2010年成都中考数学真题-完全解析

2010年成都市中考数学试题

A卷（共100分）

一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．（2010年四川成都，1，3分）下列各数中，最大的数是（ ）

1A．?2 B．0 C． D．3

2【分析】0既不是正数也不是负数，所有的正数都大于0，所有的负数都小于0。 【答案】D

【涉及知识点】有理数比较大小

【点评】本题考查的知识点简单，单一，属于比较基础的题目，便于学生得分。 【推荐指数】★ 2．（2010年四川成都，2，3分）x3表示（ ）

A．3x B．x?x?x C．x?x?x D．x?3 【分析】幂的底数表示因数，指数表示因数的个数。 【答案】C

【涉及知识点】乘方的意义

【点评】和幂有关的计算是中考的热点题目，此题基础性较强，考核数学的基础核心概念，具有较好的信度。

【推荐指数】★ 3．（2010年四川成都，3，3分）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前

来参观．据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（ ）

A．2.56?105 B．25.6?105 C．2.56?104 D．25.6?104 【分析】较大数或是较小数通常都用科学计数法来表示，较大数通常写出a?10n的形式，其中的a是整数部分只有一位的数，n是比所有数位小一的整数；较小数通常写成a?10?n的形式，其中的a是整数部分只有一位的数，n是从左边第一个不是0的数起前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。

【答案】A

【涉及知识点】科学计数法

【点评】科学计数法是每年中考的必考题目，此类题目具有较好的实际应用，熟练掌握较大数和较小数的表示方法是得分的关键。

【推荐指数】★★★★★ 4．（2010年四川成都，4，3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（ ）

A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．长方体

【分析】从主视图和左视图可以看出，这个几何体可能是圆锥或是三棱柱，从俯视图可以确定此几何体就是圆锥。

【答案】B

【涉及知识点】立体图形的三视图

【点评】本题属于基础题目，主要考察的是学生的识图能力，以及由平面到立体的想象能力，具有较好的信度。

【推荐指数】★★ 5．（2010年四川成都，5，3分）把抛物线y?x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表

达式为（ ）

A．y?x2?1 B．y?(x?1)2 C．y?x2?1 D．y?(x?1)2

【分析】抛物线的平移通常的做法是先把抛物线化成顶点式y?a(x?h)2?k，然后根据

h值左加右减，k值上加下减来进行。而对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可。 【答案】D

【涉及知识点】二次函数图形的平移

【点评】函数和图象是初中数学代数的重要知识，其中尤以二次函数最为重要，此题考察数学最基础的函数的图象，体现了新课标关注数学最基础知识的特点。

【推荐指数】★★★

6．（2010年四川成都，6，3分）如图，已知AB//ED，

?ECF?65?，则?BAC的度数为（ ）

????A．115 B．65 C．60 D．25

【分析】遇有平行线问题，只需要考虑同位角相等，内错角相等和同旁内角互补即可。 【答案】B

【涉及知识点】平行线的性质

【点评】此题考查平行线最基本的性质：两直线平行，内错角相等。涉及到几何证明最基础的定理，属于学生容易得分的题目。

【推荐指数】★ 7．（2010年四川成都，7，3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了

15名同学，结果如下表： 每天使用零花钱 （单位：元） 人 数 1 2 2 5 3 4 5 3 6 1 则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）

A．3，3 B．2，3 C．2，2 D．3，5

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可以有一个或是多个；中位数是指把一组数据按大小排序后处于中间位置的数，如果数据的个数是奇数个，那么中位数是最中间的一个数，如果有偶数个数据，那么中位数是中间两个数的平均数，一组数据的中位数只有一个。

【答案】B

【涉及知识点】统计基础的中位数和众数

【点评】此题难度较小，属于统计的基础题目，考查了学生对数据的最基本处理能力。 【推荐指数】★★ 8．（2010年四川成都，8，3分）已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位

置关系是（ ）

A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【分析】两圆的位置关系与两圆的半径及圆心距有关： 当圆心距大于两圆的半径和时，两圆外离； 当圆心距等于两圆的半径和时，两圆外切；

