2013年江西白鹭洲中学高一下期第二次月考数学试卷

白鹭洲中学高一年级第二次月考数学试卷

时间120分 满分150分 命题：高一数学备课组

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

x21．已知全集U?R，集合A?x2?1，B?xx?3x?4?0， 则A?B? ( )

???? A．xx?0?? B．?xx??1或x?0? C．?xx?4? D．?x?1?x?4?

2.设{an}为等差数列，公差d = -2，Sn为其前n项和.若S10?S11，则a1= （ ） A.18 B.20 C.22 D.24

3.已知?ABC外接圆半径为1，且acosB?bcosA?2,则?ABC是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4．若a?0,b?0,且a?b?4,则下列不等式恒成立的是 ( ) A．

5．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为 ( )

开111122?B．??1 C．ab?2 D．a?b?8 ab2 ab

i?1S?0S?S?2i否i?i?2结果是?输出S

A．i?5 B．i?7 C．i?9 D．i?9 6．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔

入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是 （ ） A．

9?494? B． C． D．

4?949?父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178 儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177 7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y对x的线性回归方程为 ( ) A.y?x?1 B.y?x?1 C. y?1x?88 D.y = 176 28．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况，从两块地各随机抽取

x乙和中位数了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x甲、y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是 （ ）

A．x甲?x乙，y甲?y乙 B．x甲?x乙，y甲?y乙 C．x甲?x乙，y甲?y乙 D．x甲?x乙，y甲?y乙

9．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率

分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0

之间的学生数为b，则a，b的值分别为 ( )

A．0.27, 78 B．0.27, 83 C．2.7, 78 D．2.7, 83

????????OAOB10．如图所示，两个不共线向量,的夹角

为?，M,N分别为OA与OB的中点，点C在

????????????直线MN上，且OC?xOA?yOB(x,y?R)，

BMCNA则x?y的最小值为 ( )

22O A.2211 B. C. D. 4282二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则n? ．

?log3x,x?0,?12．已知函数f(x)???1?x 那么不等式f(x)?1的解集为 ．

???,x?0,??3?

13．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 ．

14．设?an?是等比数列，公比q?记Tn?2，Sn为?an?的前n项和，

17Sn?S2n?，n?N．设Tn0为数列?Tn?的最大项，

an?1,则no = ___________．

15．如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，?ABC是边长为1的正 三角形，曲线CA1,A1A2,A2A3分别是A,B,C为圆心，AC,BA1,CA2 为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈；然后又以A 为圆心，AA3为半径画弧，如此继续下去，这样圈．设所得螺旋线CA1A2A3???A3n?2A3n?1A3n的总

A2画到第n长度为

Sn．则

（1）S1＝ ； （2）Sn= ．

A3CBAA1三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）有编号为A1,A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 编号 A1 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 直径 1.51 其中直径在区间［1．48，1．52］内的零件为一等品． （Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率： （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．

（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ii）求这2个零件直径相等的概率．

17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足

，a1?1． Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）（1）证明：数列{Sn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若bn?11，Tn?b1?b2???bn，求证： Tn?．

anan?12

18．（本小题满分12分）已知A,B,C分别为?ABC的三边a,b,c所对的角，向量

????m?(sinA,sinB)，n?(cosB,cosA)，且m?n?sin2C. （1）求角C的大小；

???????? （2）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且CA?CB?18，求边c的长．

19．（本小题满分12分）

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号

为n，求n?m?2的概率．.

?2)?(6，??)时，20.（本小题满分13分）已知函数f(x)?ax2?a2x?2b?a3，当x?(??，f(x)?0；当x?(?2，6)时，f(x)?0．

（1）求a、b的值； （2）设F(x)??

kf(x)?4(k?1)x?2(6k?1)，则当k 取何值时, 函数F(x)的值恒为负数? 4an?1?12ana?2,??n?N??. 21．（本小题满分14分）已知数列?an?中的各项均为正数，且满足1an?1an?1记bn?a?an，数列?bn?的前n项和为xn，且f(xn)?2n(Ⅰ)数列

?bn?和?an?的通项公式；

1xn.2

f?xn?nn?1f?x1?f?x2????L???n?N??. (Ⅱ)求证：

2f?x2?f?x3?f?xn?1?2

白鹭洲中学高一年级第二次月考数学参考答案及评分标准

1.C 2.B 3.B 4. D 5．D 6.D 7.C 8．B 9．A 10．B 11． 20 ．12． ．13． ．

14._____4 ______． 15.（1）S1＝ 4? ；（2）Sn= n?3n?1?? 16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A， 则P（A）=

