初中数学竞赛精品标准教程及练习04：零的特性

初 中数学竞赛精品标准教程及练习（4）

零的特性

一、内容提要

1.零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。

零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元。

零是判定正、负数的界限。

若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0

记作 a＞0 a是正数 读作a＞0等价于a是正数

b<0 b 是负数

c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）

d 0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)

e 0 e不是0 （即e不是0，而是负数或正数）

在一切非负数中有一个最小值是0。

例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。

记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，

a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。

在一切非正数中有一个最大值是0。

例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），

22 －（X－2） 0，当X＝2时，－（X－2）的值最大，是0。

2，零具有独特的运算性质

乘方：零的正整数次幂都是零。

2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；

零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。

乘法：零乘以任何数都得零。 即a×0＝0，

反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。

加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。

即a、b互为相反数 a+b=0

减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，

若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b; 若a-b＜0,则a＜b。

反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。

例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：

1.55 近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 ，，，，，，，，

二、例题

例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？

答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？

答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？

①X（Y－1）＝0， ② ｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0

答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数；

当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。

②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0，

∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，

故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2＝0成立。

三、练习

1， 有理数a和b的大小如数轴所示:

比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）

2a 0, －3b 0,

－a2 0, －b3 0, a+b 0, a－b 0,

ab 0, (－2b)3 0, 12 0, － 0， abaa 0, 0 b b

2, a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。

｜a|>a, a2> －a2, a>－a, a+1>a

3, x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。

①（x－2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0，

② 2－x2有最大值2， ④ 3＋｜x－1｜有最小3。

4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？

5， 要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？

①0＝0， ②X（X－3）＝0， ③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝0 X

3 a 16， 下列说法正确吗？为什么？ ① a的倒数是a ②方程（a－1）X＝3的解是X＝

③ n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数

④ 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 )

7， X取什么值时，下列代数式的值是正数？

① X（X－1） ② X（X＋1）（X＋2）

练习参考答案：2. 只一个 3. 4 4.无数多个，0

5. ①x ≠0，② 0或3 ③. X=0且y＝5 （注意或与且的区别） 6. 都不正确，0没有倒数

7. ①x>1或x<0 ② -2<x<-1或x>0

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