数学必修一练习题汇总（含答案）

第一章综合练习

一、选择题(每小题5分，共60分) 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( ) A．3 C．7

B．6 D．8

解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．

答案：C

2．下列五个写法，其中错误写法的个数为( ) ．．

①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝? A．1 C．3

B．2 D．4

解析：②③正确． 答案：C

3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为( ) A．M∪F

B．M∩F C．?MF

D．?FM

解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可． 答案：B

4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( ) A．N

B．M C．R

D．?

解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N. 答案：A

5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为( ) A．R

B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)

1

解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.

答案：D

6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于( ) A．20－2x(0

B．20－2x(0

C．20－2x(5≤x≤10)

解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5. 答案：D

7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的( )

甲

图1

解析：水面升高的速度由慢逐渐加快． 答案：B

乙

8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋x A．①③

B．②③ C．①④

D．②④

解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]．所以F(－x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．

答案：D

2

3

9．已知0≤x≤2，则函数f(x)＝x2＋x＋1( ) 3

A．有最小值－4，无最大值 19

C．有最小值1，最大值4

3

B．有最小值4，最大值1

D．无最小值和最大值

133

解析：f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋2)2＋4，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，2]上是增函数，319

所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f(2)＝4. 答案：C

10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图2甲所示，则函数f(|x|)的图象是图2乙中的( )

甲

图2

乙

解析：因为y＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的．

答案：B

11．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) 3

A．f(－2)

C．f(2)

3

B．f(－1)

D．f(2)

解析：由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<

3

33

－2<－1，则f(2)

答案：D

12.?2009·四川高考?已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

?5?

实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f?f?2??的值是( )

??

15

A．0 B.2 C．1 D.2

1111111111331

解析：令x＝－2，则－2f(2)＝2f(－2)，又∵f(2)＝f(－2)，∴f(2)＝0；令x＝2，2f(2)＝2f(2)，3335535?5?得f(2)＝0；令x＝2，2f(2)＝2f(2)，得f(2)＝0；而0·f(1)＝f(0)＝0，∴f?f?2??＝f(0)＝0，故选

??

A.

答案：A

第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)

13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则?UA∩?UB＝________. 解析：?UA∩?UB＝?U(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U. 答案：?

14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则?U(A∩B)＝________. 解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴?R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}． 答案：{x|x<1或x≥2}

15．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围为________．

解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，则由题知：1－a≥3即a≤－2. 答案：a≤－2

16．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__________．

解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.

4

∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}， (1)当x∈N*时，求A的子集的个数；

(2)当x∈R且A∩B＝?时，求m的取值范围． 解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，

∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个． (2)∵A∩B＝?，

∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5， ∴m<－2或m>6.

18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求a，b的值．

解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1； (2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b， 当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1 当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.

x

(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有ax＋b

唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

19．(12分)已知函数f(x)＝解：∵f(x)＝

x

且f(2)＝1，∴2＝2a＋b. ax＋b

又∵方程f(x)＝x有唯一实数解． ∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．

1x2x

故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：a＝2，从而f(x)＝1＝，

x＋2

2x＋1

5

2×?－4?844

∴f(－4)＝＝4，f(4)＝6＝3，即f[f(－4)]＝3. －4＋2

20．(12分)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．

?a?解：f(x)＝4?x－2?2＋2－2a.

??

a

(1)当2<0即a<0时，f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2＝3，解得：a＝1－2. a1?a?

(2)0≤2≤2即0≤a≤4时，f(x)min＝f?2?＝2－2a＝3，解得：a＝－2(舍去)．

??a

(3)2>2即a>4时，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18＝3，解得：a＝5＋10， 综上可知：a的值为1－2或5＋10.

21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：

运输工具 汽车 火车 途中速度(千米/小时) 50 100 途中费用(元/千米) 8 4 装卸时间(小时) 2 4 装卸费用(元) 1000 1800 问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 解：设甲、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：

运输工具 汽车 火车 途中及装卸费用 8x＋1000 4x＋1800 途中时间 x50＋2 x100＋4 x

于是y1＝8x＋1000＋(50＋2)×300＝14x＋1600， x

y2＝4x＋1800＋(100＋4)×300＝7x＋3000. 令y1－y2<0得x<200.