当圆心距小于两圆的半径和且大于两圆的半径差时，两圆相交； 当圆心距等于两圆的半径差时，两圆内切；

当圆心距小于两圆的半径差且大于0时，两圆内含； 当圆心距等于0时，两圆是同心圆；

【答案】A

【涉及知识点】两圆的位置关系

【点评】本题属于基础题目，主要考核两圆直接的位置关系，根据两圆半径及圆心距的关系对号入座即可。

【推荐指数】★★ 9．（2010年四川成都，9，3分）若一次函数y?kx?b的函数值y随x的增大而减小，且图

象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ） A．k?0,b?0 B．k?0,b?0

C．k?0,b?0 D．k?0,b?0

【分析】一次函数的k值决定直线的方向，如果k>0，直线就从左往右上升，y随x的增多而增大，如果k<0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b>0，则与y轴的正半轴相交，如果b<0，则与y轴交与负半轴，当b=0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点。

【答案】D

【涉及知识点】一次函数的图象

【点评】此题考查由一次函数的增减性和图象与y轴的交点来确定k、b的正负，同时注重函数的数形结合，是一次函数的常考题目。

【推荐指数】★★★★ 10．（2010年四川成都，10，3分）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB//CD；②

AB?CD；③BC//AD；④BC?AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

【分析】平行四边形的常用判断定理有：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等和对角线互相平分。

【答案】C

【涉及知识点】平行四边形的判定

【点评】平行四边形的性质和判定是初中几何的重要内容，也是各地中考的热点问题，需熟练掌握。

【推荐指数】★★★★ 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11．（2010年四川成都，11，3分）在平面直角坐标系中，点A(2,?3)位于第___________象

限．

【分析】横坐标为正，所以这个点在y轴的右侧，又纵坐标为负，所以这个点在x轴的下面，所以这个点在第四象限。

【答案】第四象限

【涉及知识点】平面直角坐标系、各象限内点的特点。

【点评】平面直角坐标系各象限内点的坐标的特征，是直角坐标系的最基础知识点，在函数与图象的应用时，有着广泛的应用。

【推荐指数】★ 12．（2010年四川成都，12，3分）若x,y为实数，且x?2?y?3?0，则(x?y)2010的值为___________．

【分析】两个具有非负性的式子相加，如果结果是0，则说明这两个式子的值都是0。从而可以求出未知数的值，然后代入求值即可。

【答案】1

【涉及知识点】绝对值的意义、算术平方根的意义、非负性、有理数的乘方。

【点评】初中涉及到非负性的有三个：绝对值、算术平方根和有理数的偶次幂。通常如果它们三个当中的某两个相加是0，则说明每个式子都是0。

【推荐指数】★★★

?B?60?,?C?70?，13．（2010年四川成都，13，3分）如图，在?ABC中，AB为?O的直径，

则?BOD的度数是_____________度．

【分析】知道三角形的两个角，可以根据内角和定理求第三个 角，然后根据圆周角定理可以求解。

【答案】100；

【涉及知识点】三角形内角和定理，圆周角定理

【点评】三角形的内角和定理是初中阶段最重要的定理之一， 在涉及到三角形背景时须首先考虑。圆周角定理是圆的基础知识中最基础的定理，在几何证明中常有涉及。

【推荐指数】★★★★ 14．（2010年四川成都，14，3分）甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，

乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是_____________．

【分析】根据题意，甲乙两人的功效相同，所以乙单独做也需要x天，那么他们每人一

1天的工作效率是，根据题意列分式方程求解即可。注意最后需要检验。

x【答案】6；

【涉及知识点】分式方程的实际应用

【点评】分式方程是解决实际问题的有效数学建模，运用分式方程解决实际问题时，除了必须检验方程是否有增根外，通常还需要看是否符合实际情况。

【推荐指数】★ 15．（2010年四川成都，15，3分）若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该

圆锥的底面圆半径是___________．

【分析】圆锥的侧面积和侧面展开图的圆心角知道，可以求出圆锥的母线，从而可以求出展开图的弧长，从而可以求出底面圆的半径。

【答案】3

【涉及知识点】圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式、圆的面积公式 【点评】此题把与圆的计算有关的公式结合到了一起，具有较好的综合性 【推荐指数】★★★★★ 三、（第1小题7分，第2小题8分，共15分） 16．（2010年四川成都，16（1），7分）解答下列各题：

?1（1）计算：6tan30??(3.6?π)0?12?()?1．

23?1?23?2=3 【答案】解：原式=6?3【涉及知识点】特殊角的三角函数值、与幂有关的计算、二次根式的化简 【点评】此题考查的知识点较多，具有较好的综合性 【推荐指数】★★★★ （2）（2010年四川成都，16（2），8分）若关于x的一元二次方程x2?4x?2k?0有两个实

