201001试卷答案B

东 南 大 学 考 试 卷（A卷）

课程名称 数学模型与数学实验 适用专业 数学各专业

考试学期 04-05-3

考试形式

开卷

得分

考试时间长度 120分钟

学号 姓名 一. (20`)在计时工资制体系下,雇主的付薪方式是按计时工资率（元/小时）付薪

（w?kt）。如果雇员的满意度曲线为w.(t?c)?3?1/2（c为参数） （1） 如果协议为每天工作6小时，给出雇员的满意度曲线。

（2） 求雇员与雇主的协议曲线。

解 （1）协议时间为t?6，对应雇员的满意度曲线上点（t,(t?c)3/2）,过此点的切线方程为 W?(t?c)3/2?3(t?c)2(T?t)/2， 4` 它应与雇主的付薪曲线W?kT?32?t?c?T一致。 2由此得到c?2t。 4` 因为t?6,c?12，

所以 w?(t?12)3/2 4`

（2）所求的切点为（t,27t3/2）， 4` 协议曲线为 w?27t/2。 4`

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3

二. (20`) 在层次分析法建模中，我们用到了一致矩阵的概念，即如果矩阵A?aij是成对比较矩阵，且aik?aij.ajk，?i,j,k证明

（1）A的转置也是一致矩阵。

（2）A的秩为1，且A的非零特征值位n； 证明

（1）只需验证一致矩阵的几个条件成立即可。 令 A?(bij)

bij?aji?0,bji?1/bij 1` bik?bijbjk 4` （2）只需证明对应行的元素呈比例

T??n?n。

aij?aikakj?ailalj,aikaljajk??ailakjaji 3`

上式表明i,j列元素呈比例，令i?1得所有列均与第一列呈比例，所以A的秩为1。 2`

令A?[aij]?[a1,a2,a3,?,an][b1,b2,?,bn] 3` 由 aii?1，得 bi?1/ai 3` A[a1,a2,?,an]?n[a1,a2,?,an] 2` 得非零特征值为 n. 2`

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TTT

三. (20`)如果雨滴的下落速度v仅与雨滴的半径r、重力加速度g和粘性系数?（压强

P???v?x）有关，利用量纲分析法給出速度v与其它变量的关系。 解 [v]?LT?1,[r]?L,[g]?LT?2,[?]?L?1MT?1,[?]?ML?3 构造量纲分析矩阵，在解相应的齐次方程组得

?1 ?11?1?3??00011???L?M? ?10?2?10?????????T??基础解系 ?1?[1,?1/2,?1/2,0,0],?2?[0,3/2,1/2,?1,1] f(v1/2,r3/2g?3/22rg?)?0，即 v?rgF(rg1/??)

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5` 5`

5`

5`

四.(20`)讨论鲸鱼种群t时的总量P(t)模型

dP?k(M?P)(P?m),(k?0,M?0,m?0),P(0)?P0 dt（1） 如果m?P0?M，解上述方程； （2） 求tlim???P(t)。

解 （1） x?P?m

dx dt?kx(M?m?x),x0?P0?m 利用变量可分离法，得 P(t)?m?(M?m)[1?P(0)?MP(0)?me?(M?m)t]?1 （2）tlim???P(t)?M

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6`

8`

6`

五.(20)已知数据

x 10 20 30 40 50 60 70 y 92 100 118 146 184 232 290 （1） 利用以上数据求其1阶拟合多项式；

（2） 用差分法确定最合适的拟合多项式的阶数，据此求x?100时的y值。 解 （1）y?3.3x?34 6` （2）y 92 100 118 146 184 232 290

?y 8 18 28 38 48 58

?2y 10 10 10 10 10 4` ?3y 0 0 0 0

最适合的多项式为2阶 ， 3` y?0.05x?0.7x?94。 4`

当x?100时，y?524。 3`

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