6

①当0200时，y1>y2，此时应选用火车．

故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．

22．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．

(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；

(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．

解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3. (2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

?x>0∴?x－2>0?x?x－2?≤8

?2

7

第二章综合练习

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．计算log225·log322·log59的结果为( ) A．3 B．4 C．5

D．6

3

解析：原式＝lg25·lg22lg92lg52lg2

2lg3

lg2lg3·lg5＝lg2·lg3·lg5＝6. 答案：D

x－2．设f(x)＝??2e1

，x<2，

?log则f(f(2))的值为( 3?x2

－1?，x≥2，

) A．0 B．1 C．2

D．3

解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝2e1－1＝2e0＝2. 答案：C

3．如果log1

2x>0成立，则x应满足的条件是( ) A．x>1

2 B.1

2

D．0

解析：由对数函数的图象可得． 答案：D

4．函数f(x)＝log3(2－x)在定义域区间上是( ) A．增函数

B．减函数 C．有时是增函数有时是减函数

D．无法确定其单调

解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．

8

答案：B

5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A．0.015克

B．(1－0.5%)3克 D.100

x

C．0.925克 0.125克

111100

解析：设该放射性元素满足y＝a(a>0且a≠1)，则有2＝a得a＝(2)100. 100111x1x13100

可得放射性元素满足y＝[(2)100]＝(2)100.当x＝3时，y＝(2)100＝?2?3＝0.125. 答案：D

1

6．函数y＝log2x与y＝log2x的图象( ) A．关于原点对称 C．关于y轴对称

B．关于x轴对称 D．关于y＝x对称

解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B. 答案：B 7．函数y＝lg(A．x轴对称

2

－1)的图象关于( ) 1－x

B．y轴对称 D．y＝x对称

C．原点对称

1＋x1－x22

解析：f(x)＝lg(－1)＝lg，f(－x)＝lg＝－f(x)，所以y＝lg(－1)关于原点

1－x1－x1＋x1－x

对称，故选C.

答案：C

8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( ) A．ac>bc C．ca>cb

B．logab>logac D．logbc

解析：y＝xc在(0，＋∞)上递增，因为a>b，则ac>bc；y＝logax在(0，＋∞)上递增，因为

9

b>c，则logab>logac；y＝cx在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则ca>cb.故选D.

答案：D

9．已知f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是( ) A．增函数

B．减函数

D．不单调的函数

C．常数函数

解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 答案：A

4310．设a＝24，b＝12，c＝6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c C．b>c>a

B．b4121212

解析：a＝24＝243，b＝124，c＝6＝66.∵243<124<66， ∴12243<

12124<

1266，即a

答案：D

11．若方程ax＝x＋a有两解，则a的取值范围为( ) A．(1，＋∞) C．(0，＋∞)

B．(0,1) D．?

解析：分别作出当a>1与01时，图象如下图1，满足题意．

图1 图2

(2)当0

10

12．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是( ) 1

A．(10，1) 1

C．(10，10)

1

B．(0，10)∪(1，＋∞)

D．(0,1)∪(0，＋∞)

解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，

?x>0，1

0)上是增函数，应有?解得10

?－1

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)

13．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝________. 1

解析：由互为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2?a＝2. 1答案：2 14．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________． 解析：log2(x－1)＝2－log2(x＋1)?log2(x－1)＝log2值舍去)，∴x＝5.

答案：5

1

15．设函数f1(x)＝x2，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2007)))＝________.

－－1－

解析：f1(f2(f3(2007)))＝f1(f2(20072))＝f1((20072)1)＝[(20072)1]2＝20071.

44，即x－1＝，解得x＝±5(负x＋1x＋1

1

答案：2007 1

16．设0≤x≤2，则函数y＝4x－2－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________． 1x111解析：设2x＝t(1≤t≤4)，则y＝2·4－3·2x＋5＝2t2－3t＋5＝2(t－3)2＋2.

11

1115

当t＝3时，ymin＝2；当t＝1时，ymax＝2×4＋2＝2. 51答案：2 2 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a＝(2＋3)－1，b＝(2－3)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值． 解：(a＋1)

－2

＋(b＋1)

－2

3＋3－23－3－2111－2－2

＝(＋1)＋(＋1)＝()＋()＝62＋32－32＋32－3

7＋437－43112

(＋)＝6[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝6×4＝3. 2＋32－3

18．(12分)已知关于x的方程4x·a－(8＋2)·2x＋42＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根．

解：将x＝2代入方程中，

得42·a－(8＋2)·22＋42＝0，解得a＝2. 当a＝2时，原方程为 4x·2－(8＋2)2x＋42＝0，

将此方程变形化为2·(2x)2－(8＋2)·2x＋42＝0. 令2x＝y，得2y2－(8＋2)y＋42＝0. 2解得y＝4或y＝2.

