高考数学选择题神奇巧解专题

神奇巧解高考数学选择题专题

前 言

高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。

选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。

然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。

例题与题组 一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x 1对称，且当x 1时，。 f(x) 3x 1，则有（ ）

13

f()3221

C、f()f()

33

A、f()22

f() B、f()3333f() D．f()223

f()22f()31f() 31f() 3

x

【解析】、当x 1时，f(x) 3 1，f(x)的

图象关于直线x 1对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出

f(x) |x 1|的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B，

【练习1】、若P（2，-1）为圆(x 1) y 25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ） A、x y 3 0 B、2x y 3 0 C、x y 1 0 D、2x y 5 0 （提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）

2

2

x y 2 0

y

【练习2】、（07辽宁）已知变量x、y满足约束条件 x 1，则的取值范围是（ ）

x x y 7 0

A、 ,6 B、 ,

55（提示：把

【练习3】

、曲线y 1x 2,2 )

9

9

6, C、 ,3 6, D、 3,6

y

看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。） x

与直线y k(x 2) 4有两个公共点时，

k的取值范围是（ ）

511

A、(0,) B、(,)

1243553 C、(, ) D、(,)

12124

（提示：事实上不难看出，曲线方

程

y 1 x 2,2 )的图象为

x2 (y 1)2 4( 2 x 2,1 y 3)，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线

y k(x 2) 4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]

【练习4】、函数y |x|(1 x)在区间 A上是增函数，则区间A是（ ）

A、 ,0 B、 0,

2 C、 0, D、 ,

（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

【练习5】、曲线

1

1 2

|x||y|

1与直线y 2x m 23

有两个交点，则m的取值范围是（ ）

A、m 4或m 4 B、 4 m 4 C、m 3或m 3 D、 3 m 3 （提示：作出曲线的图象如右，因为直线

y 2x m与其有两个交点，则m 4或m 4，选A

【练习6】、（06湖南理8）设函数f(x)

x a

，集合M x|f(x)x 1

0 ，P x|f'(x)0 ，若

M P，则实数a的取值范围是（ ）

A、( ,1) B、(0,1) C、(1, ) D、[1, ) （提示：数形结合，先画出f(x)的图象。f(x) 如左；当a

x ax 1 1 a1 a

1 。当a1时，图象x 1x 1x 1

1时图象如右。

由图象知，当a真子集，选C）

1时函数f(x)在(1, )上递增，f'(x)

同时f(x)0，0的解集为(1, )的

【练习7】、（06湖南理10）若圆x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线

l:ax by

0的距离为l的倾斜角 的取值范围是（ ）

A、

5

, B、 , C、 , D、 0, 124 1212 63 2

（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

(x 2)2 (y 2)2 2，由题意知，圆心到直线

的距离d

应该满足0 d ，在已知圆中画一个半

l:ax by 0与小圆有公共点，∴选B。） 【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（

A、|2b| ＞

| a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a|

＜ | 2a-b |

（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | |a-b|=

2222

| b | a+b-2a·b= b a·（a-2b）=0 a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |， |2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB， 再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）

2

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）

【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，AB BC，则一定有（ ）

A、A C B、C A C、A C D、A （提示：若A B C ，则A

B A,BC B A

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x) f(2 x)。若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）

A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（提示：数形结合法，f(x)是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）

【练习12】、（07山东文11改编）方程x ()

3

1

2

x 2

的解x0的取值区间是（ ）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4） （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数y x,y ()

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列 an 中，若a5a6 9，则

3

1

2

x 2

的图象，则立刻知选B，如上右图）

logga2 3a1 lo3（ ） lo3ag10

A、12 B、10 C、8 D、2

log35

29

【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9 a5a6 a1q4a1q5 a1q,从而

a1a2a3

10

a10 a1q1 2

9

(a12q9)5 310，

所以原式=log3(a1a2

a10) log3310 10，选B。

思路二（小题小做）：由9 a5a6 a4a7 a3a8 a2a9 a1a10知原式=log3(a5a6)5 log3310 3，选B。

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a5 a6 3,q 1即可，选B。 【练习1】、（07江西文8）若0A、sinx

x

2

，则下列命题中正确的是（ ）

2

x B、sinx

2

x C、sinx

3

x D、sinx

3

x

（提示：取x

,验证即可，选B） 63

【练习2】、（06北京理7）设f(n) 2 24 27 210 A、

23n 10(n N)，则f(n) （ ）

2n222

(8 1) B、(8n 1 1) C、(8n 3 1) D、(nn 4 1) 7777

（提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前n 4项的和，

2(1 8n 4)2n 4

(n 1)，选D。这属于直接法。 所以f(n)