数根，求k的取值范围及k的非负整数值. 【分析】一元二次方程根的情况用根的判别式b2?4ac来判断即可，然后在符合要求的范围内取非负整数值。

【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2?4x?2k?0有两个实数根， ∴△=42?4?1?2k?16?8k?0 解得k?2

∴k的非负整数值为0,1,2。

【涉及知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的解

【点评】此题是方程和不等式的结合题目，很好的体现了数学的计算功能。 【推荐指数】★★★ 四、（第17题8分，第18题10分，共18分） 17．（2010年四川成都，17，8分）已知：如图，AB与圆O相切于点C，OA?OB，圆O的

直径为4,AB?8．

（1）求OB的长； （2）求sinA的值．

【分析】由切线的性质可知?OCA和?OCB都是直角，又OA?OB，则OC是等腰三角形的“三线合一”线，然后根据勾股定理可以求OB的长，最后根据OC和OA的长可以求sinA的值。

【答案】解：（1）由已知，OC=2，BC=4。在Rt△OBC中，由勾股定理， 得OB?OC2?BC2?25

OC25?? OA255

（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=25，OC=2， ∴sinA=

【涉及知识点】切线的性质、等腰三角形、三角函数、勾股定理

【点评】本题涉及的知识点较多，但此题难度不大，属于中档的几何计算题。 【推荐指数】★★★

k

18．（2010年四川成都，18，10分）如图，已知反比例函数y?与一次函数y?x?b的图

x

象在第一象限相交于点A(1,?k?4)．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值

大于一次函数的值的x的取值范围．

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式，可以求出反比例函数的K值，从而求出解析式，那么A点的坐标也可以知道了，然后把A点的坐标代入一次函数的解析式，可以求出b值。（2）解由两个解析式组成的方程组，可以求出另一个交点的坐标，然后根据图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的情况。

k【答案】.解：（1）∵已知反比例函数y?经过点A(1,?k?4)，

xk ∴?k?4?，即?k?4?k

1 ∴k?2

∴A(1，2)

∵一次函数y?x?b的图象经过点A(1，2)，

∴2?1?b ∴b?1

2， x一次函数的表达式为y?x?1。

∴反比例函数的表达式为y??y?x?1?2（2）由?2消去y，得x?x?2?0。

y??x?

即(x?2)(x?1)?0,∴x??2或x?1。 ∴y??1或y?2。 ?x??2?x?1∴?或?

y??1y?2???1)。 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为(?2，

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x??2或0?x?1。

【涉及知识点】反比例函数的解析式及图象、一次函数的解析式及图象、一元二次方程的解。

【点评】此题是一道经典的老题，综合考察了一次函数和反比例函数，具有较好的信度，但题目比较缺乏新意。

【推荐指数】★★ 五、（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（2010年四川成都，19，10分）某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五

个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．

请根据统计图回答下列问题：

（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；

（2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方

法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小明抽得的数字比小华抽得的数字大，门票给小明，否则给小华．” 请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【分析】（1）根据ACDE的任意一个具体数据和对应的百分比可以算出门票的总数，然后用总数减去其它的，剩余的就是B种的，用B种的除于总数可以得出B相应的百分比（或用单位“1”减去其它的百分比也可以）。（2）画树形图或是列表，然后分别计算两人获胜的概率即可。

【答案】.解：（1）

博览会门票条形统计图805020B3020E 40%博览会门票扇形统计图数量100806040200

A10%B 25í 10%E馆名ACD

B馆门票为50张，C占15%。 （2）画树状图

开始

小明

1 2 3 4 小华

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

或列表格法。 小华抽到 的数字 小明抽到 的数字 1 1 2 3 4 （1,（1,（1,（1,1） 2） 3） 4） （2,（2,（2,（2,2 1） 2） 3） 4） （3,（3,（3,（3,3 1） 2） 3） 4） （4,（4,（4,（4,4 1） 2） 3） 4） 共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得门票的结果有6种，分别是（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3）。

63∴小明获得门票的概率P?， 1?16835 小华获得门票的概率P2?1??。

88∵P1?P2 ∴这个规则对双方不公平。

【涉及知识点】条形图、扇形图、用树形图或列表法求概率。

【点评】此题是统计和概率的综合运用，难度不大，考察了学生对统计和概率知识的初步认识。

【推荐指数】★★★★ 20．（2010年四川成都，20，12分）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的

