2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2-1 平面向量的实际背景及基本概念 含答案 精品

平面向量的实际背景及基本概念

预习课本P74～76，思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？

????????(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？

(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？

[新知初探]

1．向量的概念和表示方法

(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)向量的表示：

表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的 ????方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，? 字母表示：用小写字母a，b，c，?表示，手写时必须加箭头 [点睛] 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．

2．向量的长度(或称模)与特殊向量

(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．

????????(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.

(3)特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．

3．向量间的关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)单位向量的模都相等．( )

????????(4)向量AB与向量BA是相等向量．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B

3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )

?????A．也可以用MN表示

C．始点是M 答案：D

B．方向是由M指向N D．终点是M

????4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向

量有______．

????????答案：AB，DC

向量的有关概念 ????????[典例] 有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不

????平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．

????????[解析] 对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；

对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；

对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误； 对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误． [答案] ①

(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． [活学活用] 有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

????????????????????????????????②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中正确说法的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选A 对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

向量的表示

[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

????????①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°； ????????②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东； ????????③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.

[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数

????与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数

????与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

????(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方

????格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

????(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C

距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向

????量BC如图所示．

用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点． 必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量． [活学活用] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方

????向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，????????????BC，CD，AD.

解：如图所示．

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