1第一章概率论基本概念

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设P(A)?0.1,P(A?B)?0.3，且A与B互不相容，则P(B)? 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率

为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A，B为两事件，P(A)?0.7,P(AB)?0.3，则P(A?B)? 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A，B为两事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)? 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率

为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，A??X?Y?10?

B??X?Y?，则P(B|A)? 。

11、设A,B是两事件，则A,B的差事件为 。

12、设A,B,C构成一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)? ，P(AB)? 。 13、设A与B为互不相容的两事件，P(B)?0,则P(A|B)? 。 14、设A与B为相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 。 15、设A,B是两事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,则P(AB)? 。 16、设A,B是两个相互独立的事件，P(A)?0.2,P(B)?0.4,则P(A?B)? 。 17、设A,B是两事件，如果A?B，且P(A)?0.7,P(B)?0.2，则P(A|B)? 。

18、设P(A)?1,P(B)?1,P(A?B)?1，则P(A?B)? 。

34219、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为

20、将n个球随机地放入n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。

二、选择题

1、设P(AB)?0，则下列成立的是( )

① A和B不相容 ② A和B独立 ③ P(A)?0orP(B)?0 ④ P(A?B)?P(A) 2、设A,B,C是三个两两不相容的事件，且P(A)?P(B)?P(C)?a，则

a的最大值为

( )

① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4

3、设A和B为2个随机事件，且有P(C|AB)?1，则下列结论正确的是( ) ① P(C)?P(A)?P(B)?1 ② P(C)?P(A)?P(B)?1 ③ P(C)?P(AB) ④ P(C)?P(A?B) 4、下列命题不成立的是 ( )

① A?B?AB?B ② A?B?A?B ③ (AB)(AB)?? ④ A?B?B?A

5、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则有 （ ） ①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)?1?P(A) ④P(A|B)?P(B) 6、设A,B为两个对立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则不成立的是 （ ） ①P(A)?1?P(B) ②P(A|B)?0 ③P(A|B)＝0 ④P(AB)?1

7、设A,B为事件，P(A?B)?P(A)?P(B)?0，则有 （ ）

① A和B不相容 ② A和B独立 ③ A和B相互对立 ④ P(A?B)?P(A) 8、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则P(A?B)为（ ） ①P(A)?P(B) ②1?P(A)P(B) ③1?P(A)P(B) ④1?P(AB)

9、设A,B为两事件，且P(A)?0.3，则当下面条件（ ）成立时，有P(B)?0.7 ①A与B独立 ②A与B互不相容 ③A与B对立 ④A不包含B 10、设A,B为两事件，则(A?B)(A?B)表示（ ）

①必然事件 ②不可能事件 ③A与B恰有一个发生 ④A与B不同时发生 11、每次试验失败的概率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1①3(1?p) ②(1?p)3 ③1?p3 ④C3(1?p)p2

12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ） ①C(3)

1013

②(3)(7)2 1010

③C(3)(7)2

101013

12C37④C3C10

13、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A|B)?0.8，则下列结论成立的是（ ） ① ③

A与B独立

B?A

② A与B互不相容

P(A?B)?P(A)?P(B)

④

14、设A,B,C为三事件，正确的是（ ） ① ③

P(AB)?1?P(AB)

② ④

P(A?B)?P(A)?P(B)?1

P(ABC)?1?P(ABC) P(A?B)?P(BA)

15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p，则p为（ ） ① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36

16、已知A,B两事件的概率都是1/2, 则下列结论成立的是（ ） ① P(A?B)?1 ② P(AB)?1 ③ P(AB)?P(AB) ④P(AB)?12

17、A,B,C为相互独立事件，0?P(C)?1，则下列4对事件中不相互独立的是（ ）

① A?B与C ② A?B与C ③ AB与C ④AC与C

18、对于两事件A,B，与A?B?B不等价的是（ ） ①

AB??

② AB?? ③ A?B ④ B?A

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,B，则下列结论正确的是（ ） ①A与B互不相容 ②A与B相容 ③P(AB)?P(A)P(B) ④P(A?B)?P(A) 三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。

6、某人买了A,B,C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为

0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一

定赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

10、一批产品的次品率为0.1，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。 12、设A,B是两个事件，用文字表示下列事件：A?B,A?B,AB,AB。

13、从1~100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率

16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。

18、 设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求 （1）取到的球为黑色球的概率；

（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5个，Ⅱ型的有7个，

Ⅲ型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。 20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7,

求此密码能译出的概率是多少。

22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。

23、设每次试验事件A发生的概率相同，已知3次试验中A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。

24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。

25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。

26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。 27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。

28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率。

29、某种动物由出生到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现在20岁的动物活到25岁的概率为多少？

30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射

（每炮射一发），欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？ 31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B，C损坏的概率分别为 0.2 ，0.3 ，0.3，求电路发生间断的概率。

32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概率。

33、假设目标在射程之内的概率为0.7，这时射击的命中率为0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。

34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。

35、 甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果有3人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 36、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手3发子弹得到不小于29环的概率。

