2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

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1.解：（1）∵ 抛物线y

m 14

x

2

5m4

x m 3m 2经过原点，

2

∴ m2 3m 2 0. 解得 m1 1，m2 2. 由题意知 m 1. ∴ m 2.

∴ 抛物线的解析式为y

14x

2

52

2

x.

∵ 点B（2，n）在抛物线y ∴ n＝4.

14

x

52

x上，

∴ B点的坐标为（2，4）. ……………………………………2分 （2）①设直线OB的解析式为y k1x.

求得直线OB的解析式为y 2k. ∵ A点是抛物线与x轴的一个交点， 可求得A点的坐标为（10，0）.

设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）. 根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1. 可求得点C的坐标为（3a，2a）. 由C点在抛物线， 得2a 即94a

2

图1

1

4

11

(3a) a 0.

2

52

3a.

解得 a1 ∴ OP

2229229

，a2 0（舍去）.

.…………………………………………4分

②依题意作等腰直角三角形QMN. 设直线AB的解析式为y k2x b.

由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y

12x 5.

当P点运动到t

秒时，两个等腰直角三角形分别由一条边恰好落在同一条直线

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上，有以下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示. 可证△DPQ为等腰直角三角形. 此时OP、DP、AQ的长可依次表示

为t、4t、2t个单位.

图2

∴ PQ＝DP＝4t. ∴ t＋4t＋2t＝10. ∴ t

107

第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示. 可证△PQM为等腰直角三角形. 此时OP、AQ的长可依次表示为

t、2t个单位.

∴ OQ＝10－2t

∵ F点在直线AB上， ∴ FQ＝t . ∴ MQ＝2t .

∴ PQ＝MQ＝CQ＝2t . ∴ t＋2t＋2t＝10 . ∴ t＝2 .

第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条

直线上，如图4所示.

此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位. ∴ t＋2t＝10 . ∴ t

103

图4

图3

. 10

10

.………………………8分 2

73

综上，符合题意的t值分别为

2. 解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），

∴ 0 = 4k -3，解得k=

34

．

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∴ 直线的解析式为 y=由直线y=

34

34

x-3． ……………………………………………1分

x-3与y轴交于点C，可知C(0,-3) ．

34

2

∵ 抛物线y x mx n经过点A(4,0)和点C,

∴

34

4 4m 3 0，解得 m=

2

154

．

∴ 抛物线解析式为y

34

2

34

x

2

15

x 3.……2分4

（2）对于抛物线y

令y=0，则 ∴ B(1，0).

34

2

x 154

154

x 3，

x x 3 0，解得x1=1，x2=4．

∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t. ① 若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），

∴ △AP1Q1∽△AOC. ∴

AP1AO

AQ1AC

, ∴

3 t4

5 2t5

．解得t=

53

； ………………3分

② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC， ∴ △AP2Q2∽△AOC. ∴

AP2AC

AQ2AO

, ∴

3 t5

5 2t4

．解得t=

136

； ………………………4分

③ 若∠Q A P=90°,此种情况不存在. …………………………………5分 综上所述，当t的值为（3）答：存在．

过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）. ∴ S△ADF=

12

53

或

136

时，△PQA是直角三角形．

DF·AE，S△CDF=

12

DF·OE．

∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF

==

1212

DF·AE +

12

DF·OE

DF×(AE+OE

)

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==

12

×(DE+DF)×4 ( 323

2

12

34

x

2

154

x 3

34

x 3) 4

=

∴ S△ACD=

x 6x． …………………………………………………6分

2

． (x 2) 6（0<x<4）

32

0，∴ 当x=2时，S△ACD的面积最大．

2

又0<2<4且二次项系数 而当x=2时，y=

32

．

32

∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )． …………………………………7分

3.解：（1）顶点坐标A（1，-1）. …………………1分

……………………………2分

y x b (1)

（2） 2

y x 2x (2)

把（1）式代入（2）整理得：x 3x b 0.

9 4b 0，b

94

2

. …………………4分

y x b (1)（3） 2

y x 2x (2)

把（1）式代入（2）整理得：x x b 0.

