高中物理变力做功的方法及例题

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高中阶段物理变力做功解题方法

【归纳探讨】

1.等值法（重要方法黄色突出显示）

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。

例题4：如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为?和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

图3

分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块

与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。

解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为：

s2?Hsin?s1?Hsin?

?H(11?)

sin?sin?那么恒力F的作用点移动的距离为：s?s1?s2故恒力F做的功：W?FH(1sin??1) sin?例5、用细绳通过定滑轮把质量为m的物体匀速提起。人从细绳成竖直方向开始，沿水平面前进s，使细绳偏转θ角，如图所示。这一过程中，人对物体所做的功为_______。

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2、用公式W=Pt求变力做功

对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。

例9、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？

分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv求，因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。

解：当速度最大时牵引力和阻力相等， P?Fvm?fvm 汽车牵引力做的功为W?fvmt 根据动能定理有：W 解得： f=6000(N)

对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。

[例]质量为m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值vm，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为： A、Pt B、fvMt

C、fs+mvm2/2 D、mvm2/2-mv02/2+fs （答案：ABD）

3、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，即Ｆ＝ｋｓ＋ｂ，

?fs?12mvm 2 3

Ｗ＝［（Ｆ１＋Ｆ２）／2］（ｓ２－ｓ1）．也就是说，变力Ｆ由Ｆ１线性地变化到Ｆ２的过程中所做的功等于该过程的平均力 ＝（Ｆ１＋Ｆ２）／2所做的功

例题2：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s2 ）

分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+ f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。

解：由题意可知：

开始时的牵引力：F1=f0＝0.05×（800×10）＝400(N) 20米时的牵引力:F2=100×20+400=2400（N）

前进20米过程中的平均牵引力：F平=1400（N） 所以车的牵引力做功：W＝F平S＝1400×20＝28000（J）

4、用图象法求解变力做功【图形题可能使用】

如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，（横坐标表示力F在位移方向上的分量，纵坐标表示物体的位移）并利用这个图象求变力所做的功． 图象与坐标轴围成的面积表示功的数值。

例6.长度为l，质量为m的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段垂于桌面下，长为a，求从绳开始下滑到绳全部离开桌面，重力所做的功。

【分析】开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力mg，此后下垂的绳逐渐变长，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段绳长均匀增大。当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移为

F

l?a，此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg，这是一个变力做功的问题，可用用力al—位移图象来分析。

S

4

1amg(l2?a2)【解答】W?(mg?mg)?(l?a)?

2l2l

[例]如图，密度为ρ，边长为a的正立方体木块漂浮在水面上(水的密度为ρ0)．现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功? [解答]未用力按木块时，木块处于二力平衡状态 F浮=mg 即ρ0ga2（a-h）=ρga3

并可求得：h=a（ρ0-ρ）/ρ0（h为木块在水面上的高度）

在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F’浮=ρ0ga3 以开始位量为向下位移x的起点，浮力可表示为： F浮=ρga3+ρ0ga2x

根据这一关系式，我们可作出F浮-x图象(如图右所示)．在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。 W=（ρ0ga3+ρga3）h/2=ga3h（ρ0+ρ）/2

这里的“面积”为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解．即使F-x关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功

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例题3：用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2Cm。求第二次打击后可再进入几厘米？

解：由于锤子对钉子每一次做的功均相同，而锤子对钉子做的功又可以用阻力做的功来代替，已知钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比,设钉入进入的深度为x,那么阻力：f?kx, F—S图象如图2所示。

第一次锤子对钉子做的功：W1??2?2k

第二次锤子对钉子做的功：

W2?1??2k?k?2?x???x 2O 2 2+x 图2

S/cm

K(2+x) 2k

F/N 12由于W1?W2有：?2?2k???2k?k?2?x???x 解得：x?2(2?1)(cm)

5、：用动能定理求解变力做功

动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是： W 外=ΔEK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

[例]如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用．当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R．当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R／2．在此过程中，拉力对小球做了多少功?