点时，求证：OP?OQ； （2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若

?AD?4，∠DCB?60,BS?10，求AS和OR的长．

【分析】（1）要证OP?OQ，只需要证△BOP≌△DOQ即可，可根据菱形的相关性质求解。（2）利用菱形的相关性质和已知条件AD?4，∠DCB?60?,BS?10，可以过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，构造直角三角形，然后根据三角函数和相似三角形的相关知识求解。

【答案】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC。 ∴∠OBP=∠ODQ ∵O是是BD的中点， ∴OB=OD

在△BOP和△DOQ中，

∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ

∴△BOP≌△DOQ（ASA） ∴OP=OQ。

（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.

∵ABCD是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴AT=ABsin60°=23 TB=ABcos60°=2

∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴AS=AT2?TS2?239。

∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。 AOAD42∴???， OSSB105AS?OS2AS7则?,∴?

OS5OS571039∵AS=239，∴OS?AS?。

57

同理可得△ARD∽△SRC。 ARAD42∴???, RSSC63AS?SR2AS5则?,∴?，

RS3RS33639∴RS?AS?。

551039639839??∴OR=OS-RS=。 7535【涉及知识点】菱形的性质、全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角函数、相似三角形、动点。

【点评】此题以菱形为背景，综合考察了直角三角形、三角函数、相似三角形等初中数学最重要几何知识，难度中等，具有一定的区分度。

【推荐指数】★★★★★

B卷（共50分）

一、填空题：（每小题4分，共20分） 21．（2010年四川成都，21，4分）设x1，x2是一元二次方程x2?3x?2?0的两个实数根，

则x12?3x1x2?x22的值为__________________．

【分析】先把所给式子变形可得: x12?3x1x2?x22?(x1?x2)2?x1x2,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解。

【答案】7；

【涉及知识点】分解因式、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系。

【点评】此题综合考察完全平方公式和一元二次方程根与系数的关系，难度中等，具有一定的区分度。

【推荐指数】★★★ 22．（2010年四川成都，22，4分）如图，在?ABC中，?B?90?，AB?12mm，

BC?24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC的面积最小．

【分析】四边形APQC的面积的面积是三角形ABC和三角形BPQ的面积差，三角形ABC的面积可以直接算出，而三角形BPQ的面积可以用含自变量t的式子表示出来，从而得到一个关于自变量t的二次函数，配方求最小值即可。

【答案】3；

【涉及知识点】直角三角形、割补法求几何图形面积、二次函数、配方法求最值。 【点评】本题涉及知识点比较多，综合考察了割补法求几何图形面积、二次函数、配方法求最值等比较复杂的几何知识，难度比较大，具有较高的区分度。

【推荐指数】★★★★★ 23．（2010年四川成都，23，4分）有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数k,k?1

（其中k?0,1,2,.......,19）的卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并

从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9?1?0?10）不小于14的概率为_________________.

【分析】卡片上两个数的各位数字之和不小于14的有：18和19、 17和18、16和17、

19和8、 8和7共5张，所以这个概率是；

41【答案】；

4【涉及知识点】概率。

【点评】本题考核的知识点是概率的应用，考核点比较单一，难度相对比较小。 【推荐指数】★★ 24．（2010年四川成都，24，4分）已知n是正整数，P1(x1,y1),P2(x2,y2),......,Pn(xn,yn),........

k是反比例函数y?图象上的一列点，其中x1?1,x2?2,......,xn?n,......．记A1?x1y2，

x，则A1?A2?.....?An的A2?x2y3，......，An?xnyn?1，......若A1?a（a是非零常数）

值是________________________（用含a和n的代数式表示）．

k

，即x

xy?k，所以原式=x1?kn?1?yn?1。又A1?x1y2?a，k?x2y2，所以k?2a，所以原式

【分析】由题意可知：A1?A2?.....?An=x1?y2?x2?y3......xn?yn?1，又y?

x1?kn?1?yn?1?1?2an?1k2a2ann?1。 ?n?1?1?2a??xn?1n?1(2a)n【答案】；

n?1【涉及知识点】反比例函数的图象和性质

【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，计算性较强，尤其是如何把x和y用a和n表示，具有一定的难度，使得此题具有较好的区分度。