当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2； 221

当y＝2时，2x＝2，解得x＝－2. 1

综上，a＝2，方程其余的根为－2.

2x－1

19．(12分)已知f(x)＝x，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

2＋1证明：设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1

12

2x1－12x2－1?2x1－1??2x2＋1?－?2x2－1??2x1＋1?2x1－2x2－?2x2－2x1?

f(x1)－f(x2)＝－＝＝

2x1＋12x2＋1?2x1＋1??2x2＋1??2x1＋1??2x2＋1?

2?2x1－2x2?＝.∵x1

1

20．(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．

1

解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上递增，f(2)＝0，

111

∴f(x)在(－∞，0)上递减，f(－2)＝0，则有logax>2，或logax<－2. 11a

(1)当a>1时，logax>2，或logax<－2，可得x>a，或0(2)当02，或logax<－2，可得0

综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为(0，a)∪(a，＋∞)； a

当00的解集为(0，a)∪(a，＋∞)．

21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x＋y)＝f(y)＋(x＋2y＋1)x，且f(1)＝0， (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式；

1

(3)当x∈[0，2]时，f(x)＋3<2x＋a恒成立，求a的范围．

解：(1)令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(0)＋(1＋1)×1，∴f(0)＝f(1)－2＝－2. (2)令y＝0，则f(x)＝f(0)＋(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2.

1

(3)由f(x)＋3<2x＋a，得a>x2－x＋1.设y＝x2－x＋1，则y＝x2－x＋1在(－∞，2]上是减13

函数，所以y＝x2－x＋1在[0，2]上的范围为4≤y≤1，从而可得a>1.

a

22．(12分)设函数f(x)＝loga(1－x)，其中0

13

(1)求证：f(x)是(a，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f(x)>1.

aa

解：(1)证明：设任意x1，x2∈(a，＋∞)且x1

1

2

aaaaaa

?x2－x1?1－x1－x＋x－x

ax1－ax21221

1＋＝loga＝log＝log＝log(1＋)＝loga[1＋aa?aa?aax1x2－ax1

1－x1－x?1－x2?22

a?x1－x2?a?x1－x2?

]．∵x1，x2∈(a，＋∞)且x1

x1?x2－a?x1?x2－a?a?x1－x2?a?x1－x2?a＋<1，又∵00，∴f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝loga(1－x)在(a，x1?x2－a?x1?x2－a?＋∞)上为减函数．

a1－??x>0，①a

(2)因为01?loga(1－x)>logaa??a

??1－x

解不等式①，得x>a或

aaa

.因为0

14

第三章综合练习

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．4

解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，

∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C

1

2．函数y＝1＋x的零点是( ) A．(－1,0) C．1

B．－1 D．0

1

解析：令1＋x＝0，得x＝－1，即为函数零点． 答案：B

3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )

解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点． 答案：C

4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )

A．大于0

B．小于0

D．等于零

C．无法判断

解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．

15

答案：C

1

5．函数f(x)＝ex－x的零点所在的区间是( ) 1

A．(0，2) 3

C．(1，2)

1

B．(2，1) 3

D．(2，2)

111

解析：f(2)＝e－2<0， f(1)＝e－1>0，∵f(2)·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(2，1)内． 答案：B

1

6．方程log2x＝2x－1的实根个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．无穷多个

11

解析：方程log2x＝2x－1的实根个数只有一个，可以画出f(x)＝log2x及g(x)＝2x－1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.

答案：B

7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )

A．55台 C．150台

B．120台

D．180台

解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000) ＝－0.1x2＋36x－3000

＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D

8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α0 C．f(x1)f(x2)≥0

16

B．f(x1)f(x2)<0 D．以上答案都不对

解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定． 答案：D

9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )

A．10吨 C．11吨

B．13吨 D．9吨

解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8. 则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20， ∴x＝9. 答案：D

10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )

答案：A

11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则( ) A．k＝0

B．k>1

C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0

解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.

答案：D

12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

x y＝x2

0.2 0.6 1.0 2.0 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 8.0 9.0 y＝2x 1.149 1.516 0.04 0.36 2.639 3.482 4.595 6.063 1.96 3.24 4.84 6.76 3.4 10.556 11.56 … … … 17

那么方程2x＝x2的一个根所在区间为( ) A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)

B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)

解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0； 在x＝2.2时，2x

综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内． 答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)

13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．

解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．

答案：(2,3)

11

14．已知函数f(x)＝ax－bx＋1的零点为－2，3，则a＝__________，b＝__________.