[解答]此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功． 根据F=mv2／R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就

1212

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是拉力所做的功．

由F=mv12／R 4F=mv22／0.5R 得WF=mv22／2-mv12／2=FR/2

例题6： 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，.如图5所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为：（ ）

P O θ L F 图5

Q A：mgLcos? C.：FLsin?

B：mgL(1?cos?) D：FLcos?

分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力F、和绳的弹力作用，

只有重力和拉力做功，由于从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.，小球的动能的增量为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。

解：由动能定理可知：WF?WG?0 WF?WG?mgL(1?cos?) 故B答案正确。

例]如图，用F＝20N的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为10kg的物体从A点由静止沿水平面运动．当它运动到B点时，速度为3m／s．设＝4m，BC＝3m，AC＝9.6m，求物体克服摩擦力做的功． [解答]作出物体在运动过程中的受力图。其中绳的拉力T大

小OC

不变，但方向时刻改变．N随T方向的变化而变化(此力不做功)．f随正压力N的变化而变化．因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题．但绳拉力T做的功，在数值上应等于向下恒力F做的功．F的大小已知，F移动的距离应为OA、OB两段绳长之差．

OA?OC2?AC?10.4m OB?OC2?BC?5m

2?0 Wf＝-63(J) 由动能定理 WF+Wf=ΔEk 得：F(OA?OB)?Wf?mvB12即物体克服摩擦力做了63J耳的功．

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6、用功能原理求变力做功

功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。

例题5：如图4所示，置于水平面的平行金属导轨不光滑，导轨一端连接电阻R，其他电阻不计，垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B，当一质量为m的金属棒

ab在水平恒力F作用下由静止向右滑动时：（ ）

A.外力F对ab棒做的功等于电路中产生的电能；

B.只有在棒ab做匀速运动时，外力F做的功才等于电路中产生的电能；

C.无论棒ab做何运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能；

D.棒ab匀速运动的速度越大，机械能转化为电能的效率越高。

图4

解：在导体棒的运动过程中外力做的功，用来克服由于发生电磁感 应而产生的感应电流的安培力的那一部分转化为电能，又因为有摩擦，还需克服摩擦力做功，转化成内能.所以A、B错，C对；又当匀速运动时，由能量转化的观点，可知：

P电P机?Blv?2?RFv??B2l2?FR v,B、l、F、R一定，所以η ∝v,即v越大η越大，D对.，

故C、D正确.。

例题7：质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，

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求弹簧的弹力对物体所做的功。(g=10m/s2)

分析：对于弹簧和物体组成的系统而言，只有重力和弹簧的弹力做功，全过程中，机械能守恒。而弹力做的负功等于弹簧的弹性势能的增量。 解：假设B为参考点，由机械能守恒定律可知： EA=EB 即：E弹?mgh?1mv220?125(J)

弹力做功W弹=-125J

例3、一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好触及水

面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r=0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×l03kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa。求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功。(井和管在水面以上及水面以下的部分足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2。)

[分析与解答]

从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触。（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论。）设活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2，如图所示。

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h0=h1+h2 …………①

因液体体积不变，有 ……②

得 …………③

题给H=9m＞h1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。

活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等

于除重力外其他所做的功。因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即 …………④

其他力有管内、外的大气压力和拉力F。因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功p0π(R2-r2)h2-p0πr2h1=0，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知 W1=ΔE…………⑤

即： … …⑥

活塞移动距离从h1到H的过程中，液面不变，F是恒力F=πr2p0，做功

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W2=F(H-h1)=πr2p0(H-h1)=4.71×103J ……⑦

所求拉力F做的总功为 W1+W2=1.65×104J ……⑧

事实上，在活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2的过程中，作用在活塞上的拉力F始终等于活塞以下、水面以上的水的重力，于是有：

当活塞上升距离为h1＞7.5m后，拉力F恒定，所以拉力F随活塞上升距离s的变化图线如图所示。

于是，图线围成的面积表示拉力F做的功W。

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