1 4b 0，b

14

2

. …………………6分

当直线y x b与图象C3 有两个交点时，b的取值范围为：

94

b

14

. …………………7分

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4.（1）证明：令y=0,则x2 mx m 2 0．

∵ ( m)2 4(m 2) m2 4m 8 (m 2)2 4,……………1分 又∵(m 2)2 0， ∴(m 2)2 4 0．即△>0．

∴无论m为任何实数，一元二次方程x2 mx m 2 0总有两不等实根． ∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．…………………………2分

（2）解：∵二次函数y x2 mx m 2的图象经过点（3，6）,

∴ 32 3m m 2 6.解得 m ∴二次函数的解析式为y x

2

12

. 32

12

x . …………………………3分

（3）解：将y x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y x 2. ……………4分 1 x ， y x 2，1 x2 1， 2

解方程组 13 得 2

3y 1.y x x . 2 y .

221

2

13

的交点为A(, )，B(1, 1).

2222

13

∴点A关于对称轴x 的对称点是A (0, ),点B关于x轴的对称点是B (1,1).

42

∴直线y x 2与抛物线y x

2

1

x

3

设过点A 、B 的直线解析式为y kx b．

5

k 2

3 b

2

3

b ，

∴ 2 解得

k b 1.

O

∴直线A B 的解析式为y

52

x

32

.

3

∴直线A B 与x轴的交点为F(,0). ………………………5分

5

117

与直线x 的交点为E(, ). ………………………6分

448173

则点E(, )、F(,0)为所求．

485

5

过点B 做B H AA 的延长线于点H ，∴B H ，HA 1.

2

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在Rt

A B H中，A B

2

.

∴所求最短总路径的长为AE EF FB A B

12

2

2

. ………………7分

5．解：（1）∵抛物线y (x )

9

19

∴顶点M的坐标为(, )．………… 1分 424

（2）抛物线与y x2 x 2与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．

设线段BM所在直线的解析式为y kx b．

3 2k b 0，

k ,∴ 12 9解得

k b . b 3 24

∴线段BM所在直线的解析式为y

32

x 3．………………………2分

设点N的坐标为(x, t)．∵点N在线段BM上， ∴ t

32

x 3. ∴x

23t 2．

∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC

＝12 1 2

12

(2 t)( 13t

2

23

t 2)

13

t

2

13

t 3．……3分

∴S与t之间的函数关系式为S 自变量t的取值范围为0 t

94

13

t 3，

．………………………4分

12

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m

2

2

2

2

2

2

且n m2 m 2．

PA (m 1) n，PC m (n 2)，AC 5．

2

分以下几种情况讨论： ①若∠PAC＝90°，则PC

52

2

PA

2

AC

2

2

n m m 2,．∴

2222 m (n 2) (m 1) n 5.

解得m1 ∵ m

12

， m2 1．

5

57

．∴P1(,)．……………………… 6分

242

．∴m

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②若∠PCA＝90°，则PA PC

32

2

2

AC

2

2

n m m 2,．∴

1222

(m 1) n m (n 2) 5.

解得m3 ，m4 0．∵m

12

，∴m

35

．∴P2(, )．

2423

当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角． 5735

∴存在符合条件的点P，且坐标为P1(,)，P2(, )． ………… 8分

2424

6. 解：（1）当m=2时，y (x 2)2，则G（2,0），P（4,4）. ………………………1分

如图，连接QG、PG，过点Q作QF x轴于F，过点P作PE x轴于E. 依题意,可得△GQF≌△PGE. 则FQ＝EG＝2，FG＝EP＝4，, ∴ FO＝2.

∴Q（－2，2）. ………………………2分

（2）用含m，b的代数式表示a：a m b2. ……4分 （3）如图，延长QC到点E，使CE＝CQ，连接OE.

∵ C为OD中点， ∴ OC＝CD. ∵ ∠ECO＝∠QCD, ∴ △ECO≌△QCD.

∴ OE＝DQ＝m. ………………………5分 ∵ AQ＝2QC, ∴ AQ＝QE. ∵ QO平分∠AQC, ∴ ∠1＝∠2.

∴ △AQO≌△EQO. …………………6分 ∴ AO＝EO＝m.

∴ A（0，m）.………………………7分 ∵A（0，m）在新的图象上, ∴ 0＝m－m2.

∴m1＝1，m2＝0（舍）

.

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∴ m＝1. ………………………8分 7. 解：（1）∵关于的一元二次方程

∴ 16 4c 0.