2

11b111

解析：由韦达定理得－2＋3＝a，且－2×3＝a.解得a＝－6，b＝1. 答案：－6 1

15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．

图1

解析：由题意知场地的另一边长为l－2x， l

则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0

l

答案：y＝x(l－2x)(0

16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每

1

过滤一次可使杂质含量减少3，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)

1

解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%(1－3)n≤0.1% 20.12

即(3)n≤2，∴nlg3≤－1－lg2， ∴n≥7.39，∴n＝8. 答案：8

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．

b

解：设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－2a＝2.

2

2

设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x21＋x2＝10，

b2c6

∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－a)2－a＝10，∴16－a＝10， b

∴a＝1.代入－2a＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3. 18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)． 解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)． ∵f(1)＝－2，f(2)＝3，

∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．

取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.

取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)． ∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，

19

∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．

19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．

800

解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为xm，于是鱼池与路的占地面积为 800160040020

y＝(x＋2)(x＋4)＝808＋4x＋x＝808＋4(x＋x)＝808＋4[(x－)2＋40]．

x当x＝

20

，即x＝20时，y取最小值为968 m2. x

答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.

20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，

x10

这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝，Q＝x，该集团今年计划对这两项生产共

33

投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．

x10

解：投入养殖加工生产业为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝3＋360－x， 由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．

21．(12分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝ax2＋bx＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：

产品数量x(百件) 成本合计y(千元) (1)试确定成本函数y＝f(x)；

(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；

(3)据利润函数p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)

解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax2＋bx＋c，

6 104 10 160 20 370 ?36a＋6b＋c＝104

得?100a＋10b＋c＝160，?400a＋20b＋c＝370

11

解得a＝2，b＝6，c＝50.所以y＝f(x)＝2x2＋6x＋50(x≥0)．

20

1

(2)p＝p(x)＝－2x2＋14x－50(x≥0)． 1

(3)令p(x)＝0，即－2x2＋14x－50＝0， 解得x＝14±46，即x1＝4.2，x2＝23.8，

故4.20；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．

22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：

x f(x) 1 4.00 2 5.58 3 7.00 4 8.44 (1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；

(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．

(3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？

解：

图2

(1)散点图如图2：

?a＋b＝4

(2)设f(x)＝ax＋b.由已知得?，

?3a＋b＝735

解得a＝2，b＝2，

21

35

∴f(x)＝2x＋2. 检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.

35

∴模型f(x)＝2x＋2能基本反映产量变化． 35

(3)f(7)＝2×7＋2＝13，

由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．

22

必修1综合练习

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( ) A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{2,3,4}

D．{1,2,3,4}

解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}． 答案：D

2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是( )

图1

A．A∪B B．(?UA)∪(?UB) C．A∩B

D．(?UA)∩(?UB)

解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(?UA)∩(?UB)． 答案：D

3．若f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝1－x2?1?

x2(x≠0)，则g??2??的值为( )

A．1 B．3 C．15

D．30

1解析：g(1－2x)＝1－x211?1?1－16

x2，令2＝1－2x，则x＝4，∴g??2??

＝

1＝15，故选C. 16

答案：C

23

2

??x＋1??x<1?，

4．设函数f(x)＝?则使得f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为( )

?4－x－1?x≥1?，

A．10

B．0，－2

D．1，－1,11

C．0，－2,10

解析：因为x<1时，f(x)＝(x＋1)2，所以f(－1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f(m－1)＝m2＝1，m＝±1.当m－1≥1，即m≥2时，f(m－1)＝4－m－2＝1，所以m＝11.

答案：D

5．若x＝6是不等式loga(x2－2x－15)>loga(x＋13)的一个解，则该不等式的解集为( A．(－4,7)

B．(5,7) C．(－4，－3)∪(5,7)

D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)

x2－2x－15>0，

解析：将x＝6代入不等式，得loga∈(0,1)．则?

a9>loga19，所以?x＋13>0，

?x2－2x－15

得x∈(－4，－3)∪(5,7)．

答案：C

6．若函数f(x)＝1

2x＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最大值 C．单调递增无最大值

D．单调递增有最大值

解析：2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x＋1>0， ∴

1

2x＋1

在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A

7．方程(1

x3)＝|log3x|的解的个数是( ) A．0 B．1 C．2

D．3

解析：

24

) 解

图2

1

在平面坐标系中，画出函数y1＝(3)x和y2＝|log3x|的图象，如图2所示，可知方程有两个解．

答案：C

8．下列各式中，正确的是( ) 4252

A．(－3)3<(－4)3 1111C．(2)2>(3)2

4151B．(－5)3<(－6)3 34

D．(－2)3>(－3)3

2454252

解析：函数y＝x3在(－∞，0)上是减函数，而－3<－4，∴(－3)3>(－4)3，故A错； 1454151

函数y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，而－5>－6，∴(－5)3>(－6)3，故B错，同理D错．

答案：C

9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个食物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为( )

A．105 kJ C．103 kJ

B．104 kJ D．102 kJ

?1?2

解析：H1?10?＝10，∴H1＝103.