63=. ……………………4分 105 （Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2

个，所有可能的结果有：

?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,A4?,?A1,A5?,?A1,A6?,?A2,A3?,?A2,A4?,?A2,A5?,

?A2,A6?,?A3,A4?,?A3,A5?,?A3,A6?,?A4,A5?,?A4,A6?,?A5,A6? 共有15种.……8分

（ii）解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：?A1,A4?,?A1,A6?,?A4,A6?，?A2,A3?,?A2,A5?,?A3,A5?，共有6种.

所以P（B）=

62? .……………………12 分 155

17.（本小题满分12分） 解：（1?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2? ?易知Sn?0, ?Sn?Sn?1?1， …………2分 又S1?a1?1，所以数列?S?是一个首项为1公差为1的等差数列……3分 nSn?1??n?1??1?n ， Sn?n2． …………4分 当n?2，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1 ；

a1?1适合上式，?an?2n?1（n?N*）． …………7分

（2）bn?111?11?=????…………9分 anan?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?

Tn?b1?b2???bn

?1??1?2?1???3?11?1?1?11?1?1????K???????2n?2n1??3?5?25?7?2?1?； 21? =1?1?1111111?1??? …………11分 ?1????????? =?1?2?335572n?12n?1?2?2n?1?111?1?11?0，1??1，?1???，即Tn?．………12分 2n?12n?12?2n?1?22?n?N*，?18．（本小题满分12分）

解：（I）m?n?sinA?cosB?sinB?cosA?sin(A?B) ?ABC中,A?B???C,0?C??,

??…………2分

(?B)?sinC, ?sinAC ?m?n?sin?? …………3分

又m?n?sin2C,?sin2C?sinC,cosC???1?,C?. 23…………6分

（II）由sinA,sinC,sinB成等差数列，得2sinC?sinA?sinB,

由正弦定理得2c?a?b.

?CA?CB?18,

?abcosC?18,即ab?36.

222………10分

2 由余弦定理c?a?b?2abcosC?(a?b)?3ab,

?c2?4c2?3?36,?c?6.

…………12分

19.（本小题满分12分）

20.（本小题满分13分）

解：（1）∵f(x)?ax2?a2x?2b?a3

又x∈（－2，6），f(x)＞0；x∈（－∞，－2）∪（6，+∞），f(x)＜0。

∴－2和6是方程ax?ax?2b?a?0的两根。 ……………………3分

223??2?6??a?故?2b?a3 解得 ??2?6?a?此时，

?a??4 ………………………………6分 ?b??8?f(x)??4x2?16x?48

∴欲使f(x)＜0恒成立，只要使kx?4x?2?0恒成立，则须要满足：

2 ①当k?0时，原不等式化为4x?2?0，显然不合题意，舍去。…………9分

②当k?0时,要使二次不等式的解集为x?R，则必须满足：

??k?0???4?4k?(?2)?02 解得k??2 ……………………12分

综合①②得k的取值范围为(??,?2)。 ………………………………13分

21．（本小题满分14分）解：（I）

an?1?12an22??an?1?an?1?2(an?an) …2分

an?1an?1

2?bn?an?an,bn?1?2bn,?数列{bn}是公比和首项均为2的等比数列，

?bn?2n， ……………………………………………………………………4分 1?1?2n?2即a?an?2?an?(?an?0).………………………………6分

22nn

2(2n?1)?2n?1?2, ……7分 （II）证明：因为等比数列{bn}的前n项和xn?2?1

所以f(xn)?2n?1. …………………………………………………………8分

f(xk)2k?1??故

f(xk?1)2k?1?12k?11?,k?1,2,3,?,n, ……………………10分 122(2k?)2 所以

f(xn)nf(x1)f(x2)?????. ………………………………11分 f(x2)f(x3)f(xn?1)21111f(xk)2k?111????, 另一方面?k?1??k?1k?1k?1k?122?2k?222f(xk?1)2?122(2?1) ……………………12分

?

f(xn)f(x1)f(x2)????f(x2)f(x3)f(xn?1)n111n11n?1?(2?3???n?1)??(1?n)?.22222222

?

?f(xn)nn?1f(x1)f(x2)??????. ………………………14分 2f(x2)f(x3)f(xn?1)2

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