经济数学典型案例2

1．设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为

R=QP=Q(10-Q5)=10Q-Q25

则

R|Q=20=10?20R|Q=30=10?3020530522=120

=120平均收益函数为

R=RQ=10-Q5,

则R(20)=6,R(30)=4. 边际收益函数为

R￠=10-25Q,

则Rⅱ(20)=2,R(30)=-2. (2) 边际总收益函数为

R￠=10-25Q

令R￠=0得驻点Q = 25.

=-又因为Rⅱ25<0，且驻点唯一，所以当Q=2时，总收益最大为125.

-2P2.设某商品的需求量Q对价格P的函数为Q=50000e（1）求需求弹性;

.

（2）当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式

eP=PQQ￠(P)=P50000e-2P(-2)?50000e-2P-2P

（2）由上式得eP|P=10=-20

根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减

少20%.

3.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价格降低10%, 问这种商品的销售量预期会增加多少?总收入会增加多少?

解 因为

?DQQ换epDPDR,PR(1-ep)DPP

于是, 当|

p|=1.3时, DQQDRR淮1.3(-0.1)=-13%

?(11.3)?(0.1)=-3%

当|

?p|=2.1时,

DQQDRR淮2.1(-0.1)=-21%

?(12.1?)(0=.1-) 11%故明年降价10%时, 企业销售量预期将增加约13%—21%; 总收益预期将增加3%—11%.

4．某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量x（公斤）的函数 C(x) = 1600 + 4.5x+0.01x2

问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？

解 由题设知平均成本为

C(x)=C(x)x=1600x+4.5+0.01x

令C￠(x)=-(400)=又Cⅱ1600x2+0.01=0得驻点，x=400

3200x3|x=400>0且驻点唯一，极小值点为最小值点，所以每天生产400公

斤能使平均成本达到最小.

5．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为

C(x)=1000+60x-0.3x+0.001x (元) 销售该产品的需求函数为 x=800-格为多少?

解 设利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) 收入函数为 R(x)=xp=x2400-3x20=x(120-0.15x)

20323p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价

故 L(x)=x(120-0.15x)-1000-60x+0.3x2-0.001x3

令L'(x)=-0.003x2+0.3x+60=0得驻点x=200. 又L\(200)=-0.006?2000.3<0，且驻点唯一, 所以当销售量为200吨时，可获

得最大利润，此时价格为90元/吨.

6.某银行准备新开设某种定期存款业务, 假设存款额与利率成正比. 若已知贷款收益率为r, 问存款利率定为多少时, 贷款投资的纯收益最高?

解 设存款利率为x,存款总额为M, 由于M与x成正比, 则

M=Kx(k是正常数)

若贷款总额为M, 则收益为 rM=Krx 而这笔款要付的利息为 xM=Kx

2因此，贷款投资的纯收益为 f(x)=Krx-Kx2 令f'(x)=Kr-2kx=0得驻点x=rr2.

r2又因为f\)=-2k<0(K>0)且驻点唯一, 故x=2也是最大值点.

所以当存款利率为贷款收益率r的一半时，投资纯收益最高.

7.某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元, 而每年库存费为c元，在该商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费之和最少？

解 设批数为x时, 总费用为y, 则

y=bx+ac2x2a2xc,x (0,a]

由y'=b-acx3=0,得驻点x=ac2bac2b

又y\=少.

>0,所以当商店分批购进此中商品时,方能使手续费及库存费之和最

8. 已知某企业某商品的需求函数为Q(p) = 75 - p2. (1) 求p = 4时的边际需求，并说明其经济意义; (2) 求p = 4时的需求价格弹性，并说明其经济意义;

(3) 若该商品的需求价格弹性为1.5，且价格降低8%，问这种商品的销售预期会变化

百分之几?总收益将变化百分之几?

(4) p为多少时，总收益最大?

解 （1）边际需求函数为

Q'(p)=-2p,则Q'(4)=-8

其经济意义为当价格为4时，价格p提高一个单位的价格，需求Q将减少8个单位.当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减少20%.

（2）需求弹性

ep=pQ(p)Q'(p)=p75-p2(-2p)=-2p2275-p

所以ep(4)?0.542.

00 其经济意义为：当价格为4时，价格p再增加1

(3) 由弹性公式有

DQQ换epDPDR,PR，商品需求量Q将减少0.542%.

(1-ep)DPP

将

DPP=-8%,ep=-1.5代入上式，分别得

DQQDRR?(8%)?(1.5)=12%

?(11.5)?(8%)=4%即弹性为1.5时, 当价格降低8%, 销售预期会增加12%, 总收益将增加4%.

(4)总收益函数为

R(p)=pQ=p(75-p)

2令R'(p)=75-3p=0得驻点p=5.