∴c 4………………………1分 又∵

为正整数，

有实数根，

∴c＝1,2,3,4. ……………………… 2分 （2）∵ 方程两根均为整数，

∴c＝3,4.………………………3分 又∵ 抛物线与x轴交于A、B两点， ∴ c＝3.

∴ 抛物线的解析式为y x2 4x 3………………………4分 ∴ 抛物线的对称轴为x＝2.

∵ 四边形OBPC为直角梯形，且∠COB＝90°， ∴ PC∥BO. ∵ P点在对称轴上，

∴ PC＝2. ………………………5分

（3） 2 m 0或2 m 4.………………………7分（写对一个给1分） 8. 解：（1

）B(1

0)；C(1,3)．………………………2分

（2）过点C作CP⊥AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R．

∵△ABC

是等边三角形，A(1 ∴ EAO 60 ．

在Rt△EOA中，∠EOA＝90°．

∴EO AO tan60 (1 ∴E(0,3

．

0)．

3

∵EF∥AB交BC于F，C(1,3)．

∴R(1,

3 2．

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∵直线y kx 1将四边形EABF的面积两等分．

2∴直线y kx

1必过点R(1,．

∴k 1

2

k

2

………………………………………4分

（3）正确结论：①∠GNM＝∠CDM．

证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为y x2 2x 2……5分

∴D(0,2)．

∵G(－2,0)． ∴OG＝OD． 由题意∠GON＝∠DOM＝90°． 又∵∠GNO＝∠DNH ∴∠NGO＝∠MDO ∴△NGO ≌△MDO

∴∠GNO＝∠DMO，OM＝ON ∴∠ONM＝∠NMO＝45° 过点D作DT⊥CP于T ∴DT＝CT＝1 ∴∠CDT＝∠DCT＝45° 由题意可知DT∥AB ∴∠TDM＝∠DMO

∴∠TDM＋45°＝∠DMO＋45°＝∠GNO＋45° ∴∠TDM＋∠CDT＝∠GNO＋∠ONM

即：∠GNM＝∠CDM．……………………………………………7分

9. 解：（1）分两种情况：

当m=0时，原方程化为3x 3 0，解得x 1，

∴当m=0，原方程有实数根. ……………………………………………1分 当m 0时，原方程为关于x的一元二次方程，

∵ 3(m 1) 4m(2m 3) m 6m 9 (m 3) 0.

2

2

2

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∴原方程有两个实数根.

综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. …………………………3分 （2）①∵关于x的二次函数y1 mx 3(m 1)x 2m 3的图象关于y轴对称，

2

∴3(m 1) 0. ∴m＝1

∴抛物线的解析式为y1 x 1. …………………………………4分

②∵y1 y2 x 1 (2x 2) (x 1) 0，

∴y1 y2（当且仅当x=1时，等号成立）. （3）由②知，当x=1时，y1＝y2＝0.

∴y1、y2的图象都经过（1，0）. ∵对于x的同一个值， y1 y3 y2，

∴y3 ax bx c的图象必经过（1，0）…………………………………6分 又∵y3 ax bx c经过（－5，0）， ∴y3 a(x 1)(x 5) ax 4ax 5a.

设y y3 y2 ax2 4ax 5a (2x 2) ax2 (4a 2)x (2 5a). ∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立， ∴y3—y2≥0，

∴y ax2 (4a 2)x (2 5a) 0. 又根据y1、y2的图象可得 a>0， ∴y最小

4a(2 5a) (4a 2)

4a

2

2

2

2

2

2

………………………5分

2

2

0.

∴(4a 2) 4a(2 5a) 0. ∴(3a 1) 0. 而(3a 1) 0.

22

图7

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

只有3a 1 0，解得a

13

. x

2

∴抛物线的解析式为y3

10. 解：（1

）y

13

43

x

53

. ··················································· 7分

2．……………………………………………………1分 （2）答：四边形AOCB为菱形．

由题意可得AB//CO，BC//AO，AO=2．

∴四边形AOCB为平行四边形易得A(0，2)，

B(． 由勾股定理可得AB=2，

∴AB= AO∴平行四边形AOCB为菱形．…………………………3分 （3）二次函数y x2 2bx b2 1化为顶点式为：y (x b)2 1．

2

2

∴ 抛物线顶点在直线y 1上移动．

2

假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，

则B点和A点分别是二次函数与四边形接触的边界点， 将

B(，代入二次函数，

解得b

2

，b 2

,舍去）．

2

2

将A（0，2）

，代入二次函数，解得b

所以实数b

的取值范围：

C B

2

，b

2

（不合题意,舍去）．

b

．…………………………7分

A

O

B C

A O

3 a b 1, a 2,

11. 解：（1）依题意： 解得

1 4a 2b 1. b 4.

