全国百强校word炎德英才大联考长郡中学2017届高考模拟卷（一）文科数学试题

【全国百强校word】炎德英才大联考长郡中学2017届高考模拟卷

（一）文科数学试题

一、解答题

1.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 收费比例 第次 第次 第次 第次 次 元/次收费, 并注册

该公司从注册的会员中, 随机抽取了消费次第 频数 第次 第次 位进行统计, 得到统计数据如下: 第次 第次 第次 假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:

（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；

（3）设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出人, 再从这人中抽出人发放纪念品, 求抽出人中恰有人消费两次的概率． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）直接根据古典概型概率公式求解即可；（2）先求出该会员第一次消费、第二 次消费公司获得的利润，然后求平均值即可；（3）先根据分层抽样的原理算出抽出的人中, 消费次的有人，随机抽两人，共有种抽法，抽出人中恰有人消费两次共有种，再根据古典概型概率公式可得结果． 试题解析：（1）的概率为

位会员中, 至少消费两次的会员有．

（元）, 第 次消费时, 公司获得利润

（元）．

,所

人, 所以估计一位会员至少消费两次

；（2）

；（3）．

（2）该会员第次消费时, 公司获得利润为为

（元）, 所以, 公司这两次服务的平均利润为

（3）至少消费两次的会员中, 消费次数分别为，，，，的比例为以

抽出的人中, 消费次的有人, 设为,消费次的有人, 设为各有人, 分别设为,从中取人, 取到的有:去掉后, 取到

的有:

共种;

,消费次和次的

共种;

去掉 后, 取到的有: 共种, 总的取法有

种， ．

种,

其中恰有人消费两次的取法共有：所以, 抽出人中恰有人费两次的概率为

考点：1、古典概型概率公式；2、分层抽样的应用及平均值的求法． 2.等差数列

中，其前项和为

，且

，等比数列

中，其前项和为，且

（Ⅰ） 求（Ⅱ）求

； 的前项和

；

;（2）

.

【答案】（1）

【解析】试题分析：（Ⅰ）本题考查求等差数列通项公式及等比数列通项公式，根据条件

求出

的值，求出公差后可以求出通项公式求出

列，

，同理根据条件

为等差数

，求出公比后可以求出通项公式 ；（Ⅱ）根据

的前n项和用采用错位相减法.

为等比数列，于是求数列

试题解析：(Ⅰ)由

舍去，

又,所以或

因为时，

的公式

，故

所以等差数列

同样可得因为又(Ⅱ)

时,

为等比数列,所以

或

.

,故

舍去.

① ②

①-②得：

，

，

（

也是正确的）

考点：1.等差数列；2.等比数列；3.数列求和. 3.如图，在五面体

，

中，四边形

.

是边长为的正方形，

平面

，

，

，

（1）求证：（2）求直线

平面与平面

；

所成角的正切值.

.

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】

试题分析：（1）取的中点，先证明四边形为平行四边形得到，然后通过勾股定理证明从而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）解法1是先取的中点，连接

，利用（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到

，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，通过证明四边形为平

行四边形得到，从而得到平面，从而得到，然后利用底面四边形

为正方形得到，由这两个条件来证明平面，从而得到是直线与平面所成的角，然后在直角中计算，从而求出直线与平面所成角的正切值；解法2是先取的中点，连接，利用（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，然后选择以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出线与平面所成角的正切值. 试题解析：（1）取

的中点

，连接

，则

，

由（1）知，

，

在

中，

，且，

，四边形为平行四边形，

，又，得，，

在中，，，

，

，，

，与、

、

平面

，

，即

，

四边形

，

是正方形，

平面

，

，平面； 的中点，

（2）解法1：连接取

的中点，连接

相交于点，则点是，

则，

，且

.

，

，且，且平面平面

. . ，与平面

平面所成的角.

.

所成角的正切值为，

与

；

的中点， ，

，且

.

，

平面

，

平面

.

，，

平面

. ， . ，

由（1）知四边形由（1）知

，平面平面，是直线

在直线

中，与平面

是平行四边形.平面

，又，.，

平面

解法2：连接则四边形

，且

由（1）知

，平面，

相交于点，则点是

，且

.由（1）知

是平行四边形.

，

平面

，又，.

平面

平面平面

.

，，

平面

. ，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系

所在直线为轴，

，则

所在直线为轴，，

，

所在直线为轴， ，

.

，

设平面得令

的法向量为，，则平面

与平面

，

，由，得的一个法向量为所成角为，

.

.

. ，

，

.

设直线则直线

，

.

.