又R\=-30<0且驻点唯一, 所以p=5也为最大值点. 故当价格为5个单位时, 总收益最大, 最大值为250.

*9.设生长在某块土地上的木材价值L是时间t的函数L=2t2且以t年为单位，y以千

元为单位; 假设在树木成长期间的养护费不计. 又资金的年贴现率 r = 0.05，按连续复利计算，何时伐木销售，可使收益的现值最大?其中现值又为多少?

解 由已知条件知, 销售收入的现在值是

R=Le-rt=2et-rt

令R'(t)=2e又因为

t-rt(ln22t-r)=0,得t=ln24r22

R\t)=2eln24r22t-rt[(ln22t2-r)-2ln22tt]，

故R\)<0,且驻点唯一,所以t=ln24r2也为函数的最大值点.

即当t=ln24r22时,可以使收益的现值最大.

故当r = 0.05时, t = 48收益的现值为

R=248e-0.05 48 110.59(千克).

设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.

解 依题意，第一期到期后的利息为

本金×利率=p′rn

rnrn第一期到期的本利和是

本金＋利息=p+p?p(1+)

若按总利计算，第二期到期的本利和为

p(1+rnn)+p(1+rn)?rnp(1+rn)2

第n期到期后的本利和为p(1+rn)

存期若为t年（事实上有t n期），到期后的本利和为

p(1+rn) （*）

tn由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,

（1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得

1000?(10.0640.0612)2′4=1000椿1.01581126.49

（2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得

1000?(1)2′12=1000椿1.015241127.16

（3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得

1000?(10.06365)2′365=1000椿1.0157301127.49

（4） 连续取息就是在（*）式中令n???，得

lim1000?(1ギ0.06nn?)2′n轾=1000?lim犏(1n+ 犏臌=1000e0.120.06nn0.12)0.06

1127.50结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大. 10.(最优批量问题）某工厂生产某中产品，年产量为a吨，分若干批 进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均投放市场，且上一批卖完后

立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半. 设每年每吨库存费为c元， 显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数多，准备费增加.为了 选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.

解 设批量为x.库存费与生产准备费之和为y(x) 因为年产量为a，每年就应生产

x2axx2批，所以生产准备费为

axb.

又因平均库量为

ax,库存费就为

x2c.

故 y(x)=b+ac(是整数 ) x11. 某商业机械厂根据市场需要，生产电梯踏板，固定成本为20000元，

每生产100个单位产品，成本增加50 元，销售收入900元，每年最多生产100000个单位产品. 如果年产量为x个单位产品，试把一年的总利润L表示为x的函数.

解

L(x)=900100x-20000-50100x100000)

=8.5x-20000(0＃x某产品的产量为x吨，固定成本为b（b>0）元，每生产一个单位产 品总成本增加a（a>0）元，试将总成本C及平均成本C表示为x的函数.

解 总成本函数 C = b + ax 平均成本函数 C=Cx=a+bx(x>0)

4．某厂生产的150克袋装方便面，每袋出厂价为0.3元，销量总在一 万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。据统计，

每袋降低3分钱，市场需求量增加约0.3万袋，试求价格为p时的需求量Qd，并求出当p = 0.21时的需求量.

解 设线性需求函数为 Qd=a-bp(a>0,b>0且为常数)，

ìa-0.3b=1??由题意得方程组 í

?a-0.27b=1.3??得 a = 4, b = 10. 故所求线性需求函数为

Qd=4-10p

于是当p = 0.21时, Qd = 1.9，即当价格为0.21时，需求量为1.9万袋.

5. 已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p*.

(1) Qd=1003-23p,Qs=-20+10p，

（2）p2+2Qd2=114,p=Qs+3

解 设市场均衡价格P*，则由等式Qd(p) = QS(p), 得

（1）

即 P*=5.

（2）将Qs = p -3 , 代入p2+2Qd2=114解得 P*= 8.

6．设销售商品的总收入R是销售量x的二次函数.已知x = 0，2，4时，相应的R = 0，6，8. 试确定R与x的函数关系.

解 由题意设总收入R与x的函数关系为

2 R=ax+bx+ c1003-23p=-20+10p

将x=0. R=0；x=2, R=6；x=4, R=8分别代入关系式中，得

ìc=0????6=4a+2b+c í??8=16a+4b+c???即 a=-12,b=4,c=0故所求总收益函数为

12R=-x+4x.

2７．某产品年产量为x台，每台售价180元，当年产量在300台以内

时，可以全部售出；当年产量超过300台时.经广告宣传后可以多售出200台,每台平均广告费20元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将本年的销售收入R 表示为年产量x的函数.

解 由题意知

当x≤300时，收入R = 180x (元)

当300,500???. 500８．某种玩具定价５元／件，每月可售出1000件, 若每件售价降低0.01元,则可多售出10件.试将总收入表示为多售出件数的函数.

