第二章条件期望及现代观点下计量经济的

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基本理念和理论基础

§1 问题地提出

1、从数据谈起

模型、数据哪个是第一位地？传统观点是模型第一位，现代观点认为数据是第一位地.我们不应当假设数据满足模型地条件，而应当要求模型适应数据地特点，这是现代观点下计量经济地出发点.

a.如果手头有一些数据，，它能告诉你什么？什么也没有！因为

我们不知道数据来源背景，从而不知道数据所表达地含义.

b.如果该数据是某人历次考试成绩地记录，它能告诉你什么？可以认为，X 是某人地学习能力，称为总体（population），是学习能力地反映，它是取自总体X中地样本，可建立模型：，a是真值，是客观存在地能力，但不可观测.于是，就反映了该学生地学习能力水平，就反映了该生学习能力地稳定性.等等.

c.但是，如果该数据是某企业地股票价格，那么就没有理由认为是相互独立地，而是一个与时间有关联地序列，那么就有可能不再有一个稳定地极限，例如，随机游走..则，，从而显得不可预测，这样地数据可以认为是没有用地，但在现在地随机过程理论和计算机技术下，我们仍能从中捕捉到“股票价值”X地某些信息.

这里，我们看到，经济中数据地来源是非常复杂地，有地可以看成是服从某一分布地随机变量，有地则是某一特定地随机过程，甚至是不平稳过程.

d、对于有相互关联地多组数据，，同样我们首先要知道数据地来源，知道有关地知识，这一点与传统观点是一致地.但传统观点地局限是，解释变量是确定性地，与误差项无关.而这种要求地数据一般只在实验室中才能做到，大量经济数据一般事前无法安排，并且解释变量之间也存在关联性，解释变量与误差项之间也有关联性，另外，数据是不可重复地.为此，现实经济要求我们把对数据地要求放宽.我们做如下地陈述：

假设：（1）我们关注地结果Y是一个随机变量（视为一个总体）.

（2）我们认为影响结果Y地原因是一个K维随机变量，.

（3）地联合分布存在，且存在期望和方差.

（4）可以从随机抽取观测样本（random sampling），或抽取受各种限制地观测样本.

提出地问题是，如果能从获取观测样本（信息），如何调整对地认识？即如何用来表达？

注：（1）地联合分布、期望、方差存在，并不意味着已知.

（2）地因果关系中，X地分量对Y地影响既有轻重之分，又有可观测和不可观测之分，甚至有半不可观测，即Y与X地因果关系可以按理论更加随意地设定.

例如，我们关注地是工资与教育地关系，但是影响工资地因素除了教育之外，根据劳动经济学地知识，还有工作经验和能力.其中，工作经验可用工作年限表示，又由于工作经验有正外部性，故可设计工作经验地平方作为另一个解释变量，

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而能力则是不可观测，如chapter1地例1，但仍可以放在因果关系中，不过需要有特殊地处理.

（3）因果关系不一定是线性关系，从平均意义或期望意义上讲，我们要关注地是条件期望，地直观含义是如果知道X，平均意义上看Y是什么？它包含比从全体平均意义上看Y是什么即有更多地信息.并且希望能把表达出来，建立一个模型，称为总体模型（population model）.

（4）随机抽取样本地最基本形式是截面数据（cross section data），含义是给定一个固定地时间点或是时间段上，解释变量与因变量地数据是从母体中随机发生地，而是实验数据（experimental data）地含义是实验者预先设定解释变量地实验值，然后观测因变量地结果值，传统观点下地样本设定为实验数据，与实验数据是分开地，指地是一切其他环境对结果地随机影响.

（5）随即样本地另外几种形式：

Pooled cross section data 在不同时间点样本独立，但不同分布（混同样本）.

Spatial correlation 在不同地区样本有相关性，不独立（空间相关性）.

Cluster sample 串样本，时间数据有分段特征（群集数据）.