38、甲、乙2名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。

39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率。

40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。 41、特色医院接待患者的比例为K型50%，L型30%，M型20%，对应治愈率为0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，问他属于L型的概率？

42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火

车迟到的概率为0.5、乘轮船迟到的概率为0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？

43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大？ 44、一副扑克（52张），从中任取13张，求至少有一张“A”的概率？

45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为0.6，孩子得病下母亲得病的概率为 0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？

47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为?，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0.4；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求?的最低值。

48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8，求 （1）三台设备均不需要看管的概率； （2）至少有一台设备需要看管的概率； （3）三台设备均需要看管的概率。

四、证明题

1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件A?“第一次掷得偶数点”，B?“第二次掷得奇数点”，C?“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A，B，C两两独立，但A，B，C不相互独立。

2、 设每次试验A发生的概率p,(0?p?1)，An?“n次独立重复试验中至少出现一次

A”证明LimP(An)?1

n???3、设X~b(n,p)，证明EX?np,DX?np(1?p)

4、证明，如果P(A|B)?P(A)，则P(B|A)?P(B)

5、当P(A)?a,P(B)?b时，证明：P(A|B)?a?b?1

b6、证明：P(A)?0，则P(B|A)?1?P(B)

P(A)7、设A,B,C三事件相互独立，则A?B,AB与C相互独立。 8、设Ai?A，i?1,2,3，则P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?2

9、已知A1,A2同时发生，则A发生，证明P(A)?P(A1)?P(A2)?1

10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。

11、设A，B为两事件，证明

P(B?A)?P(B)?P(AB)

12、证明如果A与B独立，则A与B独立、A与B独立、A与B独立 13、如果P(A)?0，证明A与B独立的充分必要条件是P(B|A)?P(B)

第一章 概率论的基本概念

一、填空题

1、ABC?ABC?ABC 2、0.2 7、3/8 8、0.7 9、

21C423、C3C6 4、C52?0.72?0.33 5、0.3 6、0.6

98761???? 10987610、1/3 11、A?B 12、0.2, 0 13、0

n!nn14、0.12 15、0.54 16、0.52 17、1 18、11/12 19、2/3 20、1?二、选择题

1、④ 2、③ 3、② 4、② 5、③ 6、③ 7、④ 8、② 9、③ 10、③ 11、③ 12、④ 13、① 14、④ 15、③ 16、③ 17、④ 18、① 19、④ 三、计算题

3041C95?C95C51、30C1001 2、3?2?2 3、0.83?C3?0.2?0.82

5434、Bi(i?1,2,3)分别表示甲、乙、丙生产的零件，A表示优质品，用Bayes公式求

P(Bi|A)分别为

0.4319 , 0.3606 ,0.2014，故可认为是甲机器生产的零件

6、P(A?B?C)?1?0.97?0.99?0.98＝0.058906

7、A＝“答对”，B＝“平时没练习过”，用Bayes公式求P(B|A)，答案为 12/69 8、2/3,2/3,2/3 9、Ai?“第i次取得电影票”，P(A1|A2)，答案为1/2 10、0 11、A=“两个均为红色”，B＝“两个均为白色”，（1）P(A)?P(B) （2）1－P(B)

2C32C2P(A)?2,P(B)?2C5C5 12、（1）（3）至少有一个不发生，（2）（4）

两个都不发生 13、(1)1/2 (2)33/100 （3）16/100

14、Ai?“第i次取得合格品“，即求P(A1A2A3A4A5)＝

9594939291???? 1009998979615、Ai?“第i次打开门”，用乘法公式（1）P(A1A2A3)（2）P(A1A2A3A4A5)

16、A=“有一个为黑色”，B＝“另一个也为黑色”即求P(B|A)?P(AB)答案为1/8

P(A)17、A=“丢失的为黑色”，B＝“第二次的均为白色，用Bayes公式求P(A|B)，答案为，5/13 18、 (1)用全概率公式求77/225，（2）用Bayes公式求105/154 19、用独立性，103/300 20、1/2 21、0.8992 22、5/15 23、1/3 24、0.059

4C9525、1?5C100 26、9/16 27、1/2

A9728、79 29、0.5 30、6 31、0.272 32、0.2857

A表示“飞机被击落”，Bi?“击

33、0.6636 34、(1)0.27 (2)0.15 35、0.458

中飞机i次”，全概率公式求P(A) 36、0.784 37、三局两胜制甲胜的概率0.648，五局三胜制甲胜的概,0.682

5C838、9C12 39、0.3117 40、4/9

35256”，P(B)?25,P(A)?1?P(B)

3641、A＝“出现双6”，B?“不出现双

13C4842、1?13?0.696

C52 43、用乘法公式P(ABC)?0.18

44、Ai?“第i次拨号接通”，则求P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)，答：3/10，3/5 45、B0,B1,B2表示有0,1，2支部队按时赶到，A表示“取胜”，先求P(Bi)，用全概率公式表示P(A)，用P(A)?0.9，解??0.915

46、（1）0.512 （2）0.488 （3）0.08

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