2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
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2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
2
2.(5分)(2015 山东)若复数z满足
=i,其中i为虚数单位,则z=( ) 3.(5分)(2015 山东)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象
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4.(5分)(2015 山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=( )
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6.(5分)(2015 山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则
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7.(5分)(2015 山东)在梯形ABCD中,∠ABC=
,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将
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8.(5分)(2015 山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,3),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ
2
9.(5分)(2015 山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)+(y
2
2
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,则满足f(f(a))=2
f(a)
10.(5分)(2015 山东)设函数f(x)=的a
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.(5分)(2015 山东)观察下列各式:
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CCCC…
=4; +C+C+C
=4; +C+C
=4; +C
=4;
3
2
1
照此规律,当n∈N时, C*
+C+C+…+C=n﹣1
.
12.(5分)(2015 山东)若“ x∈[0,
],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.
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13.(5分)(2015 山东)执行如图程序框图,输出的T的值为
.
14.(5分)(2015 山东)已知函数f(x)=a+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= ﹣ .
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15.(5分)(2015 山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:
2
﹣=1(a>0,b>0)
的渐近线与抛物线C2:x=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为
.
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16.(12分)(2015 山东)设f(x)=sinxcosx﹣cos(x+(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
2
).
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC
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17.(12分)(2015 山东)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
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18.(12分)(2015 山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn
},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn. n
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19.(12分)(2015 山东)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分. (Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
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20.(13分)(2015 山东)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的
离心率为
,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1
为半径的圆相交,且交点在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设椭圆E:
+
=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E
于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q. (i)求|
|的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
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点:考直线与锥曲线圆综合问题的;椭圆的标准方程曲;与方程线.菁优网权版有所专题 分 析::新创题型直线与;圆;圆锥曲线的义定性质、方程与 (.Ⅰ)用椭运的圆心率离式和公 ,ab,c 的关系计算即可,得到 ,b而得到进圆椭 C 方的程 ;(Ⅱ求得)椭 圆 的E程方, i)设 P(x(0y,0 ),| |λ,求= 得 Q的标坐分别,入椭圆代C, E
的程方化,整理简即可,得所求值到 ;i(i) 设(A1,yx1), (B2,x2y), 将直线y= k+m x代入椭圆E 方的,运程韦用达定,三 角形理的积公式,将直面 y=线k+xm代 椭入 圆C的方 ,程判别式由大于 ,0得可 t的围,范结合二次 函数最的,又△值A BQ的面积 为S,即可得到所3的最求值大. 解答 :解 :( )由Ⅰ题意知可2a,4=可, a得=2 ,又= , ﹣a cb= ,y+ =1;2 2 22
可得b= 1,即椭圆有 C方程的为(Ⅱ)(由)Ⅰ知椭 圆E的方程为 (i设 P(x)0,y) ,|0
+
=1,|=λ由题,可意知,Q(﹣λx0﹣,λ0y), 由
+于y 0=1,2
又 所 以λ2,=|
即+ |=2;1=,
即(+y 0=1,)
2(i)设 A(xi1,1y) B(x2,,y2),将 线 y直=xkm +入椭代 E圆的 方,可程得 2 222 2 ( 14k+ x )+km8x+m4﹣1 =0,6△ >由,0得可 <m41+6 ,k① 则 有1+x2x=﹣ ,1xx=2 ,以所x|﹣x12| =
,直线 由y=xk+ m与 y轴 于交0(m, ) ,△则AO B 的面为积S |m= |x|1﹣2|x= |m| =
2,
=t,设则 =S22 22
,
直将 y=线xk+m代入椭圆 C方程,的得(1+4k可) x+8k mx4m ﹣4=+0,
由△ ≥
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2
21.(14分)(2015 山东)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x﹣x),其中a∈R, (Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
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无极值. ②当 a ∵点1+x2x ∴=时 ,△ >,设方0程2 xa+a ﹣ax1=0+ 的两实个根分数别 x为,x1,2x1x<2., , ..
由2 g(﹣1)0,可>﹣1得x1
<∴ 当∈x(﹣,1x1时,g)x(>)0,′f()x>0函,数 (x)单调f递; 当 增∈x(1,xx)2时g(x,)<0f,(′x<0,函数)f( x单调)递;减 当x ∈(x,+2∞时,)gx()0,>f′x)(>0,函 f(数)单调x递增. 因此数函f(x 有两个)值点极.(3 )当 <a 0时, >0.由△ (g1﹣=1>)0可,得 x<﹣1<x1.2 当 ∴x(∈1,x2)﹣,时(x)g>0f′(x,>)0函, 数fx)单调递增; ( x∈(当x2+,)∞时g(,)<0xf,′()x<,函数0 (x)f单调递减. 因函数此f( x有一)个值极点.综 上所述当:a< 0 时,数 函(f)x有一个值极点 当 0≤a 当a;时, 函 f(数x无)极点值;0 时函数 ,fx)有(个极值两点.
(II由())可知:I( 1) 当≤0 a时,函 数(f)x在0(,+∞上单调)增递.∵f0()0=,∴x ∈(0+,∞),f(时x>)0,符合意. (2)题当 a<1 ≤,时由 g0)≥(0,可得x2 ≤0,数 f(函x在(),+∞)上0调单增.递 又f0(=)0 ,∴∈x0(,∞)时+f(,x>),符合题意. 0()当 3<1a时,由 (0)g<,0得 可x>2,0∴x∈ 0(,2x)时函数,f(x 单调递减). f又0(=0),∴x (0,∈2x),f(x时<),0符合题不,舍去;意( 4) a当0 时,设 h(<x)=﹣lxnx(1+) ,x∈(,0+) ∞,h(′)=x h(∴)x(0在,+)∞单调
上递增 因. 此∈(x0,+∞时),(h)>h(0)=0x, ln即x(+1<)x , 2 可2:f(x得<)xa+x (﹣x=ax)+ 1(a﹣)x, x当>
>20.时
,点a x+1﹣(a)<x,0此时 f(x<),不0合题,意去舍. 本题考查了数导的运算法则利用导、研数函数究的调单极性,值查了分考析题问解与决问
题评:
的能力
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,考了查分讨论类思方法、推想能理力与计算力能,属难于题.
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2015年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
2
( )
2.(5分)(2015 山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )
3.(5分)(2015 山东)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象
4.(5分)(2015 山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=( )
6.(5分)(2015 山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则
7.(5分)(2015 山东)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将
)
8.(5分)(2015 山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,3),
从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
2
2
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2
9.(5分)(2015 山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)+(y
2
10.(5分)(2015 山东)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2
f(a)
的a
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.(5分)(2015 山东)观察下列各式: CCCC…
照此规律,当n∈N时, C
12.(5分)(2015 山东)若“ x∈[0,
],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值
+C
+C
+…+C
= .
*
=4; +C+C+C
=4; +C+C
=4; +C
=4;
3
2
1
为 . 13.(5分)(2015 山东)执行如图程序框图,输出的T的值为
2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
14.(5分)(2015 山东)已知函数f(x)=a+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= .
15.(5分)(2015 山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:
2
x
﹣=1(a>0,b>0)
的渐近线与抛物线C2:x=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
三、解答题
16.(12分)(2015 山东)设f(x)=sinxcosx﹣cos(x+(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 17.(12分)(2015 山东)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
2
).
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