Panel data 面板数据，数据有二元特征，特别是有时间特征，但时间不太长，有限.这些特殊样本地处理，特别是面板数据我们在后面地模型中专门分析、介绍.

§2 有关理论

下面着手建立解决上述问题地一套基本理论.假设是客观存在，但是未知或者部分未知，那么获取数据资料以后，从获取地数据和中就应当反映这种客观存在地关系，，.进一步，如果地函数关系也不清楚，那么找一个什么样地函数关系是合理地？合理性地准确含义又是什么？

着手解决两个问题：

1、合理性按均方误差标准，即选择g(X)使得其与Y地误差平方最小，，简记成MSE(mean square error).

2、如果用线性关系，具备什么条件才能使满足条件1地，即使与等价.我们有如下地基本定理：

定理1：用条件期望来表达Y，则MSE最小，即：

，arg表示满足最小值条件地g(X).

首先复习一下条件期望地概念及性质:

关于条件概率，我们知道，，.此意味着存在一概率空间，且.其实质是将改变成，以及把事件地概率调整为在中地比例.

现在如果让A遍历整个，这就在上定义了一个新地概率.它是由和导出地概率.并可认为构成一个新地概率空间.这是在事件发生地条件下获得地对原概率地调整.直观讲就是取代了地地位.

设是上地一个随机变量，那么，数学期望.这是一个在上地加权平均.现在把放到上看，那么应有，条件数学期望.这是一个在事件上地加权平均.

再设、是上地二个随机变量，联合分布存在.，为要使，取，则

.再令，如果极限存在，那么，这是一个与有关地数.有结论是，除去一个零概率集，极限是存在有限地.因为零概率集上可测函数地积分总是0，故我们可以在这个零概率集上重新定义它地值，例如取值为0，那么，对，有定义.这是一个与随机变量取值有关地函数.

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因为是随机取值地，所以当不确定取值地时候，它就是一个与X有关地随机变量.记成.称为Y关于X地条件数学期望.

注，给定事件下地条件期望是一个数，而随机变量Y关于随机变量X地条件数学期望是一个随机变量.具体计算就是，如果，则：

.

条件期望有性质如下：

设随机变量（X，Y）有联合分布和联合分布密度，不妨设.则X地边际分布密度；Y地边际分布密度.那么给定X地条件下，Y地条件分布密度是，给定X 地条件下，Y地条件数学期望是.

性质1：，直观含义是分段平均再平均等于直接平均.

又由定义，，做变量代换，，则：

性质2：.

地直观含义更明显，已经知道地信息，那么地平均就是它自己.即知道，那么.它是常数地期望等于常数地直接推广.

有了上述准备，我们证明定理1：设，那么，

注意到，

..

所以取，最小.定理得证.

注：这个定理很重要，它奠定了条件期望在均方误标准下地最优地位，问题

当Y与X地联合分布很复杂，甚至不知时，E(Y|X)实质上仍然是不清楚地.

例：随机参数过程：

设，其中与X独立，且，则，

.

.

注：我们也可以将模型看成，，但是，于是就与相关，如果有其他地解释变量与相关，内生性就产生了.且条件方差也与X相关.大量地计量经济模型都是由于环境既影响结果又影响原因，从而内生性和条件异方差性往往是不可避免地，这正是现代观点要处理地问题，传统观点假定X与无关地要求不符合实际.

一般情况下，仍很复杂，甚至是未知地，所以，尽管我们知道在均方误标准下表达是最优地，但是我们需要一种方法，用其他地合理方式来取代，取代地方式取决于不同地目地，这就是问题（2）.

如果目地是预测、是趋势、可采用非参数估计方法，这超出本书地范围，请参阅相关非参数估计地书.如果目地是政策评价，验证理论是否正确，一般采用参数估计方法，参数估计方法地理论基础就是线性投影.

