高等代数第11章双线性函数与辛空间

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§1 线性函数 定义 设V是数域 上的线性空间 f是V到 是数域P上的线性空间 是数域 上的线性空间, 是 到 P的映射 如果 α,β∈V, k∈P, f满足 的映射, 满足: 的映射 如果 ∈ 满足 (1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称 为 f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若 β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则 f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)

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第11章 双线性函数与辛空间 章 §1 线性函数 §2 对偶空间 §3 双线性函数 *§4 辛空间 §

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例1 设a1,a2,…,an是P中任意数 中任意数, … 中任意数 X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量 函数 … 是 中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数 上的一个线性函数.

零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时 一般地 Pn上的任一个线性函数都可表成 一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下： 证明如下：

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一般地 Pn上的任一个线性函数都可表成 一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证 令 ε1=(1,0, …,0), ε2=(0,1, …,0),…, εn=(0,0, …,n). 中任一向量X=(x1,x2,…, xn)可表成 则Pn中任一向量 … 可表成 X = x1ε1+x2ε2+…, xnεn … 设f 是Pn上的一个线性函数 上的一个线性函数,f ( X ) = f (∑ x i ε i ) = ∑ x i f (ε i )i =1 i =1 n n

则

ai=f(εi), i=1,2, …,n f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn …

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例2 设A是数域 上一个 阶矩阵 是数域P上一个 阶矩阵, 是数域 上一个n阶矩阵 a11 a12 L a1n a 21 a 22 L a 2 n A= M M M a n1 a n 2 L a nn 则A的迹 Tr(A)= a11+a22+…+ann 的迹 … × 上的一个线性函数 是Pn×n上的一个线性函数. 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数 定义 中一个取定的数,定义 是 中一个取定的数 P[x]上的函数 t为: 上的函数L 上的函数 Lt(p(x))=p(t), p(x)∈P[x] ∈ 即Lt(p(x))为p(x)在t点的值 则Lt(p(x))是 点的值, 为 在 点的值 是 P[x] 上的线性函数. 上的线性函数

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定理 设V是数域 上的 维线性空间 ε1,ε2, 是数域P上的 维线性空间, 是数域 上的n维线性空间 的一组基, … ,εn 是V的一组基 设a1,a2,…,an是P中任 的一组基 … 中任 个数, 上的线性函数f, 意n个数 则存在唯一的 上的线性函数 个数 则存在唯一的V上的线性函数 f(εi)=ai , i=1,2,…,n 使 证 存在性 只须定义 上的函数 为 只须定义V上的函数 上的函数f为 n nf (∑ x i ε i ) = ∑ a i x ii =1 i =1

这是线性函数, 且f(εi)=ai , i=1,2, …,n; 这是线性函数 任取V上的线性函数 上的线性函数f和 中的任 唯一性 任取 上的线性函数 和V中的任 意向量α, α = x1ε1+x2ε2+…+xnεn … n n 都有 f (α ) = f (∑ x i ε i ) = ∑ x i f (ε i ) 唯一确定. 故f(α)由f(ε1), f(ε2),…, f(εn)唯一确定 由 … 唯

一确定i =1 i =1

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§2 对偶空间 一. 对偶空间 设V是数域 上的n维线性空间 V上全体 是数域P上的 维线性空间, 是数域 上的 维线性空间 上全体 线性函数组成的集合记作L(V,P). 按自然 线性函数组成的集合记作 的方法在L(V,P)上定义加法与数乘如下 上定义加法与数乘如下: 的方法在 上定义加法与数乘如下 (f +g)(α)= f(α)+g(α) α∈V (kf)(α)=k(f(α)) k∈P, α∈V ∈ 命题 L(V,P)按上述定义作成数域 上线 按上述定义作成数域P上线 按上述定义作成数域 性空间. 性空间 证 首先证 L(V,P)关于上述加法与数乘封 关于上述加法与数乘封 直接验证即f 与 仍是线性函数 仍是线性函数, 闭,直接验证即 +g与kf仍是线性函数 如 直接验证即

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( f +g)(α +β)= f(α+β)+g(α +β) = f(α)+f(β)+g(α)+g(β) =( f +g)(α)+( f +g)(β) ( f +g)(kα)= f(kα)+g(kα) =kf(α)+kg(α) =k( f +g)(α) 数乘可类似证明 数乘可类似证明. 然后直接验证满足线性空间的8条性质 条性质. 然后直接验证满足线性空间的 条性质 定义 称数域 上的线性空间 称数域P上的线性空间 上的线性空间L(V,P)为线 为线 性空间V的 记作V*. 性空间 的对偶空间, 记作