【推荐指数】★★★★ 25．（2010年四川成都，25，4分）如图，?ABC内接于圆O，?B?90?,AB?BC，D是圆

O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是BC边上一点，连结AD、DC、AP．已

知AB?8，CP?2，Q是线段AP上一动点，连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于

点R，且满足AP?BR，则

BQ的值为_______________． QR

【分析】由题意可知，四边形ABCD是圆的内接正方形，且该正方形的各边长都是8，又CP?2，所以BP?6，AP?82?62?10，所以BR?10。然后分情况，当R在AD 或是CD上时，分别根据相似求BQ和QR。

12【答案】 1和；

13【涉及知识点】圆、圆内接四边形、直角三角形的勾股定理、动点、相似三角形、一元

二次方程。

【点评】此题涉及到的知识点多，难度比较大，同时要考虑动点的不同情况，要想拿到满分比较难，使得该题具有较好的区分度，是一道较好的几何综合题。

【推荐指数】★★★★★ 二、（共8分） 26．（2010年四川成都，26，8分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，

汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011

年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 【分析】（1）列一元二次方程求解即可，注意最后的结果是否符合实际情况。（2）根据题意列不等式求出符合要求的范围即可。

【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x。根据题意，得

?1x2?)2 150( 16解得x1?0.2?20%，x2??2.2（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为216?90%?y万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(216?90%?y)?90%?y万辆。根据题意得 (216?90%?y)?90%?y?231.96 解得y?30

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

【涉及知识点】一元二次方程和不等式的实际应用。 【点评】该题综合考查了一元二次方程和不等式的综合应用，难度不大，比较容易得分，美中不足的是该题在09年其它省市的中考题中出现过，题目缺乏新意。 【推荐指数】★★ 三、（共10分） 27．（2010年四川成都，27，10分）已知：如图，?ABC内接于圆O，AB为直径，弦CE?AB

C是弧AD的中点，于F，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．

（1）求证：P是?ACQ的外心；

3 （2）若tan?ABC?,CF?8,求CQ的长；

4（3）求证：(FP?PQ)2?FP?FG．

【分析】（1）由弦CE?AB于F，C是弧AD的中点，可知弧AE=弧AC=弧CD,从而所对应的圆周角相等，所以AP=CP。再根据垂径定理和圆周角定理可以求出

3CP=CQ。（2）由tan?ABC?,CF?8可知AC、AF的长，然后根据相似、勾股定理和三角

4函数可求出BF、BC的长度，最后根据Rt△ACB∽Rt△QCA求解即可。（3）证Rt△ACF∽Rt△CBF，和Rt△AFP∽Rt△GFB。

【答案】（1）证明：∵C是弧AD的中点， ∴弧AC=弧CD， ∴∠CAD=∠ABC

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90°

又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ

∴在△PCQ中，PC=PQ，

∵CE⊥直径AB，∴弧AC=弧AE ∴弧AE=弧CD ∴∠CAD=∠ACE。

∴在△APC中，有PA=PC， ∴PA=PC=PQ

∴P是△ACQ的外心。

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，

CF3∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=?，CF=8，

BF4432得BF?CF?。

3340∴由勾股定理，得BC?CF2?BF2?

3∵AB是⊙O的直径，

AC340∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC= ?，BC?BC433 得AC?BC?10。

4易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC2?CQ?BC

2AC15?。 BC2（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

∴∠DAB+∠ABD=90°

又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G；

∴Rt△AFP∽Rt△GFB， AFFP∴，即AF?BF?FP?FG ?FGBF易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴FG2?AF?BF（或由摄影定理得） ∴FC2?PF?FG 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴(FP?PQ)2?FP?FG。

∴CQ?

【涉及知识点】圆的垂径定理、外心、圆周角定理、三角函数、三角形的勾股定理、射影定理、相似三角形

【点评】此题综合性较强，把初中几何最重要的定理和知识点加以融合，很好的体现了试题是选拔功能和区分度，是一道较好的几何综合题。

【推荐指数】★★★★★ 四、（共12分） 28．（2010年四川成都，28，12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?c与x轴

0)，若将交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，经过A、C两点的直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的