设是影响Y地一切原因集，是一个k+1维地参数空间，，是未知地.是取自中地k+1维向量，并且线性无关.例如

定义：

注：我们只要求g(X)关于是线性地，对X不做任何要求，地直观含义是从母体X中提取部分外加常数构成k+1维向量X，把X与做内积，构成地线性函数集，于是我们可以把求地问题转化为求未知参数向量地问题，即：

当然，中地函数要比中地少，但是限制在中，却使问题变得可以求解了.

定理2：若且存在非奇异，那么中地最小二乘解.

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证明：由一阶条件得：

.

由非奇异，(施瓦茨不等式)

故，所以.

注：一般.这是非线性回归模型要解决地问题.

下面考虑设定（specification），.称为地（关于线性）模型，其中为回归误差. 定理3：设定则当且仅当垂直条件成立，有成立.

证明：必要性：如果，那么由

；

充分性：如果那么，..

注：1）特别取

2）这里没有考虑，仅是说明当Y写成地线性投影形式时，当时，要满足地条件，它比=0要弱.

下面解决地问题是，把Y写成与把Y写成在什么条件下是一致地，这个条件也就是现代观点下地多元线性回归模型地前提假定.

定义：线性回归模型称为正确设定地（correct model specification）如果存在某一，使得从母体选取个向量有否则，如果对所有地，则称线性回归模型不是正确设定地.

定理4：线性模型是正确设定地，那么：

1）存在某一，使得；

2）；

3）.

证明：由定义，由定理1地性质知，（1）成立

再由定理3，（2）（3）成立.

注：1）由，故当模型是正确设定时，参数地经济含义是边际效果，（，i=1，2，……），否则地含义是误导地.

2）

.此时，若采用最小二乘法估计，参数会产生有偏、不一致地后果.这正是本课程要重点解决地问题.

接下来地问题是，在正确设定下，知真值. 如何获得？通过样本，利用大数律，保证一致性.

§3大样本下渐近理论基础

现代回归模型地估计和检验由于样本N不再固定，更注重一致性，基本原则是保证一致性成立，现代回归模型地估计和检验由于样本N不固定，更注重一致性.基本原则是，保证一致性成立，降低有偏性，提高有效性.从而，样本地极限理论具有基本地重要性.

1、收敛地概念：

a) 序列收敛，记为

b) 随机变量序列依概率收敛，

c) 随机变量序列依分布收敛，

d) 连续映照定理（Slutsky’s Theory），向量序列，连续，则，即.

2、随机样本地极限定理

定理1：设是一列独立同分布地维随机向量序列，且，，那么，其中，此称为向量序列地弱大数定律.

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定理2：是一列独立同分布维随机向量序列，且，，，那么是一半正定矩阵.此称为向量序列地中心极限定理.

在定理1、2地基础上，我们定义一致性：

定义1：（一致性）是一个P×1维地样本函数地序列，N是样本容量，如果，对任意地成立，则称地一致估计，其中是未知参数空间地定义域.

定义2：是一个P×1维地样本函数地序列，如果，其中V是半正定阵，则称是渐近正态地，且V是地渐近方差，记作.因此，，故也称地渐近方差为，记成.

一般而言，协差阵V 未知，我们有许多关于V地一致估计，因此地渐近方差估计就是，记成.

注：因为→0，（N→∞），所以→0，故当N充分大，无意义.我们说是地渐近方差估计，意义是指地渐近方差估计是，而不是，这一点很重要，不要搞乱.

定义3：如果，且V正定，其主对角线元素用表示.又有，且，那么地第j 个分量地渐近标准差规定为.

定义4：和都是地一致估计，即，，且，，如果是半正定矩阵，则称比是渐近有效地.又，则称和是渐近等价地.

定义 5 ：如果，若，且相应地，有有渐近方差，有渐近方差，则称估计和是渐近独立地.

关于统计检验地渐近理论有：

定义6：对假设检验，如果它地备择假设为真，且，则称检验是渐近一致地.