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二. 对偶基 取V的一组基ε1,ε2, … ,εn,作V上n个线性函 的一组基 作 上 个线性函 数f1,f2, … ,fn,使得 使得 1 j = i f i (ε j ) = <1> 0 j ≠ i 因为 i在基ε1,ε2, … ,εn上的值已确定 所以 因为f 上的值已确定,所以 这样的线性函数存在且唯一. 这样的线性函数存在且唯一 对V中的任意向量α, 中的任意向量 n α = x1ε1+x2ε2+…+xnεn = ∑ xi ε i … i =1 fi(α)=xi <2> 都有 是 的第 个坐标的值. 即fi(α)是α的第i个坐标的值 个坐标的值

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引理 对V中的任意向量α, 有 中的任意向量 n α = ∑ f i (α )ε i i =1 而对 而对L(V,P)中的任意向量 有 中的任意向量f, 中的任意向量 n f = ∑ f (ε i ) f i i =1 证 <3>是<2>的直接结论 即 的直接结论, 是 的直接结论α = ∑ x i ε i = ∑ f i (α )ε ii =1 i =1 n n

<3> <4>

又由 又由<1>和<3>, α∈V, 和f (α ) = f (∑ f i (α )ε i ) = ∑ f i (α ) f (ε i ) = (∑ f (ε i ) f i )(α )i =1 i =1 i =1 n n n

即得 即得.

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定理 线性空间L(V,P)的维数等于V的 维数,而且f1,f2, … ,fn是L(V,P)的一组基. 证 首先证明 1,f2, … ,fn是线性无关 设 首先证明f 是线性无关. c1f1+c2f2+… ,+cnfn=0 (c1,c2,…,cn∈P) … … 依次用ε1,ε2, … ,εn代入即得 c1=c2=…=cn=0.因此 1,f2, … ,fn线性无关 因此f 线性无关. … 因此 又由<4>知L(V,P) 中任一向量都可由 1,f2, 中任一向量都可由f 又由 知 … ,fn线性表示,所以 1,f2, … ,fn是L(V,P)的 线性表示 所以f 的 所以 一组基,并且 一组基 并且 dim L(V,P)=n=d

imV. 定义 由<1>决定的 决定的L(V,P)的基 f1,f2, … ,fn 决定的 的基 称为ε1,ε2, … ,εn的对偶基.

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例 考虑实数域 上的 维线性空间 考虑实数域R上的 维线性空间V=Pn[x]对任 上的n维线性空间 对任 意取定的n个不同的实数 个不同的实数a 意取定的 个不同的实数 1,a2,…,an,根据 … 根据 Laglange插值公式 得到 个多项式 插值公式,得到 插值公式 得到n个多项式( x a1 ) L ( x a i 1 )( x a i +1 ) L ( x a n ) pi ( x ) = (ai a1 ) L (a i a i 1 )(a i a i +1 ) L (ai an ) 满足

现设

1, j = i pi ( a j ) = 0, j ≠ i , i , j = 1,2, L , n

c1p1(x)+c2p2(x)+…+cnpn(x)=0 用ai代入即得

∑ck =1

n

k

pk ( a i ) = c i pi ( a i ) = c i = 0

线性无关. 所以 1(x), p2(x),…, pn(x),线性无关 所以p 线性无关

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又因为 是n维的 所以 1(x),p2(x),…,pn(x) 又因为V是 维的 所以p 维的, 的一组基. 是V的一组基 的一组基 现设 i∈V*是在 i点的取值函数 现设L 是在a 是在 点的取值函数: Li(p(x))=p(ai) p(x)∈V ∈ 则Li是V上的线性函数 且满足 上的线性函数, 上的线性函数 i= j 1, Li ( p j ( x )) = p j (a i ) = i≠ j 0, 所以L1, L2,…, Ln是p1(x), p2(x),…, pn(x)的对 的对 偶基. 偶基

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三. 不同基的对偶基之间的关系 定理 设ε1,ε2,…,εn及η1,η2,…,ηn,是线性空 … … 是线性空 的两组基,它们的对偶基分别为 间V的两组基 它们的对偶基分别为 1,f2, 的两组基 它们的对偶基分别为f … ,fn和g1,g2, … ,gn,如果由基ε1,ε2,…,εn到 如果由基 … η1,η2,…,ηn的过渡矩阵为 则由 1,f2,…,fn … 的过渡矩阵为A, 则由f … 的的过渡矩阵就是(A 到g1,g2, … ,gn的的过渡矩阵就是 T)-1. 证

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四. 对偶空间的对偶空间 设V是数域 上的线性空间 *是其对偶 是数域P上的线性空间 是数域 上的线性空间,V 空间.取定 中的一个向量x, 定义V 取定V中的一个向量 空间 取定 中的一个向量 定义 *的一 如下, ∈ 个函数 x如下 f∈V *, x : V*=L(V, P) → P f → x(f )=f(x) 由 x(f+g)=(f+g)x=f(x)+g(x)= x(f )+ x(g) x(kf )=(kf )x=kf(x) =kx x(f ) 所以 x是V *上的线性函数 因此 x是V * 所以, 上的线性函数, 的对偶空间(V 中的一个元素, 的对偶空间 *)*= V **中的一个元素 就 记作x 记作 **.