1 87

思路2：令n 0，则f(0) 2 24 27 210

34

2 1 (2)

1 2

2

对照选项，只有D成立。） (84 1)，

7

【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足| bi|=2| ai |，且ai顺时针旋转30以后与bi同向，其中i=1、2、3则（ ）

A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0

（提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。） 【练习4】、若f(x) a(a

（提示：抓住特殊点2，f 1(2)

x

0,a 1)，f 1(2)0,则f 1(x 1)的图象是（ ）

0，所以对数函数f 1(x)是减函数，图象往左移动一个单位得

f 1(x 1)，必过原点，选A）

【练习5】、若函数y f(x 1)是偶函数，则y f(2x)的对称轴是（ ）

A、x 0 B、x 1 C、x

1

D、x 2 2

（提示：因为若函数y f(x 1)是偶函数，作一个特殊函数y (x 1)2，则y f(2x)变为

2

，即知y f(2x)的对称轴是x y (2x 1)

1

，选C） 2

【练习6】、已知数列{an}的通项公式为an=2，其前n和为Sn，那么

12n

CnS1+ CnS2+ + CnSn=（ ）

nnnnnnnn

A、2-3 B、3 -2 C、5 -2 D、3 -4

n-112n

（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2求得和的公式Sn，再代入式子CnS1+ CnS2+ + CnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B）

【练习7】、（06辽宁理10）直线y 2k与曲线9kx y 18kx（k R,k 1）的公共点的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

22

2

2

n-1

y2

1，这是两个椭圆，与直线y 2有4个公共点，选D） （提示：取k 1，原方程变为(x 1) 9

2

【练习8】、如图左，若D、E、F分别是 三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点， 且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平 面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分 的体积之比为（ ）

A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25

（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，V1,V2V1,V2分别表示上下两部分的体积

则

VS DEFSS DEF2h2228V8 44

， 1 ，选C） ()

VS ABCSS ABC3h3327V227 8 423

【练习9】、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH m(OA OB OC)，则m的取值是（ ）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

（提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有

OH OA OB OC，m 1，选B。）

x2y2【练习10】、双曲线方程为 1，则k的取值范围是（ ）

k 25 k

A、k

5 B、2k5 C、 2k2 D、 2

k2或k

5

（提示：在选项中选一些特殊值例如k 6,0代入验证即可，选D）

三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：A B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程2 n=20，选C。 【练习1】、（06安徽理6）将函数y sin x( 的图象按向量a=(

n

0)

6

,0)平移以后的图象如图所示，则

平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ）

A、y sin(x

) B、y sin(x

)66C、y sin(2x

) D、y sin(2x ) 33

（提示：若选A或B，则周期为2 ，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按向量a=( 移” 不符，选C。此题属于容易题）

【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中AB的 长度为x，f(x)表示AB与弦AB所围成的弓形的面的 2倍，则函数y f

(x)的图象是（ ）

6

,0)平

A

、 B、 C、（提示：解法1 设

AOB ，则x ， 则S弓形=S扇形- S△

AOB=

11 x 1 2 sincos 2222

11

(x sin ) (x sinx)，当x (0, )时， 22

0，则x sinx

x，其图象位于y x下方；当x ( ,2 )时，sinx

0，x sinx

x，其

sinx

图象位于y x上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。

解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积f(x)不是弧长x的一次函数，排除A；当x从很小的值

逐渐增大时，f(x)的增长不会太快，排除B；只要x 则必然有面积f(x) ，排除C，选D。事实

上，直觉好的学生完全可以直接选D）

【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是x

7

，则这个椭圆的方程是（ ） 2

2(x 1)22y22(x 1)22y2(x 1)2(x 1)22

1 B、 1 C、 y 1 D、 y2 1 A、

21321355

a27

1 ，（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，c2

∴a2 5，选D） 【练习4】、不等式x A、( 1,0)C、( 1,0)

2

x 1

2的解集是（ ）

(1, ) B、( , 1)(0,1) (0,1) D、( , 1)(1, )

