除法运算

“除法运算”的课例研究

实验小学：赵素芳

背景分析

“除法运算”是小学数学算法教学中的重要组成部分。在小学数学教材编排中，关于“除法运算”的内容，基本划分成3个知识组块，它们分别是“除数是一位数的整数除法”、“除数是两、三位数的整数除法”、“小数除法”，且分布在不同的年级段学习。然而，无论是哪个年级段的“除法运算”学习内容，相对于同年级段的其它的算法学习内容来说，都是学生学习的难点。小学生学习这一内容时，一般存在以下困难。

（1、）难以理解和讲清算理。

（2、）学生算法掌握基本停留在记忆各种算法程序上，优化意识、估算意识不强，计算灵活性也较差。

（3、）学生对算法学习的认识存在思维偏差--算法课的学习通常就是实现教师给出的方法。主动探究算法的经验较少，能力较弱。

对于算法教学，新课程标准明确指出：让学生“经历抽象出数的过程，积累数感；在从实际情境提出计算的过程中，积累四则运算的感性认识；通过尝试，探究计算方法。??，在学习四则运算的过程

中，提高计算正确率，培养自觉选择合理算法和估算的意识，逐步发展计算的灵活性。”

课例描述

教学内容：北师大版四年级上册“除数是小数的除法” 教学目标：

1、通过教学让学生除数是小数除法的算理。

2、通过教学向学生渗透“转化”的思想，为学生提供交流的空间，激发学生交流学习的欲望，提高学生的交流能力。

教学过程：

（下面是以“除数是小数的除法”的教学实践为例展开的分析与研究。）

1、初次实践

课堂实录节选（执教：海江小学王蔚） 师：出示（复习引入） 120÷30=44.5÷15=0.3 12÷3=□ 0.45÷1.5=□

1.2÷0.3=□ 0.045÷0.15=□

（教师先引导学生对除数是小数的除法推演结果进行验证，然后指出商不变性质在小数除法中同样适用。）

师：（创设情境问题，为学生提供一个自主解决问题的平台。） （1）、买9本练习本共10.8元，平均每本练习本多少元？ （2）、一块橡皮0.7元，用10.5元可以买几块橡皮？ （3）、小气球每个0.15元，1.8元可以买几个小气球？ 师：能列出解答这3个问题的算式吗？

根据学生回答板演：10.8÷910.5÷0.71.8÷0.15 （学生独立完成第1题的竖式计算。）

师：除数是整数的小数除法，我们已会计算，那么，象10.5÷0.7、1.8÷0.15这样的除数是小数的除法怎么计算呢？今天我们就着重研究除数是小数的除法。揭示课题：除数是小数的除法。

提问：有没有办法把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法呢？

（此时，大部分学生想到了利用商不变性质解决新问题??）

反思：除数是小数的除法计算关键是先利用商不变性质将它转化成除数是整数的小数除法，再按除数是整数的小数除法法则计算。因此，首先应通过复习激活相关知识--商不变性质，来引发新问题解决思路--利用商不变性质把除数是小数的除法转化为除数是整数的小数除法。

实践效果：由于课始出示了一组利用商不变性质进行填空的习题，使大部分学生自然想到了借助商不变性质把小数除法转化成整数除法，课中没有多种个性化的问题解决方法出现。在教师的引导下，学生逐步掌握了除数是小数的除法的竖式计算，整堂课上得比较顺利

2、第二次实践

谈话引入：同学们，前段时间学习了小数乘法，回忆一下，我们是怎样获得小数乘法的计算方法的？利用这种转化思想，可以把新问题转化成我们学过的问题，从而解决新问题。那么，同学们能否继续用这种转化思想解决除数是小数的除法问题呢？

出示题目：1.8÷0.15 1.02÷0.8

师：今天我们就研究除数是小数的除法计算方法，随即板书课题：除数是小数的除法。

（学生尝试解决第一题后板演并交流。）

板演： ??

