余子式与代数余子式

一、余子式与代数余子式例如a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ,

a 11 a 22 a 33 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 22 a 31

a 11

a 22 a 32

a 23 a 33

a 12

a 21 a 31

a 23 a 33

a 13

a 21 a 31

a 23 a 33

在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .记 A ij 1 i j

M ij ,

叫做元素 a ij 的代数余子式.a 14 a 24 a 34 a 4423

例如D

a 11 a 21 a 31 a 41

a 12 a 22 a 32 a 422 3

a 13 a 23 a 33 a 43M23

a 11 M23

a 12 a 32 a 42

a 14 a 34 a 44

a 31 a 41

A 23 1

M

.

a 11 D a 21 a 31 a 41

a 12 a 22 a 32 a 421 2

a 13 a 23 a 33 a 43

a 14 a 24 a 34 a 44

a 21,

a 23 a 33 a 43

a 24 a 34 , a 44

M 12 a 31 a 41

A 12 1

M 12 M 12 .

a 11 M 44 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 , A 44 1 4 4 M 44 M 44 . a 33

行 列 式 的 每 个 元 素 分 别 对 应 着 一 个 余 子 式 和 一 个 代 数 余 子 式.

引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij A ij .a 11 a 12 a 22 0 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 0 a 44

例如 D

a 21 0 a 41

a 11 1 3 3

a 12 a 22 a 42

a 14 a 24 . a 44

a 33 a 21 a 41

证

当 a ij 位于第一行第一列时,a 11 D a 21 a n1 0 a 22 an2 0 a2n a nn

即有 D a 11 M 11 .

又从而

A11 1

1 1

M 11 M 11 ,

D a 11 A11 .

在证一般情形, 此时

a 11 D 0 a n1

a1 j

a1n

aij a ij

0

a nj

a nn

把 D 的第 i 行依次与第 0

i 1 行 , 第 i 2 行 , 第 1 行对调 , a ij 0 aij

a i 1, j a nj

a i 1 ,n a nn

得 D 1

i 1

a i 1 ,1 a n1

再 把 D的 第 j 列 依 次 与 第 j 1列 , 第 j 2 列 , 第1列 对 调 ,

得

a ij aij D 1 i 1

0

0

1

j 1

a i 1, j a nj

a i 1, j 1

a i 1 ,n

a n , j 1

a nn

a ij aij 1 i j 2

0

0

a i 1, j a nj a ij aij

a i 1, j 1

a i 1 ,n

a n , j 1 0

a nn 0

1

i j

a i 1, j a nj

a i 1, j 1

a i 1 ,n

a n , j 1

a nn

aij 元素 a ij 在行列式 a i 1, j a nj 余子式仍然是 a ij 在

0

0

a i 1, j 1

a i 1 , n 中的

a

n , j 1

a nn

a 11 D 0 a n1

a1 j

a1n

a ij aij a nj

0

中的余子式 M ij .

a nn

aij a ij

0

0 a i 1 , n a ij M ij ,

于是有 a i 1 , j a nj

a i 1, j 1

a n , j 1

a nn

故得

a aij ij

0

0

1 i j ai 1, j D anj

a a 1 i j a M . i 1, j 1 i 1,n ij ij

an, j 1

ann

二、行列式按行(列)展开法则定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in

i 1,2 , , n a1n 0 0 a in a nn

证a 11 D a i1 0 0 a n1 a 12 0 ai2 0 an2

a 11 a i1 a n1

a 12 0 an2a 11

a 12 0 an2

a1n 0 a nn a1n

a 11 0 a n1

a 12 ai2 an2

a1n 0 a nn

0 a n1

a in a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in a nn

i 1,2 , , n

例13 D 5 2 1 1 1 0 5 5c 1 2 c 3 11 c4 c3

1 3 1 3

2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0

0 5

5 ( 1)3 3

1 1 5 1 2 5

1 1 0 1 0 0

11 5 5 6 5

r2 r1

( 1)

1 3

6 5

2 5

8 0

2 5

40 .

例2

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1 x1 1 x2 x2 x2n 1 2

1 xn xn 2

Dn

x1 x1

2

n i j 1

( xi

x j ).

(1 )

n 1

xn

n 1

证 用数学归纳法

D2

1 x1

1 x2

x 2 x1

2 i j 1

( x i x j ),

当 n 2 时( 1)式成立.

假设( 1)对于Dn 1 0 0 0 x2n 2

n 1 阶范德蒙德行列式成立

,

1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) ( x 2 x1 ) x3n 2

1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) ( x 3 x1 )

1 x n x1 x n ( x n x1 ) n 2

xn

( x n x1 )

按第 1列展开，并把每列的公 就有

因子 ( x i x 1 ) 提出，

1 ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 ) x2 x2n 2

1 x3 x3n 2

1 xn n 2

xn

n-1阶范德蒙德行列式 D n ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 )

n i j 2

( xi x j )

n i j 1

( x i x j ).

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j.

证 把行列式

D det( a ij ) 按第 j 行展开，有a 11 a i1 a1n a in , ajn

a

j1

A j1 a

jn

A jn a

j1

a n1

a nn

把 a jk 换成 a ik ( k 1 , , n ), 可得a 11 a i1 a i 1 A j 1 a in A jn a i1 a n1 a1n a in , a in a nn

第 i 行

相同

第 j 行

当 i j 时,a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , ( i j ).

同理

a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a ni A nj 0 ,

( i j ).

关于代数余子式的重要性质

a ki A kjk 1

n

D ij

D ,当 i j , 0 ,当 i j; D ,当 i j , 0 ,当 i j;

a ik A jkk 1

n

D ij

其中

ij

1 ,当 i j, 0 ,当 i j .

3

5 1 7

3 0 2

例3 计算行列式

D

0 7

解

按第一行展开，得D 3 1 7 0 2 5 0 7 0 2 3 0 7 1 7

27 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bbd4.html