥4时，Sn?(n?2)2n?2n2．

参考答案

1．[－1，3] 2．120? 3．4 4．6．

115 5．? 442 7．相交或异面 8．45 9．8 10．1.75 911．－1 12．(??，?1)?(0，3) 13．11 14．(??，?24)?(24，??)

2??T，－2)得A＝2．由x轴上相邻两个交点之间的距离为得322?2?2?2?2???)＝－2，＝，即T＝?，?＝＝＝2．由点M(，－2)在图象上得2sin(2?2T?334?4??11????)＝－1．故??＝2k?－，k∈Z．所以?＝k?－即sin(．又0＜?＜，3326215．（1）由最低点为M(所以?＝

??，故f(x)＝2sin(2x?)． 66????7?（2）因为x∈[，]，所以(2x?)∈[，]．

122636???当2x?＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

626?7??当2x?＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1．

662故f(x)的值域为[－1，2]．

16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB， 所以EF∥DC，且EF＝DC＝

1AB． 2故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF． 又ED?平面PBC，CF?平面PBC， 故DE∥平面PBC．

（2）因为PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD．

又因为AB⊥AD，PD?AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．

ED?平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA； PA?AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以ED⊥平面PAB． 17．10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45?的S点处，即∠SPQ＝

?，所以PQ＝QS＝600v(m)． 4又10分钟后测得气球在P的东偏北30?方向，其仰角为60?的T点处，即∠RPQ＝

?，6∠TPR＝

?RT，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝＝4003v (m)．

?3tan3在△PQR中由余弦定理，得QR＝PQ2?PR2?2PQ?PRcos?QPR＝2003v(m)． 因为PR2＝(4003v)2＝(600v)2＋(2003v)2＝PQ2＋QR2．所以∠PQR＝为正南风．

因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，所以风速为

?，即风向2|QR|3v＝(m/s)． 6003?a?2b?2??2?0，??a?0，?2218．（1）设圆心C(a，b)，则?解得?

?b?0.?b?2?1.??a?2则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入，得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．

?????????（2）设Q(x，y)，则x＋y＝2，且PQ?MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y222?????????＋x＋y－4＝x＋y－2，所以PQ?MQ的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．

（3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．

?y?1?k(x?1)，由?2得(1?k2)x2＋2k(1－k)x＋(1?k)2－2＝0． 2?x?y?2，k2?2k?1因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝，同理xB＝

1?k2

yB?yA?k(xB?1)?k(xA?1)2k?k(xB?xA)k2?2k?1．所以＝＝＝＝1＝kOP. kABxB?xAxB?xAxB?xA1?k2所以直线OP和AB一定平行．

19．（1）因为n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2，所以a1＝1． 因为Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，所以an?1＋Sn?1＝2．

两式相减：an?1－an＋Sn?1－Sn＝0，即an?1－an＋an?1＝0，故有2an?1＝an． 因为an≠0，所以

an?11＝( n∈N?)． an2n?11?1?所以数列?an?是首项a1＝1，公比为的等比数列，an＝??2?2?( n∈N?)．

n?1?1?（2）因为bn?1＝bn＋an( n＝1，2，3，?)，所以bn?1－bn＝???2?．从而有

1?1??1?b2?b1＝1，b3?b2＝，b4?b3＝??，?，bn?bn?1＝??2?2??2?将这n－1个等式相加，得

n?12n?2( n＝2，3，?)．

?1?1???2n?21?1?2?1?bn－b1＝1＋＋??＋?＋??＝??12?2??2?1?2?1?又因为b1＝1，所以bn＝3－2???2?n?1?1?＝2－2???2?n?1.

