大数定律及其在保险业中的应用

论文

２０１０年９月第３０卷第５期

天水师范学院学报

ＪｏｕｍａｌｏｆＴｉａｕｌｓｈｕｉ

Ｓｅｐ．，２０１０Ｖ０１．３０

Ｎｏ．５

Ｎｏ瑚ａｌ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉ哆

大数定律及其在保险业中的应用

曹小玲

（长江大学信息与数学学院，湖北荆州４３４０２３）

摘要：在介绍几种常用大数定律的基础上，均危险值等方面的应用．

关键词：大数定律；保费；保险单位中图分类号：Ｆ８４０

文献标识码：Ａ

阐述了它们在制定保费、拟定保险单位数及减少保险个人平

文章编号：１６７１—１３５ｌ（２０１０）０５—００２１—０２

我们知道．概率法则总是在对大量随机现象的考察中才能显现出来．为了研究“大量”的随机现象。常常采用极限的形式．这就引导到极限定理的研究．大数定律就是极限定理研究的成果之一．所谓大数定律．即是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称．【－ｌ以抛一枚硬币为例．虽然我们不能准确预言每次抛得的是正面还是反面．但若经过独立抛掷充分多次数之后．出现正面的频率与０．５很接近．即在大量的随机现象里．各自的偶然性在一定程度上可以相互抵消。相互补偿．因而有可能显示出某种必然

的法则来．

从而有Ｐ（岳善孝，一寺善以善）｜≥∞≤去专ｏ，刀斗电

从而定律得证．

切比雪夫大数定律在保险里可以说明．在承保标的数量足够大时．被保险人所交纳的纯保费与其所能获得赔款的期望值是相等的．这个结论反过来．则可说明保险人应如何收取纯保费．

定理１．２（伯努利（Ｂｅｍｏｕｌｌｉ）大数定律）

设ｍ是ｎ次伯努利试验中事惭发生的次数，ｐ是

每次试验中事件Ａ发生的概率．则对任意给定的正

数占，有１ｉｎｌ尸｛ｌ坐一ｐｌ＜占｝＝１．（证明略）

ｆＩ。１

一。【Ｉ玎Ｊ

此定律表明：当ｎ很大时．凡重伯努利试验中事件

１大数定律的几种形式

大数定律形式有很多．现仅介绍几种最常用的大数定律．

定理１．１（切比雪夫（Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ）大数定律）设随机变量刍，＆，…，靠，…相互独立，它们的方

Ａ发生的频率几乎等于每次试验中事件Ａ发生的概率．这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此。在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率．

定理１．３（泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）大数定律）

设在第ｉ次试验中事件Ａ发生的概率为ｐ。，ｉ＝１，２

…，ｌ，瑚表示几次试验中事ｆ糊发生的次数，则有

差依次为矿：，盯：，…，矿，…而且存在正常数Ｉ｜｝，使得对一切ｉ＝１，２，…，有盯；≤五，（后＞ｏ），则对任意给定的正常

她恒有慨ｐ瑕喜务去喜Ｅ卧占｝＝１．

泊松大数定律表明．当独立进行的随机试验的条件变化时。频率仍然具有稳定性，即随着ｎ的无限增大，在ｎ次独立试验中，事件Ａ的频率趋于稳定在各次试验中事件Ａ发生概率的算术平均值附近．

熄忙

＜占ｌ＝ｌ

１

ｊ

憔喜枷啦，≤掣：掣；掣

因为ｆ，，＆，…，靠，…是一列两两相互独立的随机变量，它们的方差有界，即可得到

证明：利用切比雪夫不等式，有：

２大数定律在保险业中的应用

大数定律是保险业经营的一个重要数理基础．

ＤＩ∑舌小：∑Ｄ（最）≤础，

收稿日期：２０１０一０１一１２

作者简介：曹小玲（１９８ｌ一），女，湖北麻城人，长江大学信息与数学学院教师．

２１

万方数据

论文

大数定律的运作．可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性．转化为风险单位集合的损失的确定性．由于与损失金额的预测具有相关性．大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性．下面分成几个方面来阐述大数定律在保险业中的一些应用．

２．１制定保费

以切比雪夫大数定律为例．该极限定理运用到保险行业，相当于有ｎ个投保人或被保险人．同时投保了ｎ个相互独立的保险标的，用磊表示每个标的实际发生损失的大小．其中，Ｅ（矗）为理论上每个投保

人应缴纳的纯保费，三∑孝为平均每个被保险人

，ｚ百。‘

实际获得的赔款金额．当投保人数足够多．即乃＿÷∞时．实际赔款金额等于理论上的纯保费团．这一定律说明在承保标的的数量足够大时．保险人收取的纯保费应与被保险人所能获得赔款金额的期望值相等．

