2019届中考数学总复习：几何综合问题

2019届中考数学总复习：几何综合问题

【中考展望】

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.

以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨】

一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识；

2、等腰三角形，等腰梯形的性质； 3、直角三角形的性质与三角函数； 4、平行四边形的性质；

5、全等三角形，相似三角形的性质；

6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算； 7、弧长公式与扇形面积公式.

二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：

1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；

2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；

3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】

类型一、动态几何型问题

1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6），那么：

⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

⑵求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

D Q A

P

C

B

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【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；

⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出； ⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】 解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t． 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，解得：t=2（s）， 所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形． （2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12， ∴S△QAC=11QA?DC=（6-t）?12=36-6t． 2211AP?BC=?2t?6=6t． 222在△APC中，AP=2t，BC=6， ∴S△APC=∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm）． 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变） （3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD中： ①当QAAP?时，△QAP∽△ABC，则有： ABBC6?t2t?，解得t=1.2（s）， 126QAAP?时，△PAQ∽△ABC，则有： BCAB6?t2t?，解得t=3（s）， 612即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC； ②当即当t=3s时，△PAQ∽△ABC； 所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.

2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒 （1）直接写出梯形ABCD的中位线长； （2）当MN∥AB时，求t的值；

（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．

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【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；

（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；

（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【答案与解析】 解：（1）∵AD=3，BC=10， ∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；

（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形． ∵MN∥AB， ∴MN∥DG， ∴BG=AD=3． ∴GC=10﹣3=7．

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t． ∵DG∥MN，

∴△MNC∽△GDC． ∴即=解得，t=

=

，

． ；

（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t． ∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°， ∴△MFC∽△DHC， ∴

=

，

即=

．

，

解得：t=

综上所述，t=时，MC=MN．

【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.

3.（2016秋?泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点

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D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；

（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．

①题（2）的结论还成立吗？请说明理由； ②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．

【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；

（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出222222

CE+CD=DE，即可得到BD+CD=DE；

（3）①运用（2）中的方法得出BD+CD=DE；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=102?62=8，

2

2

2

进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得DE=22?82=可得出AE的长． 【答案与解析】 解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE；

②∵BD=CE，AC=BC， 又∵BC=BD+CD， ∴AC=CE+CD； 222

（2）BD+CD=DE．

证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即

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即∠BAD=∠CAE， 在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°，

222

∴Rt△DCE中，CE+CD=DE，

222

∴BD+CD=DE；

（3）①（2）中的结论还成立．

理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°=∠ECD，

222

∴Rt△DCE中，CE+CD=DE，

222

∴BD+CD=DE；

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6， ∴CE=102?62=8， ∴BD=CE=8， ∴CD=8﹣6=2，

∴Rt△DCE中，DE=22?82=68， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=DE68??34． 22【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰

直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用. 举一反三：

【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．

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12（10-x）， 212122∴S=36-x-（10-x）=-x+10x-14， 22S△BEF=S=-x+10x-14=-（x-5）+11， ∴当x=5，（4＜x＜6）时，S最大值=11． （4）S最大值=11． 6.【答案与解析】 特例探究：

证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°， 在△ABD与△CAE中，

22?AB?CA???DBA??EAC， ?BD?AE?∴△ABD≌△CAE（SAS）；

归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下： ∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°， ∴∠DBA=∠EAC=120°． 在△ABD与△CAE中，

?AB?CA???DBA??EAC， ?BD?AE?∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上， ∴OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=50°， ∴∠EAC=∠DBC．

?AB?CA?在△ABD与△CAE中，??DBA??EAC，

?BD?AE?∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠BDA=∠AEC=32°，

∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°． 7.【答案与解析】

(1).设⊙O首次与BC相切于点D，则有OD⊥BC． 且OD=r=3． 在直角三角形BDO中， ∵∠OBD=60°，

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∴OB=3=2． 0sin60∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为33厘米． ①当⊙O的半径r=33厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3； ②当0＜r＜33时，⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6； ③当r＞33时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0． （3）如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的部分为正三角形．

记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r． 连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点． 则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r． 又过点A′作A′G⊥AB于G，则A′G=r． ∵∠GAA′=30°， ∴AA′=2x．

∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r， B′C′=23 3A′E=23（3-r）． ∴△A′B′C′的面积S=（3-r）． ∴所求的解析式为S=33（3-r）（0＜r＜3）． 221B′C′?A′E=33 28.【答案与解析】 解：（1）如图1，

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∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴

=

，

∴AD?BC=AP?BP；

（2）结论AD?BC=AP?BP仍然成立． 理由：如图2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP． ∵∠DPC=∠A=∠B=θ， ∴∠BPC=∠ADP， ∴△ADP∽△BPC， ∴

=

，

∴AD?BC=AP?BP； （3）如图3，

过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

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∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5﹣4=1． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知AD?BC=AP?BP， ∴5×1=t（6﹣t）， 解得：t1=1，t2=5，

∴t的值为1秒或5秒． 9.【答案与解析】

(1)如图1，作DE⊥BC于点E．

据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE. 在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13， ∴ EC=5． ∴AD=BE=BC-EC=4． (2)若BP为x，则AP=12-x. S△BPC=

BP·BC=

x. S△APD=

AP·AD=24-2x. x-24+2x=-x+54.

∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-即 y=-x+54，0≤x≤12.

当x=0时，y取得最大值为54 cm2.

(3)若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90° ∴分两种情况讨论，如图2.

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①当∠DPC=90°时

∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°， ∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP. ∴

.即

.解得x=6.

∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑. ②当∠P1DC=90°时，

在Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，

在Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，

222

∵∠P1DC=90°，CD+P1D=P1C. 即132+(12-x)2+42=x2+92.解得综上，当x=6或10.【答案与解析】

当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP= 当P与B点重合时，t=10， 当P点运动到C时，t=16， ∴分三类情况讨论

(1)当0≤t≤3时，如图：

AQ=3=t

.

，△PCD是直角三角形.

AP=t，PQ=t，

∴S=AP·PQ=t2

(2)当3＜t≤10时，示意图：

过D作DH⊥AB于H，AD=t， 则DH=ADsinA=6· ∴DQ=PH=AP-AH=t-3

=3

，AH=ADcosA=3

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∴S= =

(AP+DQ)·DH (t+t-3)·3

=3

t-

(3)当10＜t≤16时，如图：

AB+BP=t

CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t ∴CQ=

CP=8-

QP=·CQ=8-t

∴S=S□ABCD-S△CPQ =AB·h- =10·3

·CQ·PQ -·(8-)·

(8-)

=30-(64-8t+)

=

综上，.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6m1v.html