抛物线的解析式为y 2x 4x 1．

2

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（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A 的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于x轴

的对称点B 的坐标是（2，-1）．由对称性可知

AB BC CD DA=AB B'C CD DA' AB A B

由勾股定理可求

A B 5．

所以，四边形ABCD

周长的最小值是AB A B 5

（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线

EG成45 角，则EG与对称轴的交点为所求的F点． 设对称轴于x轴交于点H，在Rt HEF中，由HE=1， FHE 90 , EFH 45 ，得HF=1．所以，点F的坐

标是（1，1）．

12. 解：（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称

并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴x

b4 3 12

，所以，b 4．

（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2 4x 1=0．

因为， b 4ac=16-8=8 0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是

x1

b 2a

1

2

2

，x2

2

b 2a

1

2

．

（3）由（1）可知，抛物线y 2x 4x 1的图象向上平移k（k是正整数）个

单位后的解析式为y 2x 4x 1 k．

若使抛物线y 2x 4x 1 k的图象与x轴无交点， 只需2x 4x 1 k 0 无实数解即可． 由 b 4ac=16 8(1 k)=8 8k<0，得k 1 又k是正整数，所以k得最小值为2．

13. 解：（1）由题意，可得点B(2,2).

∵CF＝1，∴F

(3,0).

22

2

2

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在正方形ABCD中，∠ABC＝∠OAB＝∠BCF＝90°，AB＝BC， ∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°.

∴∠EBF＝∠ABC，即∠ABE＋∠EBC＝∠EBC＋∠CBF. ∴∠ABE=∠CBF． ∴△ABE≌△CBF． ∴ AE=CF．

∴ E(0,1) ． ……………………………………… 1分 设过点E、B、F的抛物线的解析式为y=ax2+bx+1， 5

a , 4a 2b 1 2, 6

∴ ∴

9a 3b 1 0 b 13

6

∴抛物线的解析式为y= （2）∵ 点G(

y=

56

6565

56

x2 +

56

136

x +1． …………………………… 2分

136

,y )在抛物线y= )2 +

136

x2 +

x +1上，

×(,

+1=

5

6125

．

∴ G (

6125

5

)．

设过点B、G的直线解析式为y=kx+b,

2k b 2,

∴ 612 ∴

k b

5 5

1

k ,

2

b 3

12

x+3．

∴ 过点B、G的直线解析式为y= ∴ 直线y= ∴ EM=2．

12

x+3与y轴交于点M (0,3) ． …………………… 3分

可证∴△ABM≌△CBN．∴CN=AM．∴N (1,0) ． ∴ON=1． ∴ EM=2ON．………………………… 4分 （3）∵ 点P在抛物线y=

56

x2 +

56

136

x +1上，

136

可设点P坐标为（m， 如图

2

m2 +

m +1）．

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①过点P1作P1H1⊥y轴于点H1，连接P1E． ∴ tan∠H1EP1=

m

56m

95

2

32

，∴

P1H1H1E

3P1H12H1E

32

．

即

136

m 1 1

32

．…… 5分

解得m1=,m2=0（不合题意，舍去）．

②过点P2作P2H2⊥y轴于点H2，连接P2E． ∴ tan∠H2EP2=

m

1 (

56m

2

32

，∴

P2H2H2E

32

．

即

136

m 1)

32

． ………………………………………… 6分

解得m3=

当m1= 当m3=

955

175

,m4=0（不合题意，舍去）．

5656

时， 时,

m2 +

136136

m +1=

115

；

195175

17

m2 +

95

m +1= ． ，

195

综上所述，点P1（

2

，

115

2

），P2（）为所求．…………………… 8分

14. 解：∵抛物线y x 2mx m与直线y 2x相交，

∴x 2mx m 2x．…………………………………………………………1分 ∴x 2(m 1)x m 0． ∴ 2(m 1) 4m 0．

2

2

22

22

解得 m

12

．…………………………………………………………………… 2分 12

m＜2． …………………………………………………… 3分

∵m＜2， ∴

∵ m为整数，∴ m=0，1．

∵抛物线y x 2mx m与直线y 2x交点的横坐标均为整数， 即方程x 2mx m 2x的根为整数． 当m=0时，x2-2x=0，

2

2

2

2

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解得 x=0或x=2，两根均为整数，∴m=0符合题意． ……………………… 4分 当m=1时，x2 4x 1 0， ∵ △=(-4)2-4=12，