（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x 2，代入原不等式，成立，排除B、C；取x 2，排除D，选A）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温 Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图， 已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间 段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系 如下图，则正确的应该是（ ）

（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除D；t＞6

时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）

【练习6】、集合M (2n 1) |n Z 与集合N (4k 1) |k Z 之间的关系是（ ） A、M N B、M N C、M N D、M N

（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假； 2n 1表示全体奇数，4k 1也表示奇数，故M N且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当x

4,0 时，a4

x 1恒成立，则a的一个可能的值是（ ） 3

A、5 B、

55

C、 D、 5 33

（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则

D也正确。选D）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线y2 4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足PQ a，则a的取值范围是（ ）

A、 ,0 B、( ,2] C、[0,2] D、(0,2)

（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取a 1，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明a 1符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

22y0y0222

a)2 a2，整理得y0设点Q的坐标为(,y0)，由PQ a，得y0 ((y0 16 8a) 0，

4422

y0y0

∵ y 0，∴y 16 8a 0，即a 2 恒成立，而2 的最小值是2，∴a 2，选B）

88

2

020

【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数f(x) cosx cos

22

x

的一个单调增区间是（ ） 2

A、

2 ,33

B、 C、 D、,0, ,

62 3 66

（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由f( 然直接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入在就验算A，有f()

) f()，显

66

会出现，所以最好只算A、C、现

126

3

f(

2

)，符合，选A） 3

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数系式an 1 f(an)得到的数列满足an 1

A、 B、 C、 D、

y f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1 0,1 ，由关

an(n N )，则该函数的图象是（ ）

【解析】问题等价于对函数y f(x)图象上任一点(x,y)都满足yx，只能选A。

33

【练习1】、设t sin cos ，且sin + cos 0，则t的取值范围是（ ）

A、[-2，0） B、[ 2,2]

C、（-1，0） (1,2 ] D、（-3，0） (3, )

（提示：因为sin + cos =（sin + cos ）（sin - sin cos + cos ），而sin - sin cos +

23333

cos ＞0恒成立，故sin + cos 0 t＜0,选A。另解：由sin + cos 0知 非锐角，

3

3

2

2

2

而我们知道只有 为锐角或者直角时t

sin cos B、C、D，选A）

x22

【练习2】、F1,F2是椭圆 y 1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是（ ）

4

A、4 B、5 C、1 D、2

（提示：设动点P的坐标是(2cos ,sin )，由F1,F

2是椭圆的左、右焦点得F1(

0)，

F2，则PF1

PF2 |(2cos )(2cos )| |4cos2 3 sin2 | |3cos2 2| 2，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提

醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——PF1 PF2 【练习3】、若loga2

。 logb20，则（ ）

|PF1| |PF2|

a2 4）

2

A、0ab1 B、0ba1 C、a

（提示：利用换底公式等价转化。

b1 D、ba1

loga2logb2

0

lg2lgalg2lgb

且d

0 lgblga0∴0ba1，选B）

,cd,,R ,【练习4】、abc，a b c d,a db c，则（ ）

A、dbac B、bcda

C、bdca D、bdac （提示：此题条件较多，又以符号语言出现， 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”， 如图 ，用线段代表a,b,c,d,立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，2，3代表a,b,c,d,容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a,b,c,d R”收严一些变为“a,b,c,d R

”。

【练习5】、已知 围是（ ）

0,若函数f(x) sin

x

2

sin

x

2

在

, 上单调递增，则 的取值范43

A、 0, B、 0, C、 0,2 D、 2,

32

2

3

（提示： 化简得f(x)

1 sin x，∵sinx在 , 上递增， 222

∴

2

x

2

x ，而f(x)在 , 上单调递增 2 2 43

0,∴选B）

3

，又 , , 0 432 2 2

【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于

它的编号数，则不同的放法种数是（ ）

332

A、C6 B、C6 C、C9 D、

12

C9 2

（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔

2

板法分成3 堆即可，有C6种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，

而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）

【练习7】、方程x1 x2 x3 x4 12的正整数解的组数是（ ）

A、24 B、 72 C、144 D、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即

3

可，答案为C11 165，选D）

【练习8】、从1，2，3， ，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）

A、35 B、56 C、84 D、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么

3

问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为C8 56，选B）

ax2 bx 1

3，则b= （ ） 【练习9】、（理科）已知lim

x 1x 1

A、4 B、-5 C、-4 D、5

（提示：逆向思维，分母（x 1）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有

ax2 bx 1 (x 1)(ax 1) ax2 (1 a)x 1

，∴必然有

b (1 a)

