凸函数的几个等价定义

本科生毕业论文

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凸函数的几个等价定义

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摘要……………………………………………………………………………………4 1凸函数的定义………………………………………………………………………6 2凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………6 2.1凸函数的等价定义………………………………………………………………6 2.2凸函数的性质……………………………………………………………………7 3凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………10 3.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………10 3.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………11 总结……………………………………………………………………………………16 参考文献………………………………………………………………………………17 谢辞……………………………………………………………………………………18

凸函数的几个等价定义

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。

关键词：凸函数；等价性；不等式

Several equivalent of convex function defined

Abstract

Convex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application.

[Key wards] Convex functions; Equivalence; Inequality.

凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。

1 凸函数的定义

定义1 设D R2为凸集， f:D R．如果对于D中任意两点x'与x"，以及任一实数 0 1 ， 恒有

f( x' (1 )x") f(x') (1 )f(x")

则称f是凸集D上的严格凸函数。

注：若 -f 是严格凸函数，则称f是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。

下图中的 a 和 b 分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象

,

2 凸函数的等价定义和性质

函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。 2.1 凸函数的等价定义

定义2 设f x 是定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2,恒有

x x f x1 f x2 f 12

22

则称f x 为I上的凸函数。

定义3 若在定义I上成立不等式（x1≠x2）

x x f x1 f x2 f 12 <

22

则称f x 是I上严格的凸函数。

定义4 下面几个定义等价： （1）f(x)为区间上的凸函数；

（2）对 x1,x2 I,x1 x2,令x (1 t)x1 tx2，则

t

x x1x x ;1 t 2

x2 x1x2 x1

于是有

f(x)

x2 xx x1

f(x1) f(x2)；

x2 x1x2 x1

（3）对 x1,x2,x3 I,x1 x2 x3,，有

f(x2) f(x1)f(x3) f(x1)f(x3) f(x2)

；

x2 x1x3 x1x3 x2

（4）对 x1,x2, xn I,t1,t2, ,tn 0(n 2), ti 1，有

i 1n

f( tixi) tif(xi)；

i 1

i 1

nn

（5）对 x0 I, R，使得

f(x) f(x0) (x x0),x I。

定义5 如果f(x)在上I一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：

f (x)在I上单调递增，

x0 I0,f(x) f(x0) f (x0)(x x0), x I

f(x)的图形在某任一点(x0,f(x0))的切线的上方。

定义6如果f(x)在I上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：

f (x) 0。

定义7 可微函数f(x)：Rn R是凸函数的充要条件是：f(x)作为Rn在中任一直线 x p R ,x,p Rn上的一元函数y f(x p)满足

f (x p)( R)单调增。

定义8 设S Rn是非空开凸集，f(x)是定义在I上的二次可微函数，则

f(x) 是凸函数的充分必要条件是：在S的每一点Hesse矩阵半正定,

2f 2f

2

x x x1n1

其中 f (x) 为Hesse矩阵。

2 2

f f

2 x x xn n1

定义9 f(x)为 a,b 上的连续凸函数的充分必要条件是：。 x,yx a,b 且f(x) y 为凸集（水平集）A

定义10 f(x)在I上是凸函数的充分必要条件是：f(x)对任意定义于 0,1 上，值域g 0,1 I的可积函数g x ，有

f( g x dx f(g x )dx，

1

21

只要右边有意义。 2.2 凸函数的性质

性质1 设f x 在区间I上为凸函数，对任意k 0，则:

k 0时，kf x 在区间I上为凸函数;

k 0时，kf x 在区间I上为凹函数。

性质2 设f x ，g x 是间I上的凸函数，则其和

f x g x

也是I上的凸函数。

性质3 若设f x ，g x 是间I上的凸函数，则

max f x ,g x

为I上的凸函数。

性质4 设 u 是单调递增的凸函数，u f x 是凸函数，则复合函数 f x 也是凸函数。

性质5 设f x 为区间I上的凹函数，f x 0，则反之不真。

性质6 若f x 在区间I上为凸函数，对任意x I，则x为I的内点. 则单侧导数

1

为区间I上的凸函数，fxf ' x ,f ' x

皆存在，且

f ' x f ' x 。

性质7 f x 为区间 a,b 上的凸函数，对任意

x0 a,b , R,

对任意x I有

f x x x0 f x0 。

性质8 设f(x)是区间I上的凸函数，则在I的任一闭子区间上f(x)有界

a,b I ，

则

x a,b ，取

x a

b a

x (1 )a b

f(x) 1 f(a) f(b) M

( 此处M max(f(a),f(b)) 再令

a b

， x a,b 2

c

存在x关于c的对称点x ， 由f(x)的凸性得到

f(c)

f(x) f(x )11

f(x) M

222

因此，

f(x) 2f(c) M m。

性质9 设f(x)是区间 a，b 上的凸函数，则在 a，b 的任一闭子区间上f(x)满足Lipschitz条件。 3凸函数等价定义的应用举例 3.1一些集合上的凸函数

凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例： 1.实数域R上的二次函数：

f(x) x2,x R；

2.Euclid空间Rn上的范数函数：

f(x) x

p

( xip),x R,p 1,

i 1

n

1

p

其中

x (x1, ,xn)T，

特别

f(x) x x1 xn

2

2

是Rn上的凸函数。

3.Banach空间 中凸集S上的距离函数：

ds(x) infx y,x 。

y s

4.线形拓扑空间X中凸集S上的Minkowski函数（泛函），

us(x) inf 0x s ,x X。

5.线形空间V上的仿射函数：

l(x) ,x ,x V,其中 V, R。

6.线形空间V中凸集S上的指示函数：

0,x s

s(x) 。

,x V

3.2 运用凸函数等价定义证明不等式 3.2.1.Jensen不等式：

设f(x)在I上是凸函数， x1,x2, xn I,p1,p2, ,pn 0(n 2),

p

i 1

n

i

1,f( pixi) pif(xi)，

i 1

i 1

nn

(1)设ai 0(i 1,2 ,n),有

n

a1a2an

a1a2 an

a1 a2 an

.

n

(2)设ai,bi 0(i 1,2, ,n),有

ab

i 1

n

ii

( api)( bpi)

i 1

i 1

n

1p

n

1q

其中p 1,q 1,

11

1。 pq

1

0,所以lnx为凹函数,于是 x2

证明 ： (1)因为(lnx)''

a1 a2 an1n) lnai lnn1a2 an,

nni 1

即

a1a2 an

a1 a2 an

.

n

又因 lnx为凸函数,于是

111

11aaa11

ln ln ln,

nna1nan

即

111 a1a2an

n

亦即

n111 a1a2an

1

a1a2 an

,

a1a2 an.

(2)当p 1时,

(xp)'' p(p 1)xp 2 0,x (0, ),

于是xp是凸函数.在詹森不等式中令

f(x) x, i

p

biq

b

j 1

n

(i 1,2 ,n),

q

j

有

n

ai

q 1

i 1bi

bq n

i ii(ai)p ((q 1)p q) nq biq 1i 1 bi j 1

p

于是

( aibi)

i 1n

q

n

p

ai b

j 1i 1n

j

n

q

,

q

( bj)p

j 1

得到

( aibi) ( bj)

p

q

i 1

j 1

nn

p 1

( ai)

q

i 1

n

( bj)

qj 1

n

p 1

( ai)

q

i 1

n

再对上面不等式两边开p次方，便证得

aibi)

i 1

n

p

( a)( bj).。

pi

p

j 1

i 1

n

1p

n

1p

3.2.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式:

x y

p

x

p

yp

即

( xi yi) ( xi) ( yi)其中p 1。

i 1

i 1

i 1

n

p

1p

n

p

1p

n

p

1p

证明:当p 1时,显然成立。

当p 1时,考虑 (t) tp.t 0由于 (t)为凸函数， 由凸函数定义得:

xp

x x p

x

p

p

xix

xix

p

p

yx

p

p

p

x

y

p

yi

yp

(

p

p

xp x

(

p

)

p

yiy

p

xp x

)p

则:

xi yi x xi 1

p

n

n

n

xi yi

x xi 1p p

p

p

p

xpypxipyip () () x xxpxp xpyp i 1p p

xx

p

p

p

x

(

i 1

n

xix

p

p

)

p

yx

p

p

p

x

p

p

(

i 1

n

yiy

p

p

)

x

p

p

xx

xp x

p

pp

y

xp x

yy

pppp

1

这样

i 1

n

xi yi x

p

y

p

p

两边取p次根的证。

3.2.3 霍尔德(Holder)不等式： 设 1,

1 1

1，ai 0及bi 0(i 1,2, ,n),则

n

n

1

( aibi ( ai) ( bi)