（学生大部分把小数除法转化为整数除法来计算，但通过竖式计算，产生答案各不同。）

反思：学生在教师的谈话引导下，利用原认知结构中的已有知识--小数乘法计算的转化方法（先把小数看作整数计算，再确定小数点的位置）进行类比思考：除数是小数的除法计算也可以先把小数看作整数计算，再确定商的小数点的位置。但是在怎样确定商的小数点的位置时，遇到新的学习困难--难以找到一个统一、便捷的方法。因此，影响了整堂课的教学效果。

学习除数是小数的除法，关键是转化思想的运用，因此，认为在课堂引入时，从同类的思想方法引入比较合理。但为什么不能达成预期教学效果呢？我在课前分析中忽视了对学生认知能力水平的分析。“数学转化思想”对一个刚开始学小数除法的小学生来说还只是一个比较抽象的概念，也就是说，目前的学生并不能很清晰的认识数学转化思想的本质所在。那么，，我们是怎样获得小数乘法的计算方法的”来引导学生“利用这种转化思想，可以把新问题转化成我们学过的问题，从而解决新问题”时，学生对于转化思想的演绎更多的是基于原认知结构中的已有经验--小数乘法计算的转化方法（先把小数看作整数计算，再确定积的小数点的位置）进行类比思考：除数是小数

的除法计算也可以先把小数看作整数计算，再确定商的小数点的位置。在这样的思路引导下，学生探究的焦点集中在“如何确定商的小数点的位置？”由于利用小数乘法计算的转化方法迁移至除数是小数的除法计算方法，在怎样确定商的小数点的位置时，却难以找到一个统一、便捷的方法，且带出更多新问。课堂教学情境创设、任务提出，必须基于学生的生活经验、知识经验和认知能力发展水平。由于实践课中学生的认知状态还处于：能在问题的驱动下想到某一种解决问题的具体办法，但有意识的运用“化新为旧”的思考策略来解决问题的意识是不强的（也就是新情境问题解决的策略性知识掌握和运用能力不强）这样一种水平状况。因此，直接从学生生活经验、知识经验和认知能力水平出发，创设一系列学生感兴趣和真实的问题情境，让学生从自身经验出发去解决问题，再通过交流协商，形成共识，逐步建构新算法。

3、第三次实践

师：在国庆节期间，你们爸爸妈妈一定给了不少零用钱对吗，你用它买过东西吗？

生：买过??

师：小明和他的弟弟在国庆期间也带了自己的零用钱去超市买东西，小明有10.8元，他去超市选购了9本练习本，你能知道每本练习本多少钱吗？

（学生独立进行计算后板演并交流。） 板演： 交流：

生1：我是把10.5和0.7都化成整数，都扩大10倍，因为商不变的性质里面说被除数和除数同时乘以或除以同样的数，结果不变。所以，10.5÷0.7与105÷7结果就相等，然后再除，结果是15。

（此时学生们普遍点头表示赞同这位学生的想法。） 生2：我与××（生1）想法是一样的，只是写法不同。 生3：我是把10.5和0.7同时乘以10，它的商不变，然后再列竖式计算，结果是15。

生4：我开始和前面的同学想法是一样的，后来想到书上计算法则说商的小数点要和被除数的小数点对齐，所以就在商上点上了小数点。

师：他这样想有道理吗？

生3：我认为不对，10.5÷7才等于1.5，现在10.5÷0.7先变成105÷7，小数点位置改变了，商的小数点就不能再与原来的小数点位置对齐，应与改变后被除数的小数点对齐。

（听了生3的解释，生4点头表示赞同。）

生5：我跟××（生3）的方法相同，也是将它们同时乘以10，不过我是用图示把它表示了出来。

师：你能上来向大家介绍，你是怎样用图示表示转化过程的？ 生5：我先把0.7的小数点向右移一位，（该生把0.7的0划去，并用“”表示小数点移动了一位。）再把10.5的小数点也向右移一位，这样变成105÷7，算出商是15。

生6：我原来的想法是和乘法一样，先不看它们的小数点，相除，再看一共有几位小数，再点上小数点。

师：你也是想利用我们以前学过的知识来解决这个问题，对吗？哪为什么结果不对，问题出在哪儿？

生6：我想错了，因为在除法中，被除数和除数都扩大10倍，商是不变的。

（此时，同学们各抒己见，有条理的表达自己的想法，同时在倾听交流中完善自己的想法。）

师：听了刚才几位同学的介绍，有没有发现他们在解决问题时思考方法上有什么共同的地方？

生1：把两个数都扩大成整数。 师：为什么要扩大成整数？

生1：因为整数除法我们已经学过了。 生2：我觉得他们都利用了商不变性质。

师：都利用了商不变的性质，都想办法把这个新问题转化成我们已经学过的知识去解决，是不是这样。那么，请你们象生5那样把下面两题转化成能用我们学过的除法计算方法来解决。

出示

此时对于第2题学生出现两种转化方法：

（当同学们通过计算，认可两种转化方法都正确后，教师再让学生选择一种较简便的转化方法计算，结果选择第2种方法的速度比选择第一种方法的速度要慢许多，此时学生才从实例中体验到，只要将除数是小数的除法转化成除数是整数的小数除法，即可解决问题。）

??