，且

ax2 bx 1lim lim(ax 1)，∴a 1 1 3 a 4,∴b 5，选B） x 1x 1x 1

【练习10】、异面直线m,n所成的角为60， 过空间一点O的直线l与m,n所成的角等于60，

则这样的直线有（ ）条

A、1 B、2 C、3 D、4

（提示：把异面直线m,n平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为 ，则问题等价于过点O有多少条直线与m,n所成的角等于60，如图，恰有3条，选C） 【练习11】、不等式ax2 bx c的解集为（ ） A、x0

0的解集为 x 1

x

2 ，那么不等式a(x2 1) b(x 1) c

2ax

x

3 B、xx

0,orx

3 C、 x 2

x1 D、xx

2,orx1

（提示：把不等式a(x2 1) b(x 1) c2ax化为a(x 1)2 b(x 1) c

x

3，选A）

0，其结构与原不等式

ax2 bx c0相同，则只须令 1x 12，得0

五、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过x季度增长到原来的y倍，则函数y f(x)的图象大致是（ ）

A

、

B、 C、 D、

【解析】、由题设知，y (1

0.07)，∵1 0.07所以选D。

【练习1】、已知对于任意x,y R，都有f(x) f(y)

2f(

x

1，∴这是一个递增的指数函数，其中x0，

x yx y

)f()，且f(0) 0，则f(x)22

是（ ）

A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数

（提示：令y 0，则由f(0) 0得f(0) 1；又令y x，代入条件式可得f( x) f(x)，因此f(x)是偶函数，选B）

【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（ ） A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 （提示：设⊙P的半径为R，P、M为两定点，那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆 心Q的轨迹是椭圆，选B）

x2y2

1内有一点P（1，-1）【练习3】、若椭圆，F为右焦点，椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|43

最小，则点M为（ ）

331) B、(1, ) C、(1, ) D

、(1)

22c1

（提示：在椭圆中，a 2,b ，则c 1,e ，设点M到右准线的距离为|MN|，则由椭

a2

A

、圆的第二定义知，

|MF|1

|MN| 2|MF|，从而|MP| 2|MF| |MP| |MN|，这样，过点P

|MN|2

1)，故选A） 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M点，知易

Mx2y2

【练习4】、设F1,F2是双曲线2 2 1(a

ab

PF2PF1

2

0,b右焦点，P为双曲线右支上任意一点，0)的左、

若

的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A、[2，3] B、（1，3] C、 3, D、 1,2

(2a PF1)24a24a2

PF1 4a 8a，当且仅当（提示： PF1，即PF1 2a，

PF1PF1PF1PF1

PF2

2

PF2 4a时取等于号，又PF1 PF2 F1F2，得6a 2c，∴1e 3，选B）

【练习5】、已知P为抛物线

y2 4x上任一动点，记点P

到y轴的距离为d，对于给定点A（4，

5），|PA|+d的最小值是（ ）

A、4 B1 D

1 （提示：d比P到准线的距离（即|PF|）少

1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外， ∴|PA|+d的最小值为1，选D） 【练习6】、函数y f(x)的反函数f

1

(x)

1 2x

，则y f(x)的图象（ ）。 x 3

A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称 C、关于直线y=3对称 D、关于直线x = -2对称

（提示：注意到f

1

(

x)

1 2x

的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反函数的定义，知x 3

y f(x)图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B）

【练习7】、已知函数y f(x)是R上的增函数，那么a b

0是f(a) f(b)f( a) f( b)的

（ ）条件。

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要

（提示：由条件以及函数单调性的定义，有

a b

因此选A）

a0

b

b f(a) a f(a)f( b)

f(a) f(b)f( b)

而这个过程并不可逆，f( a) f( b)，

【练习8】、点P是以F1,F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作 F垂1PF2的外角平分线的垂线，足为M，则点M的轨迹是（ ）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