??答案：C

10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )

25

图3

H

解析：当h＝2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，故排除A，B，D.

答案：C

11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f(1－m)＋f(－m)<0，则m的取值范围是( )

1

A．(0，2) 1

C．(－1，2)

B．(－1,1)

1

D．(－1,0)∪(1，2) 解析：f(1－m)<－f(－m)，

∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)1－m>m>－1， 11

解得0

?log2?1－x?，

12．(2009·山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?

?f?x－1?－f?x－2?，

的值为( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

x≤0x>0

，则f(2009)

解析：由题意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)． 两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝f(x)， ∴f(2009)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1. 答案：C

26

第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) log2716

13.log4的值是________．

32

log4

log2716332解析：log4＝log4＝3. 332

答案： 3

kx＋5

14．若函数y＝2的定义域为R，则实数k的取值范围为__________．

kx＋4kx＋33

解析：kx2＋4kx＋3恒不为零．若k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k<4.

???3答案：?k?0≤k<4

???

??

? ??

15．已知全集U＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k

且(?UA)∩B＝?，则实数k的取值范围是________．

解析：?UA＝{x|1

答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)

16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．

解析：当x＝1时，y＝alog22＝a＝100，∴y＝100log2(x＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y＝100log2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500.

27

答案：500

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

k

17．(10分)用定义证明：函数g(x)＝x(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增函数． kkk?x2－x1?

证明：设x1

1212∵x10，x2－x1>0，

k

又∵k<0，∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

18．(12分)已知集合P＝{x|2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当P∩Q＝?时，求实数k的取值范围．

?2k－1<2，?k＋1>5，?解：当Q≠?，且P∩Q＝?时，或?解得k>4；当Q＝??2k－1≥k＋1，?2k－1≥k＋1.

时，即2k－14.

19．(12分)已知f(x)为一次函数，且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2007)和f(2008)的大小．

解：因为函数f(x)为一次函数，所以f(x)在[－1,1]上是单调函数，f(x)在[－1,1]上的最大值

?4f?1?－2f?－1?＝18，

为max{f(－1)，f(1)}．分别取x＝0和x＝2，得?解得f(1)＝10，f(－1)

4f?－1?－2f?1?＝24，?

＝11，所以函数f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝11.又因为f(1)f(2008)．

20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.

(1)求a，b的值；

(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围． 解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. ①当a>0时，f(x)在[2,3]上单调递增．

?f?2?＝2?4a－4a＋2＋b＝2?a＝1??故，即，解得? ?f?3?＝5?9a－6a＋2＋b＝5?b＝0②当a<0时，f(x)在[2,3]上单调递减．

28

?f?2?＝5?4a－4a＋2＋b＝5?a＝－1故?，即?，解得?. f?3?＝29a－6a＋2＋b＝2b＝3???

(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， 2＋m2＋m

由题意知2≤2或2≥4，∴m≤2或m≥6. 21．(12分)设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)． (1)求f(x)的解析式和定义域； (2)求f(x)的值域； (3)讨论f(x)的单调性．

解：(1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即lgy＝3x(3－x)，y＝10所以f(x)＝103x(3－x)(0

3x(3－x)．

?3x>0，

又?所以00，

9?27327?

(2)y＝103x(3－x)，设u＝3x(3－x)＝－3x2＋9x＝－3?x2－3x＋4?＋4＝－3(x－2)2＋4.当x＝

??

3272727∈(0,3)时，u取得最大值，所以u∈(0，]，y∈(1,102444]． 3?3?3?27?

(3)当0

????

3

是递增的；当2

22．(12分)已知函数f(x)＝lg(4－k·2x)(其中k为实数)， (1)求函数f(x)的定义域；

(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围． 解：(1)由题意可知：4－k·2x>0，即解不等式：k·2x<4， ①当k≤0时，不等式的解为R，

4

②当k>0时，不等式的解为x

当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log2k)．

44

(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2x>0恒成立．得k<2x，设u＝2x，

29

4

又x∈(－∞，2]，u＝2x的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．

30

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e7x5.html