2019北京中考专题复习--几何综合

你的态度决定你的能力 知识框架

几何综合 几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。

涉及初中数学九大几何模型：

1、中点类辅助线

2、角平分线、垂直平分线类辅助线 3、相似模型

4、旋转之手拉手模型 5、旋转之对角互补模型 6、旋转之半角模型

7、旋转之构造等边三角形 8、旋转之费马点模型 9、最短距离问题

解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。 知识梳理

中点类辅助线

见中点---倍长中线：

凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 在△ABC中, AD是BC边中线。

方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE

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你的态度决定你的能力

例：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

方式2：间接倍长

1) （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

方式3：平行线间线段有中点

如图：AD∥BE，F为DE中点。可构造8字全等 △ADF≌△HEF。

例：如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。试探究AF与CF之间的位置关系。

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例：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB。

求证：∠EMD=3∠MEA。

见多个中点----构造中位线：

已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；

已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线； 已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.

例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

见等腰三角形底边中点----连接顶点与中点，构造三线合一

直角三角形斜边中线：直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线

如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形。

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角平分线、垂直平分线类辅助线 角平分线：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。

① 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。 ② 以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。 ③ 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”

④ 过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰 ”

例：如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.

垂直平分线：

a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

例：如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H （1）依题意补全图形 （2）求证：∠BAD=∠BFG

（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明

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相似模型

平行A字型、8字型：

斜交A字型、8字型：

共享型（母子型）：

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