（提示：如图，易知PQ PF2，M是F2Q的中点， ∴OM是FQ的中位线，∴MO 1

11

FQ (FP PQ) (F1P F2P)，由椭圆的定义知，11222

，∴选A） F1P F2P=定值，∴MO 定值（椭圆的长半轴长a）

【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）表示的是双曲线，则ｍ的

取值范围是（ ）

A、（0，1） B、（ 1， ） C、（0，5） D、（5， ）

2

2

2

(x 2y 3)2222

（提示：方程m（x+y+2y+1）（x-2y+3）可变形为m 2=，2

x y 2y 1

，这表示双曲线上一点(x,y)到定点（0，-1）与定直线x 2y 3 0的距离

之比为常数e

，又由e1，得到0m5，∴选C。若用特值代验，右边展开式含有xy项，你

无法判断）

六、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

【例题】、已知sinx cosx A、

1

, 5

x 2 ，则tanx的值为（ ）

44334 B、 或 C、 D、 33443

【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识到sinx ,cosx 从而得到tanx

3

54，5

3

，选C 。 4

【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为a

问x取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）

A、

aaa

B

、

C、

D、 2342

（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。） 【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：x1,x2,x3,为该零件直径的近似值，当x取什么值时，(x x1)2 (x x2)2 (x x3)2 A、x1，因为第一次测量最可靠 B、x10，因为最后一次测量最可靠 C、

x10,如果用x作

（ ） (x x10)2最小？

x1 x10x x2 x3 ，因为这两次测量最可靠 D、1

210

7

x10

（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。） 【练习3】、若(1 2x)

a0 a1x a2x2 a7x7，则|a0| |a1| |a2| |a7| （ ）

A、-1 B、1 C、0 D、37

（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知(1 2x7) aa2x 0 a1x 2

7a7，x求

a0 a1 a2 x 1得解。，这与原问题完全等价，此时令） a7

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设p (a )(b )，q 1

a1b

2

，r (

a b22

)，那么数值最大的一个是（ ） 2a b

A、p B、q C、r D、与a、b的值有关。

（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。

A B C D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是（ ）

A、h2

h1h4 B、h1h2h3 C、h3h2h4 D、h2h4h1

（提示：选A）

【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x y 2 0上的圆的方程是（ ）

A、(x 3)2 (y 1)2 4 B、(x 3)2 (y 1)2 4 C、(x 1)2 (y 1)2 4 D、(x 1)2 (y 1)2 4 （提示：显然只有点（1，1）在直线x y 2 0上，选C） 【练习8】、（97全国理科）函数y sin(A、

3

2x) cos2x的最小正周期是（ ）

B、 C、2 D、4 2

（提示：因为总有asin x bcos x Asin( x )，所以函数y的周期只与 有关，这里

2，所以选B）

x0,

【练习9】、（97年高考）不等式组 3 x

3 x

A、 x|0C、x|0

2 x的解集是（ ） 2 x

x

x

2 B、 x|0

D、 x|0

x

2.5

x3

（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程

3 x3 x

||的根！，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以选C）

3 x3 x

【练习10】、△

ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）

A、

3113 B、 C、1 D、 882

（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较： 设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，

22

∴cosC- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方

2

程的根，由cosC是实数知：△= cos（A-B）-8y≥0， 即8y≤cos（A-B）≤1，∴y

2

1

，故应选B。 8

这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）

A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648

（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，

1

②甲：乙=2：1，其概率为[C2 0.6 0.4] 0.6 0.288，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）

【练习12】

、nis

ocs

4

2 ，则tan cot （ ）

A、1 B、2 C、-1 D、-2 （提示：显然

，选B）

七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、

B、

C、

D、20 cm

2

2

2

2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6

，因此易知最大面积为，选B。）

2

【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ） A、(

n 2n 1 n 2n 1

, ) B、( , ) C、(0,) D、( , ) nnnn2

（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角 ，

且 ；当锥体h 且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，

n 2

,且 nn 2

,选A） n

【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记 A、2

S

i 1

4

i

S

，则 一定满足（ ）

4 B、3 4 C、2.5 4.5 D、3.5 5.5

（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对面，不妨设S=S1，则S2+S3+S4 S1

那么 2，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时， 4，凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ，侧面与底面 所成角为