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如下V 定理 如下 到 V**的映射是一个同构映射 x → x** . 证 由 F : V → V** x → x** 首先证 F(x1+x2)=F(x1)+F(x2) x1,x2∈V F(kx)=kF(x) x∈V, k∈P ∈ ∈ f∈V*, F(x1+x2)(f )=(x1+x2)**(f )=f(x1+x2) ∈ =f(x1)+f(x2)=x1**(f)+x2**(f ) =(x1**+x2**)(f ) = (F(x1)+F(x2))(f ) F(kx)(f)=(kx)**(f )=f(kx)=kf(x) =kx**(f) =(kx**)(f)=(kF(x))(f)

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其次证明 是双射 其次证明F是双射 是双射: 如果 *

* 是V*上的零函数 即 f∈V*,都有 如果x 上的零函数,即 ∈ 都有 f(x)=0 则由引理之<3>,x=0, F是单射 又因为 与 是单射;又因为 则由引理之 是单射 又因为V与 V**维数相同 所以 是双射 F是同构映射 维数相同,所以 是双射, 是同构映射 所以F是双射 是同构映射.

注 说明 和 V *是互为线性函数空间的 说明V 是互为线性函数空间的, 故称为对偶空间. 故称为对偶空间

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§3 双线性函数 一. 双线性函数的概念 定义 设V是数域 上的线性空间 f(α,β)是 是数域P上的线性空间 是数域 上的线性空间, 是 V上一个二元函数 即对V中任意两个向 上一个二元函数, 上一个二元函数 中任意两个向 根据f 中一个数f( 量α,β ,根据 都唯一对应 中一个数 α,β) 根据 都唯一对应P中一个数 满足: 满足 (1) f(α, k1β +k2β )= k1f(α, β1)+k2f(α, β2); (2) f(k1α1+k2α2, β )= k1f(α1, β)+k2f(α2, β) 是 上一个 则称f(α,β)是V上一个双线性函数. 则称

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例1 欧氏空间 的内积是 上的双线性函数 欧氏空间V的内积是 上的双线性函数. 的内积是V上的双线性函数 都是线性空间V上的线性函 例2 设f1(α,β), f2(α,β) 都是线性空间 上的线性函 数, 则 f(α,β)= f(α,β) α,β∈V 上一个双线性函数. 是V上一个双线性函数 上一个双线性函数 例3 设Pn是数域 上n维列向量构成的线性空间 是数域P上 维列向量构成的线性空间 维列向量构成的线性空间, X,Y∈Pn,又设 是P上一个 阶矩阵 令 又设A是 上一个 阶矩阵,令 上一个n阶矩阵 ∈ 又设 f(X,Y)=XTAY <1> 则f(X,Y)是Pn上一个双线性函数 是 上一个双线性函数. 若XT=(x1,…,xn), YT=(y1,…,yn),A=[aij]n×n ,则 × 则f ( X , Y ) = ∑∑ a ij x i y ji =1 j =1 n n

<2>

的一般形式如下: 注<1>和<2>是双线性函数 α,β)的一般形式如下 是双线性函数f( 的一般形式如下 和 是双线性函数

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度量矩阵 定义设 α,β)是数域 上n维线性空间 定义设f( 是数域P上 维线性空间 V上的一个双线性函数 ε1,ε2,…,εn是 上的一个双线性函数, … 上的一个双线性函数 V的一组基 则矩阵 的一组基, 的一组基 f (ε 1 , ε 1 ) f (ε , ε ) 2 1 A= M f (ε n , ε 1 ) f (ε 1 , ε 2 ) L f (ε 2 , ε 2 ) L M f (ε n , ε 2 ) L f (ε 1 , ε n ) f (ε 2 , ε n ) M f (ε n , ε n )

为f(α,β)在基ε1,ε2,…,εn下的度量矩 … 在基 阵.

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取V的一组基ε1,ε2,…,εn,设 的一组基 … 设 x1 x α = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) 2 = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) X M xn y1 y β = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) 2 = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n )Y M yn

则

n n n n f (α , β ) = f ∑ x i ε i ,∑ y j ε j = ∑∑ f (ε i , ε j ) x i x j

i =1 j =1 i =1 j =1

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