∴ x2-4x+1=0没有整数根，∴m=1不符合题意，舍去．

∴ 满足条件的m的整数值为0．………………………………………………… 5分

15. 解：（1） B（ 3，0）、C（12，0）是关于抛物线对称轴对称的两点，AD//x轴，

∴A、D也是关于抛物线对称轴对称的两点．

， D(9,m)． AD 9．…………2分 A（0,m）（2）方法一

PE⊥DP， 要使线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都

与点A重合，也就是使以AD为直径的圆与BC有两个交点，即r m． r

92

， m

92

．

92

．…………4分

又 m 0， 0 m 方法二：

m 0， 点E在x轴的上方．

过D作DF⊥OC于点F，设OP x，OE 则 FC＝OC－AD＝3，PF＝9 x． 由△POE∽△DFP，得当y m时，m

1m

OEPF

OPDF

，∴

y9 x

2

xm

．∴y

2

1m

x

2

9m

x．

x

2

9m

x，化为x 9x m

92

0．

当△=0，即92 4m2 0，解得m 应的点E点A重合． m 0，

时，线段OC上有且只有一点P，使相

∴线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2 都与点A重合时，m的取值范围为0 m

92

．……4分

（3）设抛物线的方程为：y a(x 3)(x 12)，又 抛物线过点A（0，m），

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

m 36a． a y

136

136m．

1362516

m(x 3)(x 12)

BMQM

m(x

92

)

2

2516

m．

tan BQM ，QM m，

又 60 BQC 90 ，

∴由抛物线的性质得：30 BQM 45 ．

当 BQM 30 时，可求出m

245245

3，

当 BQM 45 时，可求出m

m的取值范围为

245 m

．

．………………………………7分

16. 解：（1）证明：令y 0,则x2 (a 2)x 2a 0.

△=(a 2) 8a (a 2)．……………………………… 1分 ∵ a 0, ∴ a 2 0． ∴ △ 0.

∴ 方程x2 (a 2)x 2a 0有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与x轴有两个交点. ……………………………… 2分

（2）①令y 0,则x (a 2)x 2a 0，

解方程，得x1 2,x2 a. ∵ A在B左侧,且a 0,

∴ 抛物线与x轴的两个交点为A( a,0)，B(2,0). ∵ 抛物线与y轴的交点为C，

∴ C(0, 2a). ………………………………3分 ∴ AO a,CO 2a.

在Rt△AOC

中，AO CO ，

2

2

2

22

2

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

a (2a) 20．

2

2

可得 a 2． ∵ a 0， ∴ a 2．

∴ 抛物线的解析式为y x2 4. ……………………………… 4分 ②依题意，可得直线l'

的解析式为

y 3x t

，

A'(t 2,0),B'(t 2,0),A'B' AB 4.

∵ △A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形，

∴ 当 PA'B' 90 时，点P的坐标为(t 2,4)或(t 2, 4). ∴ 3(t 2) t 4.

52

12

解得 t 或t .………………………………6分

当 PB'A' 90 时，点P的坐标为(t 2,4)或(t 2, 4). ∴3(t 2) t 4.

52

1212

解得t 或t 52

（不合题意，舍去）.

综上所述，t 或t .………………………………7分

17. 解：（1）过E作EG⊥OD于G．……………………………1分

∵ BOD EGD 90 , D= D，

∴ △BOD∽△EGD．

∵ 点B(0,2)， ODB 30 ，可得 OB 2，OD 23． ∵ E为BD中点，

∴

EGBO

DEDB

GDOD

12

．

∴ EG 1，GD 3．

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

∴ OG

3．

∴ 点E的坐标为(3,1).………………………2分

6

∵

抛物线y ax

2

x c经过B

(0,2)、E两点，

∴

1 a

12

2

6

2.

可得a .

