安徽省皖南八校2017届高三第一次联考(数学理)(含答案)word版

皖南八校

2017届高三第一次联考

数学试题（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间

120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

参考公式：

锥体体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ，则集合A ∩B 的元素个数（ ）

A ．0

B ．2

C ．5

D ．8

2．设i 为虚数单位，复数i i a ++1是纯虚数，则实数a 等于 （ ）

A ．-1

B ．1

C ．2

D ．2-

3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是

（ ） A ．332 B ．3

C ．2

D ．32 4．设2121,,,b b a a ，均不为0，则“

2121b b a a =”是“关于x 的不等式002211>+>+b x a b x a 与的解集相同”的

（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．若变量y x ,满足约束条件|2|,10103x y z y y x y x -=??

?

??≥≥+-≤-+则的最大值为 （ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 6．计算机是将信息转化为二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，若1011（2）表示二

进制数，将它转换成十进制数式是11212120210

1

2

3

=?+?+?+?了么二进制数

321Λ2011

111（2）转换成十进制数形式是

（ ）

A ．2

2010

-1 B ．2

2011

-1 C ．2

2012

-1

D ．2

2013

-1

7．已知0x 是函数x

x

x f ln 11

)(+-=的一个零点，若),(),,1(0201+∞∈∈x x x x ，则（ ）

A ．0)(,0)(21<

B ．0)(,0)(21>>x f x f

C ．0)(,0)(21<>x f x f

D ．0)(,0)(21>

8．已知函数)(x f 的图象如图，则|)(|x f 的图象为

（ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．①②③图都不

对

9．如图，已知三点A ，B ，E 在平面α内，点C ，D 在α外，并且α⊥AC ，

AB BD DE ⊥⊥,α。若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD 与平面α所成

的角等于

（ ）

A ．?60

B ．?45

C ．?30

D ．?16

10．在ABC ?中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且||||||||2

2DC BD AD AB ?+=，

则ABC ?一定是

（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。

11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出b 的值为 。

12．①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这

4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，…………

以此类推，三角形纸片内有2012个点，连同三角形的顶点共2015个点，其其中任意三

点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为 个（用数字作答）

13．已知角βα，的顶点在坐标原点，始边写x 轴的正半轴重合，),0(,πβα∈，角β的终

边与单位圆交点的横坐标是13

5-，角βα+的终边与单位圆交点的纵坐标是=αcos ,5

3则 。 14．设6655443322106)1()1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+-+=x a x a x a x a x a x a a x ，则=3a 。

15．平面上三条直线0,01,012=+=+=-+ky x x y x ，如果这三条直线将平面划分为六

部分，则实数k 的所有取值为 。（将你认为所有正确的序号都填上）

①0 ②2

1 ③1 ④

2 ⑤

3 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．（本小题满分12分）

一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

（1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片

的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；

（2）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为

偶数的概率；

（3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当放回记有奇数的卡

片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望。

17．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDE 中，AE⊥面ABC ，DB//AE ，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F 为CD 中点。

（1）求证：EF ⊥平面BCD ；

（2）求多面体ABCDE 的体积；

（3）求平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值。

18．（本小题满分13分） 已知sin 2()23.sin x f x x x

=+ （1）求()f x 的最大值，及当取最大值时x 的取值集合。

（2）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，对定义域内任意x ，有

()(),3,f x f A a AB AC ≤=?u u u r u u u r 若求的最大值.

19．（本小题满分13分）

已知函数21()(2,)2x f x x x R x +=≠∈+，数列{}n a 满足11(2,),(),().n n a t t t R a f a n N +=≠-∈=∈

（1）若数列{}n a 是常数列，求t 的值；

（2）当12a =时，记1(*)1n n n a b n N a +=

∈-，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式a n .

20．（本小题满分12分） 已知椭圆22221(0),x y a b a b

+=>>过点A （a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π，原点到

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率小于零的直线过点D （1，0）与椭圆交于M ，N 两点，若2,MD DN =u u u u r u u u r 求直线

MN 的方程；

（3）是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D

（1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分13分） 已知()22(0)b f x ax a a x =+

+->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行.

（1）求a ，b 满足的关系式；

（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；

（3）证明：11111(21)()3521221

n n n n n ++

+++>++∈-+L

参考答案

1、B

2、A

3、A

4、C

5、D

6、B

7、D

8、B

9、C 10、C 11、8 12、4025 13、

5665 14、20 15、①③④ 提示：

1、B {1,0,1,2,3}A =-，{|13}B x x =<≤,{2,3}A B ?=所以元素个数为2个

2、A 111122

a i a i i a a i i +(+)(-)(+)-(-)==+是纯虚数，则故1a =-． 3 、A 依题意，应有

b a =33，又b a ＝e 2－1，∴e 2－

1=

． 4、C

5、D

6 、B {(2)2011111L 转换成十进制数形式：2011201020090

2011121212122112-?+?++?==--L ． 7、D

8、B

9、C

10、C

11、8

12、4025

13、5665

14、20

15、①③④

16、解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，

设事件A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” ……2分

1132253()5C C P A C ?== 或 2232253()15

C C P A C +=-= K K K 4分 （Ⅱ）设B 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为