n

i 1i 1i 1

且仅当ai与bi(i 1,2, ,n)成正比例时等号成立。

证明：取f(x) x ( 1,0 x )由f (x) ( 1)x 2 0，则f(x)为

(0, )凸函数．又

t1x1 t2x2 tnxn t t t

12n

t1x1 t2x2 tnxn , t t t12n

由Jensen不等式，令 pi

n

ti

得

t1 t2 tn

n

( tixi) ( tixi)( ti) 1

i 1

i 1

i 1

n

即

tx

ii 1

n

i

( tixi)( ti)

n

1

n

1

i 1i 1

令

有 1

1

于是有

1

1

1

1

tx

ii 1

n

i

( tixi)( ti)

n

1

n

1

i 1i 1

令ti bi,xi ti

1 i

，则有

( tixi) ( ai) ( bi)

nn

1

n

1

i 1i 1i 1

当ai与bi成正比例，即ai kbi

上式左边

＝k bi

i 1

1

n

1

1

kbi aibi

n

1

n

i 1i 1

令 2时得Cauchy不等式：

( xiyi

i 1n

2

( xi) ( yi)。

2

2

i 1

i 1

n

12

n

12

3.2.4 在初等不等式证明中的应用

在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式都可在凸函数框架下得到统一证明。

例1：设a1，a2， ，an为n个正数，证明

1n

aini 1

n

ai a i

i 1 i 1

证明：对原式取对数，则

ai

n

n

n

。

ailnai ( ai)ln( ai)

i 1

i 1

i 1

n

1n

注意到

n

1n

ln( ai) i 1

i 1

n

n

ai

)

只须证

n

n

ailnai ( ai)ln(i 1

i 1

i 1

n

n

ai

)

即证

11

ailnai ( ai)i 1 ni 1ni 1n

n

n

n

ai

)

为此，设f(x) xlnx，上式可表示为

1n1n

f(ai) f( ai) ，

ni 1ni 1

由于f (x) 0 ，f(x)是凸函数，故而命题成立。

例2、设

ai 0,bi 0,q qi 0 , qi 1 ,

i 1

n

则

a

i 1

n

n

qi

i

b (ai bi)qi。

qiii 1

i 1

nn

证明：原式变形为

bi

1

i 1 ai

qi

bi

1 a

i 1 i

n

，

qi

取对数又可变形为

n bi

ln1 i 1 ai

注意到

qi

qiln(1

bi

) , ai

bi i 1 ai

nbb biqilnilni ai ， eai ， eai

qi

上式又可变形为

nb

qini ln 1 ei 1ai

b

lni

qiln 1 eai .qi i 1

n

令f(x) ln(1 ex)，由f(x)的凸性即证。

总结：本文对凸函数这一概念作了不同形式的定义,以凸函数几种定义的等价性

给以证明,并给出凸函数的几个简单性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出

有关凸函数的简单应用：应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数在证明一般不等式中的应用,特别是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙、简练.利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的。

参考文献：

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1984.

[3] 匡继昌．常用不等式[M]．济南：山东科学技术出版社，2004。

[4] 菲赫金哥尔茨格马．数学分析原理[M]．北京：人民教育出版社，1988。 [5] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993。 [6] 刘玉琏.数学分析讲义（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2004。 [7] 刘三阳．凸函数的新发展［J］．西安电子科技大学学报（69期）， 1990。 [8］刘玉琏．数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社’1970:250-257.271，272。 [9]林贤坤．凸函数的性质[J]．广西民族学院学报(自然科学版）.2000，

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[10］Chen D R ，You X．Minimax optimal rates of convergence for multicategory classfications［J］ ． Acta Mathematica Sinica，2007 ，27（8） ：1119-1126。 [11］Yuan P Zh ,Chen H B．Two inequalities for convex functions［J］ ．Acta Mathematica Sinica ，2004 ，21（1）：193-196。

谢 辞

本文从命题到完成李盈科老师都一直在耐心的辅导着我，不惜花费很多时间来给我讲解，帮助我解决一些疑难问题，并指给了我着手的方向。正是因为李盈科老师的认真负责和无私奉献才使我顺利的完成毕业论文，并且使我在写论文的过程中学到了很多有用的东西，让我受益匪浅 ，在这里我真挚的感谢李盈科老师的教导！

我还要感谢我的父母，是他们的辛勤劳动与无私付出让我能在大学进行教育；感谢帮助过我的舍友、同学们，感谢你们在生活和论文写作中给予的帮助和建议，同时感谢大学四年来教育过我的任课老师以及所有帮助和支持过我的老师们，谢谢你们！

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