解 设总收入为R，多售出件数为x件，则每件应降低

0.01100.0110x元，

于是总收入R=(5-x)(1000+x)=5000+4x-0.001x

2所以将总收入R表示为多售出件数x的函数关系为 . R = 5000 + 4x -0.001x2（元）

9. 某种彩色电视机每台售价为1500元, 每月可销售2000台,每台售价 降50元时,每月可增销100台,试求该电视机的需求函数.

解 电视机的需求量为Qd，价格为p 则需求函数为 Qd?a?b p (a?0,b?且为常数)

将p = 1500, Qd = 2000; p = 1450, Qd = 2100分别代入需求函数中, 得

ì2000=a-1500b?? í???2100=a-1450b即 a = 5000, b = 2.

所以该电视的需求函数为Qd=5000-2p(p<1500).

.一公司某产品的边际成本为3x+20, 它的边际收益为44-5x, 当生产与销售80单位产品

时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?

解 （1）因为产量最佳水平满足的条件是 边际成本 = 边际收益

所以由 3x+20=40-5x，解得x=3. （2）成本函数为

C(x)=ò(3x+20)dx=32x+20x+c

2将已知条件x=80,C(80)=11400代入上式，解得C=200. 即成本函数为

收益函数为

C(x)?32x?20x?2002.

52x+c

2R(x)=ò(44-5x)dx=44x- 将已知条件x=0,R(0)=0代入上式，解得C=0. 即收益函数为

R(x)=44x-522x.

故利润函数为

L(x)=R(x)-C(x)=24x-4x-200.

2（3）由（1）知道最佳产量水平是x?3代入利润函数得

L(3)?24?3?4?3?200??1642故在最佳水平时亏损164元.

23．商场的皮鞋柜销售某种品牌女鞋，从厂方每次进货需付订货费F＝400(元)，每双

鞋的进价（包括运费）为c?94(元)，而每双鞋在商场的期间的各种化费总数（统称之贮存费）为每月18元，假定这种女鞋在商场的销售速度均匀，为m＝144(双/月)．试问：为了降低成本，皮鞋柜承包商应间隔多少时间向厂方进一次货？每次又应进多少双鞋？如果这种女鞋的进货是以18双一箱为单位进行的那么问题的答案又如何？

解 设每次进货应进鞋x(双)，那么由于销售速度均匀，可知订货周期应为Q＝x/m (月)；每双鞋的平均贮存时间为Q，记k＝18(元/月双)，这样每批鞋的成本为

21 F?cx?， kxQ?F?cx?22m从而承包商的每月成本为 C(x)?F?cx?kx/(2m)21kx2x/mFmk C?(x)??2?

2x在x>0的唯一驻点：

=

Fmx?cm?kx2

x?2Fmk18 Q＝80/144 =5/9? 0.55

=

2?400?144= 80

但当进货以箱为单位时，则应考察x＝72和90时对应的月成本： C(72) =14984， C(90) =14986 可知应每次进鞋72双，进货周期72/144 = 0.5(月)

命题说明 该题为应用型题，是一个离散形式经济问题的连续数学模型．题目适用于闭卷考试．题中涉及数学模型(函数形式)的建立、导数应用和函数极值等知识点，模型建立略有难度，由于问题的实际意义，所求解的答案并不对应于函数的极值点．

25．某仪器厂一年需要另一企业生产的某种配件50000件，平时对这种配件的使用数量是稳定的．该配件每次订货费为4000元，单价为每件10元，而当一次订货量达到8000件时，单价可以优惠至每件9.5元，配件的库存费为每件16元/年，试求电器厂每次订该配件多少才最经济？

解 设每次订m(?8000)件，则需订货50000/m次，而每个配件在仓库的平均储存时间为0.5m/50000 年，于是所需成本为

C(m)=50000?10?4000?50000/m?50000(16?0.5m/50000)， C?(m)=?4000?50000/m?8，

在m?0时唯一驻点为m?5000，此时成本为C(m)=58(万元) ． 考虑一次订8000件，则订货次数至少[]＋1?7．若6次订8000件，成本为 8000 C＝48000?9.8+2000?10+4000?7+48000(16?0.5?8000/50000) ?2000(16?0.5?2000/50000)＝58.05(万元)，

500002若订8000件次数为n，余下零件分7－n次订，那么n＝5，

C＝40000?9.8+10000?10+4000?7+40000(16?0.5?8000/50000) ?10000(16?0.5?5000/5000)0=57.92(万元) 易得

n 4 3 2 1 C 57.984 58.096 58.2272 58.368 可知应5次各订货8000件，2次各订货5000件才最经济．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nhb.html