２．２计算保险单位数

假设某类保险有１００个被保险单位．每个单位的损失概率为ｐ＝０．２，由于一般情况下各个被保险单位是相互独立的．所以．保险的损失次数Ｘ服从二项

分布，即ｘ一６（ｎ，ｐ），其中ｎ＝１００，ｐ＝ｏ．２．设ｘ＝艺置，

置＝（ｏ：誉妻耋霎，根据中心极限定理和（ｏ～１）分布的

∑ｘ一印相关性质，有：Ｐ｛－ｚ号＜亏霸ｉ万＜ｚ号｝引～，取ａ＝ｏ ０５，

ｌ

Ｉ

Ｉ

２

２

损失概率以９５％的置信度落在区间【０．１２，０．２８】之内．这样实际损失变动与保险单位总数的比率为８％．显然出入较大．大数定律告诉我们．在有足够多的标的物（保险单位数）时，实际损失结果与预期损失结果的误差将很小．因此．若要减小实际损失变动的比率。必须增大保险单位数．例如，若我们将被保险单位数由原来的１００增大为１００｜００。同样取ｐ＝０．２，ａ＝０．０５，可计算出此时的置信区间为『１９２０，２０８０１，实际损失变动与保险单位总数的比率为０．８％．这样就大大降低了比率数．从而更有利于保险公司制定合理公正的费率．那么。应该怎样确定保险单位数呢？用

ｆＯ．没有损失

，由大数定律及中心极限定理知，当

【１．出现损失

万方数据

ｎ很大时，保险的平均损失次数牙＝；砉ｘ，～＾，（ｎ鲤≯），

从而可得ｉ的一个置信水平为ｌ—ａ的置信区间为

［ｐ±

损失变动与保险单位总数

的比

数后．

低保险单位数．

２．３降低被保险人平均危险值

大数定律建立在“大数”的基础之上．即通过风险承担主体的增多．将保险产品承担的风险在更多风险单位中分摊．假设保险人承保了ｎ个危险相同、相互独立的风险单位．我们用相互独立且同分布的随机变量Ｘ，，托，…，Ｘ。表示每个保险单位的损失量，对单个被保险人而言．面临的损失是实际损失置与期望损失ＥⅨ）（总体Ｘ与Ｘ，期望值相同）的偏差，用Ｘ

的标准差听表示．。平均每个被保险人的损失与损失

一二ｘ，

丽险人面临的总体损失为Ｘ。拟：＋…般。，其方差为

大数定律说明了大量的随机现象由于偶然性相司费率制定、确定最低保单数及降低每个被保险人２００６．

充２００３，（３）：３６—３８．

叨．数学的实践与认识，２００５，３５（１ｏ）：１２８一１３３．

２００７，ｌ５（４）：６５－６７．

［责任编辑邵海琴］

偏差分别为义２旦－，∞５Ｖ—了＿，这样，ｎ个保

，酊，，标准差为、／ｉ盯，，而将每个被保险人看作单个

个体他们所面临的危险总和为，珂。，显然√ｉ矿。＜

咿。，即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险

人面临的危险总和．所以．如果将ｎ个被保险人看成一个整体．则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增加而减少．

撕一２，则损失次数ｚ在区间［印吆旦、／面而，印＋

暑旦、／面丽】＿［１２，２８］这一范围内的概率为９５％，即

３结语

互抵消而呈现出某种必然数量规律．作为保险业经营的一个重要数理基础．大数定律对于指导保险公的平均危险值等方面．都起着重要作用．参考文献：

【１】魏华林，林保清，主编．保险学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，

【２】张艳辉．保险经营中的大数法则与规模经济性叨．财贸研

【３】王东红．大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用

【４】何英凯．大数定律与保险财政稳定性研究叨．税务与经济，

ｘ，，ｘ：。…，ｘ，表示凡个被保险单位的损失的随机变量，

置＝ｆ。

论文

大数定律及其在保险业中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

曹小玲

长江大学,信息与数学学院,湖北,荆州,434023天水师范学院学报

JOURNAL OF TIANSHUI NORMAL UNIVERSITY2010,30(5)

参考文献(4条)

1.魏华林,林保清,主编.保险学[M].北京:高等教育出版社,2006.

2.张艳辉.保险经营中的大数法则与规模经济性[J].财贸研究,2003,(3):36-38.

3.王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用[J].数学的实践与认识,2005,35(10):128-133.4.何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究[J].税务与经济,2007,15(4):65-67.

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