25， ……6分 则2232

2

36()()(1)55125

P B C =??-=． ……8分 （Ⅲ）依题意，X 的可能取值为1,2,3．

3(1)5P X ==，

233

(2)5410P X ?==

=?， 2131

(3)54310

P X ??===??， …………………11分

()123510102E X =?+?+?=． …………………12分

17、解：（Ⅰ）找BC 中点G 点，连接AG ，FG ∵F ，G 分别为DC,BC 中点

∴1

2

FG DB EA ∥∥＝＝

∴ EFGA 四边形为平行四边形 ∴

EF

//AG

∵⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ∴DB⊥平面ABC

又∵DB ?平面BCD

∴平面ABC⊥平面BCD

又∵G 为 BC 中点且AC=AB=BC

∴AG⊥BC

∴AG⊥平面BCD

∴⊥EF 平面BCD (4)

（Ⅱ）过C 作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE 且

∴()1211133224

C ABDE

ABDE V S CH -+=??=???=四边形…………8分

（Ⅲ）以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则

11(0,,1),,1)24

C E F -11(,1),(,1)24

CE CF =-=u u u r u u u v

A

B

C

E

D

F

H G

1

2-

1

44

u(0,0,1)

u

cos,u

5

CEF n

CE n x y z

n

CF n x y z

ABC

n

n

n u

?

?=-+=

??

?

??=-++=

??

=

?

===

r

r

u u u v

r

u u u r r

r

r r

r r

r r

设平面的法向量为=(x,y,z)，

由得

平面的法向量为

则

∴平面角ECD和平面ACB

所成的锐二面角的余弦值12

5

L分

法二（略解）：延长DE交BA延长线与R点，连接CE,易知AR=BA=1, ∠RCB=0

90

CB cos CB=

5

D D

∠∠

为二面角E-DC-B的平面角

∴平面角ECD和平面ACB

所成的锐二面角的余弦值12

5

L分

18．解：（Ⅰ）(

)2cos4sin()

6

f x x x x

π

=+=+………………2分

()

2()4

62

x k k Z f x

ππ

π

+=+∈

当时，取得最大值为

()4|2,

3

f x x x x k k Z

π

π

??∴=+∈

??

??

的最大值为，的取值集合为……4分（Ⅱ）因为()

f x对定义域内任一x有()()

f x f A

≤

=2()

3

A k k z

π

π

∴+∈=6

3

A A

π

∵为三角形内角∴分

sin sin

sin sin sin sin

a c a C a B

A C A A

=

由得，c=，同理可得b=

∴AB AC

→→

?=

2

2

sin sin2

cos cos2sin sin()

sin3

a B C

cb A A B B

A

π

==-

2

11

cos sin2(1cos2)sin(2)

226

B B B B B B

π=+=+-=+-

3

B

π

∴=

当时，AB AC

→→

?最大为

3

12

2

分

19、解 （Ⅰ）∵数列{}n a 是常数列，∴1n n a a t +==，即212t t t +=

+，解得1t =-，或1t =． ∴所求实数t 的值是1或-1． …………………………5分 （Ⅱ）112,1

n n n a a b a +==-Q ,111+12111+213,321111+2

n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++∴====+---，

即*13()n n b b n N +=∈． ……9分 ∴数列{}n b 是以13b =为首项，公比为3q =的等比数列，于是

1*333()n n n b n N -=?=∈．……11分

由*1()1n n n a b n N a +=∈-,即131n n n a a +=-，解得3131

n n n a +=-． ∴所求的通项公式*31()31

n n n a n N +=∈-．………… 13分 20、解：（Ⅰ）由

33=a b ，22232121b a b a +??=? ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：13

22

=+y x ……………………3分 （Ⅱ）设MN ：1(0)x ty t =+<代入13

22

=+y x ，得22(3)220t y ty ++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，由2MD DN =u u u u r u u u r ，得212y y -=． 由122223t y y y t +=-=-

+，21222223

y y y t -=-=+……………………6分 得222222()33t t t --=++，1t ∴=-,1t =（舍去） 直线MN 的方程为：1x y =-+即10x y +-=……………………8分 （Ⅲ）将2y kx =+代入13

22

=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记33(,)P x y ，44(,)Q x y ，PQ 为直径的圆过(1,0)D ，则QD PD ⊥，即 33443434(1,)(1,)(1)(1)0x y x y x x y y -?-=--+=，又332y kx =+，442y kx =+，

得

23434(1)(21)()50k x x k x x ++-++=………①

又343422912,3131

k x x x x k k =+=-

++，代入①解得76k =-……………11分 此时（*）方程0>?，∴存在76

k =-，满足题设条件．…………12分 21、解：（Ⅰ）2)(x

b a x f -='，根据题意2)1(=-='b a f ，即2-=a b ……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a x

a ax x f 222)(-+-+=， 令x x f x g ln 2)()(-=x a x

a ax ln 2222--+-+=，[)1,x ∈+∞ 则0)1(=g ，x x a a x g 22)(2---='=2)2)(1(x

a a x x a --- ①当10<-a

a ， 若21a x a -<<，则'()0g x <，()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0g x g <=，即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒不成立．

②1a ≥时，21a a

-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，所以()2ln f x x ≥．

综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ……8分

（Ⅲ）有（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x x

x ln 21≥- 令11212>-+=

n n x ，*N n ∈得1

212ln 212121212-+>+---+n n n n n n ， 即1

212ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n 所以)121121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得到

11111ln(21)3521221

n n n n ++++>++-+… ……13分

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