反思：通过情境创设--独立思考--交流协商--形成共识这么一种活动模式，使学生在课堂有限的时间内，不仅建构了正确算法，同时，

也有更多的机会学习有条理的思考，学会清晰简明的表达思考过程，学习有意识的用数学思想方法分析问题和解决问题的策略。因此，本次实践中，学生的认知性目标、过程性目标和情感性目标达成度相对较高。通过对“除数是小数的除法”教学内容的3次实践与反思，我体会颇多：（1）对于课前引导性材料运用，有时不能简单的用好与坏来认定。例如，初次实践中，复习引入的引导性材料，它的优势是能帮助学生激活旧知，引发思路。如果你所面对的学生认知能力发展水平较弱，那么，就需要教师给予搭建知识建构的脚手架--激活旧知，引发思路。如果学生的认知能力水平较强，已具备一定的面对新的情境问题，能自主调用认知结构中已具备的知识和策略解决问题的能力，那么，第三次实践的引导性材料更具有适切性。而第二次实践的引导性材料开放度较大，一般来说，它适应于已具备一定逻辑推理能力和数学转化思想方法，且具有一定的用数学思想方法解决问题的多次经验的学生。因此，教师在提供引导性学习材料时，深入了解学生的知识基础和认知能力水平是必不可少的重要环节。（2）为了约简学生自主建构的思维表达形式，使得新形式更适应新的学习内容表达的需要，教师必须引导学生在协商中逐步建构。例如，第三次实践中，由于学生知识经验、生活经验都存在个体差异，观察思考问题的角度也会不同，所以，产生了多种不同的问题解决方法和不同的表达形式。此时，教师首先是充分尊重学生的个性特征，允许学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，教师给予学生独立思考和解决问题的时间和空间，但并不简单的追求算法多样化，而是在多

样化的基础上，引导学生表达自己的想法，倾听别人的想法，感悟“化新为旧”的数学思想方法（化归思想渗透），在交流协商中优化问题解决策略，从而板助学生逐步建构新算法。（3）学生理解并接受新的形式，并不表示能正确运用其解决问题。因此，必须通过一定量的针对练习已达到对新形式的巩固和优化，并将其纳入认知结构中。

启示与思考：

通过对小学数学“除法运算”教学课例分析与研究，我们逐步认识到：

关于“除法运算”的算法探究活动，实质是一种学生积极有效的学习活动。因为，通过算法探究能改变学生对数学的态度，让学生把学习数学看成是一个过程，而不是简单的记忆程序和按程序操作。算法探究活动能为学生提供思维的空间，鼓励学生沿着更合理的途径解决问题，获得对数学的认识，让学生体验到他们能够主动的从事问题解决，学生会因为自己发现的算法而感到高兴。

关于“除法运算”的算法教学活动的一个重要的认知目标就是促进学生认知结构中相关数学知识图式发生变化，既由训练前的思维过程间接连接（见图1）转变为训练后的思维过程直接连接（见图2）。例如：通过单项训练让除数是小数的小数除法与小数除法的竖式表达方式直接连接，使新图式产生并加以巩固。学生以后看到除数是小数的小数除法，就会运用已有图式进行相关问题的解决。问题是这种

“直接连接”若是以机械记忆方式下产生，那么，这种连接是不牢固的；若是通过学生自主探究体验归纳得出，那么，这种连接是一种网状思维结构下的简约化连接（见图2），即使方法遗忘，这种网状思维结构还可促其恢复。

除数是小数的小数除法间接连接图式 除数是小数的小数除法直接连接图式

其实，现代数学教学改革特别强调算法过程的学习和理解，其实质就是让学生经历积极有效的“算法探究学习活动”，通过教师有效学习活动的创设，实践环节的开发和学习渠道的拓宽，来丰富学生的经历和经验，改变学生学习方式，实现知识传承、能力发展、态度与价值观形成的统一。

通过对“除法运算”的算法教学的行动研究，我们解决了一些问题，但同时发现更多需要研究的问题，例如：学生背景与教学结构的变化关系、教学支架与教学铺垫的关系、时间的分配与把握、列举实例与学生体验的距离、课堂氛围的营造与节奏的控制、学生情绪与思维活动的引导??，这些问题有的是个性化的，有的是普遍存在的；有的是可以即时解决的，有的是需要深入研究的；有的是超越自身能力解决限度的，有的是适于自身研究探索的。如果把那些具有普遍性和适切性的问题拿来研究，确立研究课题、组织研究人员、提出研究

任务、开展实践论证、寻求解决问题途径并实施推广，这无疑对教师教学起到直接指导和推动作用。

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