∴ 抛物线的解析式为

12

2

y x

6

x 2.………3分

（2）∵ 抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，

∴ A

点的坐标为(0). ∴

AG EG 1,

∴ 在△AGE中， AGE 90 ,

AE

. ………………………4分

过点O作OK⊥AE于K， 可得△AOK∽△AEG． ∴

OKAO

EGAE13

．

∴

∴

OK

∴

AK

13

.

∵

△OMN是等边三角形,

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

∴ NMO 60 ．

∴

KM

．

tan KMO1313

13

OK

∴

AM AK KM （写出一个给1分）

,

或AM AK KM ．………6分

（3）m

………………………7分

13

当m取得最小值时，线段AP

2

.………………………8分

18. 解：（1）证明： m 1 4 m 3

m2 2m 1 4m 12 m2 6m 13 m 3 4

2

…………………………1分

2

∵不论m取何值时， m 3 0 ∴ m 3 4 0，即 0

2

∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．……………2分

（2）将x 2代入方程x m 1 x m 3 0，得m 3……………………3分

2

再将m 3代入，原方程化为x2 2x 0， 解得x1 0,x2 2． ……………4分 （3）将m 3代入得抛物线：y x 2x，将抛物线

y x 2x绕原点旋转180 得到的图象

C2的解析式为：y x 2x．………5分

2

2

2

设P x,0

则M x,x 3 ，N x, x 2x ……6分

2

2

1 5 222

MN x 3 x 2x 2x 2x 3 2 x

2 2

2

∴当x

12

时，MN的长度最小，

1

,0 ……………………7分

2

此时点P的坐标为

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

19. 解：（1）将A( 3,0)代入y

得b

32

16

12

x b，y ax 5ax b

2

52

,a

1612

2

则抛物线解析式为y x

5632

x 4……………………………1分

直线AB的解析式为y 得：B(5,4)，C(0,4)

x ……………………………2分

（2） 如图，设点D的横坐标为t( 3 t 5)，

则点D的纵坐标为

16t

2

56

t 4．

过点D作y轴的平行线交AB于E． ∴点E的坐标为(t,∴

DE ( ∴S DAB

1t

2

12

t

32

)

1312t 4) (t ) t 66226

11215224

( t t ) 8 t t 10 8． 263233

5

解得t1 1,t2 3，∴D1( 1,3)，D2(3,5)……………………………4分 （3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探求．

由A( 3,0)，B(5,4)，C(0,4)，可得BC//x轴，BC AC 设直线x 1与x轴交于N，与CB交于M．

过点B作BQ⊥x轴于Q ，易得BQ 4，AQ 8，AN 4，BM 4

……………………………5分

① 以AB为腰且顶角为∠A：△P1AB．

∴AB

2

AQ

2

BQ

2

8 4 80

22

在Rt△ANP1 中，

P1N

AP1 AN

2

2

AB

2

AN

2

∴P1(1, 8)或P1(1,8) …………6分

② 以AB为腰且顶角为∠B：△P2AB ．

2012年北京中考数学复习备考模拟题及答案

在Rt△BMP2中，

MP2

BP2 BM

2

2

AB

2

BM

2

80 4

2

8

∴ P2(1, 4)或P2(1,12) ………………………7分

③ 以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即 △P3AB．

画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC 的顶点C．

过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ． ∴

P3KCK

BQAQ

12

．

∵ P3K 1，∴CK 2, 于是OK 2

∴P3(1,2)，而P3(1,2)在线段AB 上，构不成三角形，舍去. ………8分 综上，符合条件的点P共有4个，分别为：

P1(1, 8)，P1(1,8)，P2(1, 4)，P2(1,12)．

20. 解：（1）将原方程整理，得x2

△=b2∴

x

(m 4)x 4m 0

2

2

，

2

4ac [ (m 4)] 4(4m) m 8m 16 (m 4)

＞0

(m 4) (m 4)

2 4

．

∴x m或x． ······················································································· 2分

（2）由（1）知，抛物线y x2 bx c与x轴的交点分别为（m，0）、（4,0），

∵A在B的左侧，0 m 4. ∴A（m，0），B（4,0）. 则AD

2

OA

2

OD

2

m

2

2

2

m

2

4

，BD

2

OB

2

OD

2

4

2

2

2

20

．

∵AD·BD=10， ∴AD2·BD2=100. ∴20(m2

4) 100

. ······················································································ 3分

解得m 1. ······························································································· 4分

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