( n＝1，2，3，?)．

?1?（3）因为cn＝n (3－bn)＝2n???2?n?1，

2n?2n?1??1?0?1??1??1??1??所以Tn＝2????2???3?????(n?1)???n???． ①

?2??2??2??2????2?????1?1?1??1??1?Tn＝2????2???3?????(n?1)??2?2??2??2????2?123n?1?1??n???2?n??． ② ??n?1n??1?0?1??1?21?1???1?①－②，得Tn＝2???????????????－2n??．

2?2???2???2??2??2????1?1???nn812??1??1??故Tn＝4－4n??＝8－n－4n??＝8－(8?4n)n( n＝1，2，3，?)．

12222????1?2k20．（1）若f(x)＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f(kx)＝akx＋b＝

2＋f(x)，即a(k－1)x＝

nk?k?1?0，恒成立，得?无解，所以f(x)?M． 2?k?0，（2）log2(kx)＝

kk＋log2x，则log2k＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以f(x)＝22log2x∈M．

（3）因为y＝logax( a＞1)与y＝x有交点，由图象知，y＝logax与y＝设logak＝

x必有交点． 2kk，则f(kx)＝loga(kx)＝logak＋logax＝＋f(x)，所以f(x)∈M． 22附加题部分

21．【选做题】

A．（选修4-l：几何证明选讲）

连接BC设AB,CD相交于点E，AE?x，∵AB是线段CD的垂直平分线，

∴AB是圆的直径，∠ACB＝90°?????????2分 则EB?6?x，CE?5．由射影定理得CE2?AE?EB， 即有x(6?x)?5，解得x?1（舍）或x?5 ????8

CBEDA分

∴ AC2?AE?AB?5?6?30，即AC?30．???10分 B．（选修4—2：矩阵与变换）

?ab?设矩阵A???，这里a,b,c,d?R， cd???1??1?a?b??1??0?因为??是矩阵A的属于?1?1的特征向量，则有???? ????1???c1?d??1??0?①， ???4分

?1?又因为??是矩阵A的属于?2?2的特征向量，则有

?0?②， ???6分

?2?a?b??1??0???c1?d??0???0? ???????1?a?b?0,??c?1?d?0,?根据①②，则有? ???????????????????8分

2?a?0,????c?0,?2?1?从而a?2,b??1,c?0,d?1,因此A???，????????????10分 01??C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

由

?y?sin??1??x?cos?得

?y?1?sin???x?cos?，两式平方后相加得

x2?(y?1)2?1，?????????4分

∴曲线C是以(0,1)为圆心，半径等于的圆．令x??cos?,y??sin?， 代入并整理得

??2sin?．即曲线C的极坐标方程是

??2sin?． ??????????10分

D．（选修4－5：不等式选讲） （1）当a?1时,得2x?1?1, 即x?1?131, 解得x?或x?, 22213 ∴不等式的解集为(??,]?[,??)． ??????????????????5分

22（2）∵ax?1?ax?a?a?1, ∴原不等式解集为R等价于a?1?1. ∴a?2,或a?0. ∵a?0，∴a?2. ∴实数a的取值范围为[2,??)． ????????????10分 22．[必做题]

311（1）若8种口味均不一样，有C8?56种；若其中两瓶口味一样，有C8C7?56种；

若三瓶口味一样，有8种。所以小明共有56?56?8?120种选择。 ???????4分 （2）?的取值为0，1，2，3.

31C7?C7?6?784C72?72877；P(??1)?； P(??0)?????1201201201012030P(??2)?71；P(??3)?． 120120所以?的分布列为????????????????????????????8分

?

P

其

数

0 1 2 3

7 10学

7 307 120期

1 120望

E??0?77713?1??2??3??．?????????????????10分 1030120120823．[必做题] (1)取x?1，则a0?2n；取x?2，则a0?a1?a2?a3???an?3n， ∴Sn?a1?a2?a3???an?3n?2n； ????????????????4分 (2)要证Sn?(n?2)2n?2n2，只需证3n?(n?1)2n?2n2， 当n?4时，81?80；

假设当n?k(k?4)时，结论成立，即3k?(k?1)2k?2k2，

k2k?12k2两边同乘以3 得：3k?1?3??(k?1)2?2k???k2?2(k?1)?[(k?3)2?4k?4k?2]

而(k?3)2k?4k2?4k?2?(k?3)2k?4(k2?k?2)?6?(k?3)2k?4(k?2)(k?1)?6?0 ∴3k?1?((k?1)?1)2k?1?2(k?1)2，即n?k?1时结论也成立， ∴当n?4时，3n?(n?1)2n?2n2成立.

综上原不等式获证. ??????????????????????????10分

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