对称轴是直线x??2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且

S?ABP:S?BPC?2:3，求点P的坐标；

（3）设圆Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在圆Q与坐

标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同

时相切？

【分析】(1)一次函数下移3个单位过原点，可以知道b=3，又点A的坐标和对称轴都知道，则点B的坐标可以知道，把已知的点的坐标代入相应的解析式即可。（2）过点B做直线AC的垂线段BD，则BD是两个三角形的公共高，所以面积比就是底边的比，然后过点P做x轴的垂线段，最后根据相似求值。（3）可以根据题意，分圆与x轴相切、与y轴相切和与两轴都相切三种情况来考虑。

【答案】（1）解：（1）∵y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

3)。 ∴b?3，C(0，0)代入y?kx?3，得?3k?3?0。解得k?1。 将A (?3， ∴直线AC的函数表达式为y?x?3。 ∵抛物线的对称轴是直线x??2 ?9a?3b?c?0?a?1?b??∴??解得?b?4 ??2?c?3?2a??c?3?∴抛物线的函数表达式为y?x2?4x?3。 （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

yCDPAEBOx ∵S?ABP:S?BPC?2:3，

11∴(?AP?BD):(?PC?BD)?2:3

22∴AP:PC?2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， PEAP2∴??， COAC5∴PE?∴

26OC? 5569?x?3，解得? 5596∴点P的坐标为(?，)

55（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在圆Q与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x0?1，即x0??1。 当x0??1时，得y0?(?1)2?4?(?1)?3?0，∴Q1(?1， 0) 当x0?1时，得y0?12?4?1?3?8，∴Q2(1， 8)

② 当⊙Q与x轴相切时，有y0?1，即y0??1

当y0??1时，得?1?x02?4x0?3，即x02?4x0?4?0，解得x0??2，∴Q3(?2， ?1) 当y0?1时，得1?x02?4x0?3，即x02?4x0?2?0，解得x0??2?2，∴Q4(?2?2， 1)，

Q5(?2?2， 1)。

综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(?1， 8)，Q3(?2， ?1)， 0)，Q2(1，Q4(?2?2， 1)，Q5(?2?2， 1)。 （Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0??x0。 由y0?x0，得x02?4x0?3?x0，即x02?3x0?3?0， ∵△=32?4?1???3?0 ∴此方程无解。

由y0??x0，得x02?4x0?3??x0，即x02?5x0?3?0， 解得x0??5?13 2∴当⊙Q的半径r?x0??5?135?13?时，⊙Q与两坐标轴同时相切。 22【涉及知识点】一次函数的图形及性质、二次函数的图形及性质、相似三角形的有关证

明和性质、动点、分情况考虑问题等。

【点评】此题具有较高的综合性，考查的知识点非常多，知识之间的衔接自然贯通，难度非常大，作为压轴题，具有很好的区分度，体现了考试的选拔功能。

【推荐指数】★★★★★

11∴(?AP?BD):(?PC?BD)?2:3

22∴AP:PC?2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， PEAP2∴??， COAC5∴PE?∴

26OC? 5569?x?3，解得? 5596∴点P的坐标为(?，)

55（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在圆Q与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x0?1，即x0??1。 当x0??1时，得y0?(?1)2?4?(?1)?3?0，∴Q1(?1， 0) 当x0?1时，得y0?12?4?1?3?8，∴Q2(1， 8)

② 当⊙Q与x轴相切时，有y0?1，即y0??1

当y0??1时，得?1?x02?4x0?3，即x02?4x0?4?0，解得x0??2，∴Q3(?2， ?1) 当y0?1时，得1?x02?4x0?3，即x02?4x0?2?0，解得x0??2?2，∴Q4(?2?2， 1)，

Q5(?2?2， 1)。

综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(?1， 8)，Q3(?2， ?1)， 0)，Q2(1，Q4(?2?2， 1)，Q5(?2?2， 1)。 （Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0??x0。 由y0?x0，得x02?4x0?3?x0，即x02?3x0?3?0， ∵△=32?4?1???3?0 ∴此方程无解。

由y0??x0，得x02?4x0?3??x0，即x02?5x0?3?0， 解得x0??5?13 2∴当⊙Q的半径r?x0??5?135?13?时，⊙Q与两坐标轴同时相切。 22【涉及知识点】一次函数的图形及性质、二次函数的图形及性质、相似三角形的有关证

明和性质、动点、分情况考虑问题等。

【点评】此题具有较高的综合性，考查的知识点非常多，知识之间的衔接自然贯通，难度非常大，作为压轴题，具有很好的区分度，体现了考试的选拔功能。

【推荐指数】★★★★★

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