，则

2cos cos2 的值是（ ）

A、1 B、

1

C、0 D、-1 2

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时， 90, 90,那么

2cos cos2 2cos90 cos180 1，选D）

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么

sin

C AC A

cos的值是（ ） 22

11

A、1 B、 C、 D、-1

23

(提示：进行极限分析， 0时，点C ，此时高h 0,c a，那么C 180,A 0，

所以sin

C AC A cos sin90 cos0 1，选A。） 22

【练习5】、若0A、a

4

,sin cos a,sin cos b,则（ ）

2

b B、ab C、ab1 D、ab

（提示：进行极限分析，当 0时，a 1；当

【练习6】、双曲线x2 y2 1的左焦点为F， 点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直

线PF的斜率的变化范围是（ ） A、 ( ,0) B、( , 1) C、( ,0)

4

时，bba，选A）

(1, )

(1, ) D、(1, )

（提示：进行极限分析，当P 时，PF的斜率k 0；当PF x时，斜率不存在，即k 或k ；当P在无穷远处时，PF的斜率k 1。选C。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程y e2x 2ex 1(x 0)的曲线关于直线y x对称的曲线方程为（ ）

A

、y ln(1 B

、y ln(1 C

、y ln(1 D

、y ln(1

（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为y (ex 1)2(x 0)，是个增函数。再令

x ,那么y ,那么根据反函数的定义，在正确选项中当y 时应该有x ,只有A符

合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若sin cos 1，则对任意实数n，sinn cosn （ ） A、1 B、区间（0，1） C、

1

D、不能确定 n 1

2

（提示：用估值法，由条件sin cos 1完全可以估计到sin ,cos 中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知c

A、x

1，且x

y x,y之间的大小关系是（ ） y C、x y D、与c的值有关

y B、x

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当

c

1时，x1；当x 时，x

0B）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位臵的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位臵进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

【例题】、已知x1是方程x lgx 3的根，x2是方程x 10x 3的根，则x1 x2 （ ） A、6 B、3 C、2 D、1 【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一 坐标系中作出四个函数，y 10x，y lgx，y 3 x，

y x的图象，设y 3 x与y lgx的图象交于点A，其

横坐标为x1；y 10x与y 3 x的图象交于点C，其横坐标 为x2；y 3 x与y x的图象交于点B，其横坐标为点B关于直线y x对称，所以x1 x2 2×

3

。因为y 10x与y lgx为反函数，点A与2

3

=3，选B。 2

此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为x1是方程x lgx

3的根，

所以2

x1

3,x2是方程x 10x 3的根，所以0

x2

1,所以2

x1 x2

4,选B。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A、24个 B、30个 C、40个 D、60个

1

（ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有C2种方法；第二步在剩212

下的4个数字中任取两个排在十位与百位有A4种，由乘法原理，共有C2A4=24个，选B。用估计法：3五个数字可以组成A5） 60个三位数，其中偶数不到一半，选B。

【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元 A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）

（提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以a1 1800,q 1 6%的等比数列，所以2008年工资性收入为a6 1800(1 0.06)5 1800 (1 5 0.06) 2340元；其它收入构成以1350为首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）

【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）

A、

16864 B、 C、4 D、

399

（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为

r 则S球=4 R 4 r

2

2

， 16 3

5 ，选D）

【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

EF

3

，EF与平面ABCD的距离为2，则 2

915 B、5 C、6 D、 22

该多面体的体积为（ ）

A、

（提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而VE ABCD=6，所以只能选D）

【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线y 2x 2上，若∠ACB ＞

90，则点C的纵坐标的取值范围是（ ）

A

、(

) B

、(1

C

、

(

D

、( （提示：如图，M、N在直线y 2x 2上，且∠AMB=∠ANB=90，要使∠ACB ＞90，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标是可以为负值的，选D）

【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60，底面三角形三边长分别是7、8

、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）

A

、

、

、

、（提示：你可以先求出ABC

的面积为

可以先求出ABC的面积为

P在底面的射影到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是

8，则面积为

2

8

这个面积当然比原来大了一点点，

再利用射影面积公式求出侧面面积为，四个选项中只有B）

【练习7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表

S1,S2,S3分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A、S3

S1S2 B、S2S1S3 C、S1S2S3 D、S2S3S1

（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法）

【练习8】、（07全国Ⅱ理 12）设F为抛物线y 4x的焦点，

2

FA FB FC 0，则FA FB FC等于（ ）

A、9 B、6 C、4 D、3

（提示：很明显（直觉）三点A、B、C在该抛物线上的图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kki4.html