与平面所成角的正切值为

考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面所成的角；3.空间向量法 4.已知点

，点在轴上，点在轴的正半轴上，点

在直线

上，且满足

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点（Ⅱ）过点

的轨迹的方程；

两点，若在轴上存在一点

，使得

做直线与轨迹交于

是以点为直角顶点的直角三角形，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）

;（2）

.

，由于点在轴上，点

，再根据

，

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查求轨迹方程，设动点在轴的正半轴上，于是可以根据条件

表示出

坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程，注意曲线上点坐标的取值范围；（Ⅱ）本问考查直线与抛物线位置关系，由题分析，直线的斜率显然存在且不为0，于是可设方程为

，与曲线C的方程联立，消去未知数x，得到关于y的一元二次方程，设，于是得出

，使得

，

，根据弦长公式求出

，若在轴上存在一点

，转化为

是以为直角顶点的直角三角形，则点到轴的距离不大于

关于的不等式，可以求出取值范围. 试题解析:（Ⅰ）设点

,由

,得

,

由得，所以

,所以

又因为点在轴的正半轴上，所以（Ⅱ）设直线得直线的方程代入又

,得

，①

是方程①的两个不相等的实根，

由，解得 ②

线段的中点的坐标为

在轴上存在一点点到轴的距离不大于化简，得

，使得

，即

是以为直角顶点的直角三角形，

，解得

.

结合②得直线的斜率的取值范围为

考点：1.轨迹方程；2.直线与抛物线的位置关系.

方法点睛：直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立恰当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”. 5.已知函数(Ⅰ)求（Ⅱ）设

的单调区间； 极值点为，若存在

，且

，使

，求证：

【答案】（1）增区间为：

减区间为：

;（2）见解析. 的定义域为

，，只需

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查利用导数研究函数单调性，

，由

得:

，于是可以根据

求出函数的单调区间；（Ⅱ）本问考查利用导数证明不等式，要证

证

，由于

在

上为增函数，所以只需证

即可，由已知，且，，整理得到

，于是通过换元，构造新函数，可以证明原式成立.

试题解析：（Ⅰ）

由

得:

的定义域为

，

由得增区间为：

由得减区间为：

在

即可，

上为增函数，

（Ⅱ）要证由（Ⅰ）知只需证不妨设

，只需证

，由已知得

即

设

在上是增函数，，即

又成立，即

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数证明不等式. 6.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）已知与直线平行的直线过点【答案】（1）直线的极坐标方程为

;（2）

.

，且与曲线交于

两点，试求

；曲线的直角坐标方程为

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标互化公式程为

，即

，曲线C的直角坐标方

，消去直线中的参数t，得到直线的直角坐标方程，再化为

极坐标方程；（Ⅱ）本问考查直线参数方程标准形势下的几何意义，设的参数方程为

，（为参数），代入曲线C的直角坐标方程，可以根据

求解.

试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为所以直线的极坐标方程为又因为曲线的极坐标方程为所以曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）因为直线与直线平行，

化简得

又在直线上，直线的参数方程为，（为参数），

将它代入曲线的方程中得所以

考点：1.极坐标；2.参数方程. 方法点睛：经过点

，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），若

A，B为直线上两点，其对应参数分别为则以下结论在解题中经常用到：（1）（4）

.

，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，；（2）

；（3）

；

7.选修4-5：不等式选讲

已知函数（Ⅰ）若不等式

的解集为

，求实数的值； ,使得

.

的解集为

，则有

，于是

，

，求实数的取值范围.

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若【答案】（1）

;（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据不等式

，可以求出的值；（Ⅱ）本问考查利用绝对值三角不等式解决有解问题，即

使得范围.

试题解析：（Ⅰ）

的解集为

（Ⅱ）

，使得

即

成立， ，

即 解得

或

，

.

，

，

只需满足

即可，于是可以求出m的取值

.

实数的取值范围是

考点：1.不等式的解法；2.绝对值三角不等式. 二、选择题 1.已知集合A．【答案】D 【解析】2.已知

，则

，若复数

，故选择D.

（为虚数单位）为纯虚数，则

( )

B．

C．

，则 D．

( )

A． B． C． D． 【答案】A 【解析】

为纯虚数，所以

，则

=2.

3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应填入( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】开始，S=0+3=3，a=5，判断，应执行否，n=1+1=2， S=3+5=8，a=7，判断，应执行否，n=2+1=3， S=8+7=15，a=9，判断，应执行否，n=3+1=4， S=15+9=24，a=11，判断，应执行否，n=4+1=5， S=24+11=35，a=13，判断，应执行否，n=5+1=6， S=35+13=48，a=15，判断，应执行否，n=6+1=7， S=48+15=63，a=17，判断，应执行否，n=7+1=8，

S=63+17=80，a=19，判断，此时应输出，所以判断框内应填n>7，故选择D. 4.将函数区间为( ) A．

B．

C．

D．

的图像向左平移个周期后，所得图像对应的函数

的一个单调增

【答案】B 【解析】函数得到

，即

5.在区间

上随机地取一个数，使

的周期为

，将函数，函数

，当

的图像向左平移个单位后，

的单调增区间为时，

，故选择B.

