浅谈矢量法在中学数学中的新应用

浅谈矢量法在中学数学中的新应用

既有大小又有方向的量叫做矢量。利用矢量的有关性质去解题的方法叫做矢量法。它在中学数学中有什么应用？

一、利用矢量共线性质去求某点的坐标。 例：已知 ABC的顶点坐标依次为

A（1，0），B（6，4），C（8，-4）， 在边AC上

存在一点P，过点P作PQ||BC与AB交于点Q，若PQ恰好将 ABC的面积平分，求点P的坐标。

分析：本题涉及相似比和面积比的关系，其基本常规思路是：判断相似，由面积比导出相似比，再由长度比过渡到数量之比，进而讨论出定比，最后利用分点坐标公式x x1 x2，y y1 y2去求解。但是，

1

1

在使用定比分点坐标公式时，可能会让一些学生因为弄不清x1，x2的值而出错。怎么办呢？我们不妨巧取定比，利用矢量共线性质去求，从而避免易错点的产生。详见如下： 解： PQ||BC， APQ∽ ABC 又

S APQS ABC

1

， |AP|

|AC| AP|

2|AC|

设P点的坐标为（x，y）

A、P、C

三点共线，即AP、AC共线

AC ，即（7，-4）

=（x-1，y）由矢量相等性质，解得

x=2

，

y= 。 2

点

P

的坐标是（

2

， ）。 2

二、利用矢量的模的性质去求函数的最值。 例：已知a、b、c

是正数，求函数y 值。

解：构造向量AB {x c,a}，BC {c x,b}，则 AC AB B C{ x,}c a{

|AB|

c,}x b{2, ca

b

，|BC|

|AC| |AB| |BC ||A BB C|| AC

2

)b

即y

本题关键在于巧妙地构造向量，然后运用向量的代数和几何的有关性质去求解。

三、利用矢量的数性积求解空间角。

b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a和b的数性两个矢量a、

积，即a b |a| |b| cos (a,b)。它是解决空间角问题的钥匙，是证明两直

线垂直与直线和平面垂直的常用工具。

例：如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1的中点，AB=AA1=2。

A1C1

（1） 证明：BE AB1

（2） 求二面角B AB1 D的大小。 分析：倘若我们利用三垂线定理 等有关几何性质去证明和求解，在思考 时往往会比较抽象。但是，我们借用矢

B

D

E

C

量的数性积这一工具去求解，就会简单和具体。详见如下：

解：（1）以A为原点，以过A点且平行于CB的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，由AB= AA1=BC=2得A（0，0，0），B（1

BE { 2,0,1}，AB {2}

0），C（-1，

0），D（00），E（-1，，1），B1（1，，2）。

又 BE AB1 ( 2) 1 01 2 0

BE （2）

A1 B

由（1）知AD {00}

BE AD ( 2) 0 01 0 0

BE AD

又 BE AB1且AB1 AD A

BE 平面AB1D，则BE是平面AB1D的一个法向量

设平面AB1B的一个法向量n {x,y,z}

AB {1，0}，BB1={0，0，2}，

由n AB 0，n BB1 0得

{

x 02z 0

，令y=1

n得 {

BE n cos BE,n

5|BE| |n|

所求的二面角的大小为arccos

. 5

四、利用矢量的混合积求解空间几何体的体积。

给定空间的三个矢量a、b、c，如果先做前两个矢量a与b的矢性

积，再做所得的矢量与第三个矢量c的数性积，最后得到的这个数叫做

三矢量a、b、c的混合积，记做(a b) c或（a，b，c）或（abc）。

定理：三个不共面矢量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c

为棱的平行六面体的体积V。

例：已知四面体ABCD的顶点坐标A（0，0，0），B（6，0，6），C（4，3，0），D（2，-1，3），求它的体积。

分析：倘若我们按照常规方法直接求出这个四面体的底面积和高，其运算过程比较繁杂。但是，我们能利用矢量的混合积定理去求解，就会收到化繁为简的效果。详见如下：

解：由初等几何知道，四面体ABCD的体积V等于以AB、AC、AD

1

为棱的平行六面体的六分之一，即V=|(AB,AC,AD)|

6

又 AB={6，0，6}，AC={4，3，0}，AD={2，-1，3} 6

(AB,AC,AD) |4

03

60|=-6

2 13

从而

1

V=|(AB,AC,AD)|=1 6

即四面体ABCD的体积为1.

由此可见，矢量在中学数学中有着广泛的应用，为中学生顺利解题带来许多方便。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nae1.html