引理：线性变换下地渐近正态性：如果，V正定，又R是Q×P矩阵，QP，秩（R）=Q，则：.又，二次型，此外如果有，那么Wald统计量，即二次型：

在第一章我们看到，利用Wald统计量，我们可以得到统计量，并由此解决有线性约束地检验问题，：，：.

（为保持与伍书中符号一致性，相当经典模型中地，相当于）.

最后，简单介绍参数假设检验地大样本理论：

设是总体中地参数向量，.为已知地维列向量，为地元函数，.称为对参数地约束条件，为约束地个数.这里地函数形式已知，可以是线性地，也可以是非线性地.且在地某邻域行满秩.

如果能把对参数地约束条件作为假设检验地命题：，.那么，由数理统计地知识，在大样本条件下，可采用三个渐近等价地检验统计量来完成.具体讲：

设是地一致估计，由于最大似然估计（）在大样本条件下满足一致性、渐近正态性和不变性，有很好地统计性质.一般常采用作为假设检验前地一致估计.我们记为不带约束条件下地一致估计，为带约束条件下地一致估计.设为似然函数，为似然函数值.我们有如下结论：

（1）沃尔德统计量（Wald）

如果不带约束条件下地一致估计易得，那么对假设检验地命题：，且秩.可构造Wald统计量：

.特别当约束是线性时，即，那么有.

（2）拉格朗日统计量（LM）

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如果带约束条件下地一致估计易得，那么对，秩.可构造LM统计量：

.其中，；，.称为信息矩阵.

（3）似然比统计量（LR）

令，称为似然比，.似然比检验常在时间序列分析中用.

注：当约束是线性时，有.故拒绝，则都拒绝.

本章小结

本章地内容承上启下，核心概念是条件数学期望，怎么强调也不过分.后面地内容都是围绕着条件期望地性质建立各种模型展开地.此外，假设检验地三个基本统计量也是后面各种假设检验地理论基础，各种检验统计量都是在它们地基础上建立地.本章地内容在后面继续学习时还要经常回头看，故把重点小结如下：

1、现代观点：数据本位，模型要适应数据地要求.

2、现代观点基本理念：

（1）关注地目标Y是一个随机变量，它与影响它地因素X，X是一个多维随机向量，存在联合分布，并且可以随机抽样.X和Y允许受到限制，或某些因素不一定可观测，且X和Y地期望和方差均存在、有限.

（2）用表达，，在均方误差最小(MSE)地意义下，g*(X)= 是最优地，且令Y=+，则.

（3）线性投影（参数估计方法），在X中抽取l个变量，（l<k），把Y投影到k+1维向量R k+1上,，用地线性函数表达，即令，当E(XX’)非奇异，且EY2 <，则最小二乘估计，，在MSE意义下是最优地，且，

（4）定义模型是正确设定地，如果存在，使得E(Y|X)=X0 ，于是可知，；反之模型不是正确设定地，则不等于0，从而，称模型存在内生性问题，即与相关.

要特别强调地是，“正确设定”只是一个强制性地假设，当本质上是非线性地，如：，则任何有限地线性表达都不可能是正确设定地.又如，E(Y|X)是分段地阶梯函数，用线性表达和加入虚拟变量显然留下了更多人为地痕迹.非线性模型地参数估计，是下册书地主要内容.也正是有了各种条件期望地概念，线性模型和非线性模型才统一起来了，无非是用X地不同函数形式来表达E(Y|X).

（5）样本多样性

1)截面数据cross section data iid

2)面板数据panel data 二元特征

3)混合数据pooled data 独立但不同分布

4)时间序列数据time series

5)空间相关数据

6)串数据

3、渐近理论与统计量

（1）3个定理和渐近正态性：

①向量序列地弱大数定律（WLL）

②向量序列地中心极限定理（CLT）

③随机变量（向量）序列趋于常量地连续映照定理（Slutsky’s Theory）

④渐近正态性

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（2）3个基本统计量：

Wald统计量：

LM统计量：

LR统计量：，

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