恒成立的概率是( )

A． B． C． D． 【答案】A

【解析】恒成立，即

，当且仅当

，设，即

，则

时，等号成立，所以问题转化为

恒成立的概率是

，即，所以在区间，故选择A.

上随机地取一个数时，使

6.如图，网格纸上小正方形为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三图，则该多面体的体积为( )

A． B． C． D． 【答案】B

【解析】根据三视图考虑将多面体置于正方体中，如下图，四棱锥P-ABCD为图中三视图所对应的几何体，

连接AC，则 ，故选择B.

7.已知函数

，且给定条件

“

”，条件

“

”，

若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( ) A．

B．

C．

D．

【答案】A 【解析】

当时，，则，所以

，所以

，又当

，故选择A.

时，

，若是的充分不必要条件，则

8.若圆为( )

关于直线对称，则被圆心在原点半径为的圆截得的最短的弦长

A． B． C． D． 【答案】C

【解析】由题意，直线过圆的圆心为M，则问题转化为过点M的直线被圆所截得的最短弦长，即直线垂直于OM时，被圆所截得的弦长最短，，则弦长为，故选择C. 9.已知函数

，则函数

的大致图像为( )

A． B． C． D．

【答案】A 【解析】函数C选项， 当10.直线

时，

与双曲线

，当

时，

，故选择A.

的左支、右支分别交于

，则该双曲线的离心率为( )

C．

D．

两点，为右顶点，

的定义域为

，

，则

为非奇非偶函数，排除B，

为坐标原点，若A．

B．

【答案】D

【解析】如图，设双曲线左定点为K，根据双曲线对称性可知，所以直线OC方程为

，则离心率为

，则

，将C点带入双曲线方程有，故选择D.

，所以

，

方法点睛：本题关键是分析出，从而得到直线OC方程为 ，通过直线与双曲线联立，计算进而求出离心率，这也是求双曲线离心率的一般方法：即求双曲线的离心率时，将提供的双曲线几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和

转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或不等式.

的图像交于

两点，若

中点为点

，则

11.已知直线与函数的大小为( )

A． B． C． D． 【答案】B

【解析】由已知条件有：

，当

方法点睛：①函数

；

②函数③④

12.已知点侧棱上，A．

B．

关于点是偶函数是奇函数

对称函数函数时，关于点

，，所以对称

，故选择B.

，则

（即为奇函数）；

关于直线关于直线点

对称； 对称.

,若四面体

中球心恰好在

在同一个球的球面上，

,则这个球的表面积为( ) C．

D．

【答案】C

【解析】根据题中条件，将四面体ABCD置于长方体中，如下图，则球心在体对角线DA中点处，球的直径为体对角线DA，，所以，则球的表面积为，故选择C.

方法点睛：解决本题的关键是，即，又球心在DA上，于是联想到将四面体置放在长方体中，将抽象问题具体化，特殊化，易于理解和计算，根据长方体体对角线等于外接球的直径，可以求出球的直径，计算得出球的表面积.考查空间想象能力及等价转化思想的应用.

三、填空题 1.设向量【答案】【解析】由

，且

,则

__________．

得

，所以

，则

，

.

2.已知实数满足，则目标函数的最小值为__________．

【答案】

【解析】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分

由上图，显然目标函数3.的三个内角__________． 【答案】

【解析】根据正弦定理，

，根据余弦定理于4.若函数

，所以由满足

在点所对的边分别为

处取得最小值-2.

，则角的最大值是

转化为

，当且仅当

得，

，当

，所以角的最大值为. 时，

,若在区间

，即

时，等号成立，由

，

上，方程

有两个不等的实根，则实数的取值范围是__________．

【答案】【解析】设

，（

，则

，则

），于是有

，根据

，则函数

可得：图像如下图，

方程有两个不等的实根，转化为

的图像与函数

在区间

有两个不等的实根，即函数

上有两个不同的交点，如上图，当

，

，根据导数几何意

与（）相切时，设切点为

义有函数或

.

在区间

，解得，此时切线斜率为，函数或

的图像与，所以

上有两个不同的交点时，则有

方法点睛：本题关键是根据及时，求出函数在区间

上的解析式，然后画出分段函数的图像.于是将方程有两个不等的实根，转化为两个函数图像有两个不同的交点，通过数形结合的思想方法，方程的根转化为函数的零点或函数图像的交点，体现了转化思想的重要性.

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