7(3)偏导数与全微分

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total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

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偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

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偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x0 , y0 ). x0 x x0 y y0 x x x y y0 y y 同理, 可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 对y的偏导数, 为 yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y y 0 y z f 记为 , , z y x x0 , 或 f y ( x0 , y0 ). y y0 y x x 0 y x x 0y y0 y y00

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偏导数与全微分

如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数

仍是 x、y 的二元函数, 它就称为函数

z f ( x, y) 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),记作 z , f , z x 或 f x ( x , y ). x x 同理, 可定义函数 z f ( x , y ) 对自变量y的 偏导函数 (简称偏导数), z f 记作 , z y 或 f y ( x, y ). , y y4

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偏导数与全微分

结论:

df ( x, y0 ) f x ( x0 , y0 ) dx df ( x0 , y ) f y ( x0 , y0 ) dy

f x ( x, y ) x x0 ;x x0 y y0

f y ( x, y ) x x0y y0

y y0

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偏导数与全微分

偏导数的概念可以 推广到二元以上函数

设 u f ( x1, x2 , , xn ) ,

则

f ( x1, , xi 1, xi x, xi 1, xn ) f ( x1, , xi 1, xi , xi 1, xn ) u lim xi x 0 x求多元函数 u f ( x1 , x2 , , xn ) 对某个变元 xi的偏导数时, 只要把其他变元当作常量,而把函数当 作关于该变元的一元函数来求导即可.6

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求多元函数的偏导数并不需要新的方法, 如求f x ( x , y ), 只需将y 看作常量, 利用一元函数 的求导法对x求导即可. 例 求

y z ln tan xy z

的偏导数.

例 求 u x

( x 0) 的偏导数.

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偏导数与全微分

例 求f ( x, y, z ) ( z a xy ) sinln x 2 在点(1,0,2)处的三个偏导数.

解 f x (1,0,2) [sin ln x ] x 12

2 cosln x 2 x

2x 1

f y (1,0,2) 0 y 0 0,

f z (1,0,2) 0 z 2 0

求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入, 变为一元函数, 再求导, 常常较简单.

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例

已知

理想气体的状态方程pV RT , 其中

p为压强 ,V为体积 , T为温度 , R为常数 , p V T 求 证: 1 V T p RT p RT 2 ; 证 p V V V RT V R T V pV V 偏导数的记号只是一个整体记号 ; ; T ,不能像 p T p p R R 一元函数的导数那样可看成是分子与分母的 p V . T RT R V RT 微分的商 1. 2 V T p p R pV V9

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2、偏导数的几何意义设二元函数 z f ( x , y )在点 M 0 ( x0 , y0 ) 有 偏导数. 如图, z z f ( x, y) M 0 z f ( x , y0 ) 设M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上的一点,

过点 M 0 作平面 y y0 , 此平面y0 与曲面相交得一曲线, 曲线的 O z f ( x , y ), x0 方程为 x y y0 . 由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x , y0 )的 导数 f ( x , y0 ) x x , 故由一元函数导数的几何意义0

y

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可知:偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示 z f ( x, y) 在点 曲线 y y0

z

z f ( x, y)Ty z f ( x0 , y )y0

M 0 z f ( x , y0 )Tx

M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线对

x0 x轴的斜率; x 偏导数 f y ( x0 , y0 )在几何上表示 z f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 曲线 x x0

O

y

处的切线对y轴的斜率.11

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偏导数与全微分

曲线

x2 y 2 z , 4 y 4

在点(2,4,5)处的切线

与x轴正向所成的倾角是多少? 1 解 f x ( x , y ) x , f x (2,4) 1 tan 2 42 2 x y z 曲线 4 , 在点(2,4,5)处的切线 x 2 与y轴正向所成的倾角是多少?12

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xy 当( x , y ) (0,0), 2 2 例 f ( x, y) x y 当( x , y ) (0,0). 0

求f ( x, y )的偏导数.解 当( x , y ) (0,0)时, y ( x 2 y 2 ) xy 2 x y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x, y) 2 2 , 2 2 2 (x y ) (x y ) 2 2 2 2 x ( y x ) xy 2 y ( x y ) x 2 f y ( x, y ) 2 2 . 2 2 2 (x y ) (x y )

当( x , y ) (0,0)时, 按定义得13

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偏导数与全微分

求f ( x, y )的偏导数. 当( x , y ) (0,0)时, 按定义得

xy 当( x , y ) (0,0), 2 2 f ( x, y) x y 当( x , y ) (0,0). 0

f (0 x ,0) f (0,0) lim 0 0 lim x 0 f x (0,0) x x 0 x f (0,0 y ) f (0,0) 0 lim lim 0 f y (0,0) y 0 y 0 y y

注 由以上计算可知, f ( x , y ) 在点(0,0)处可偏导, 但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.14

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偏导数与全微分

偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 连续

多元函数中在某点偏导数存在

偏导数都存在, 函数未必有极限, 更保证 不了连续性.

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偏导数与全

微分

说明因偏导数fx (x0, y0)仅与函数 f (x, y)在y = y0

上的值有关, 偏导数 f y(x0, y0)仅与 函数 f (x, y)在x = x0上的值有关 , 而与(x0, y0)邻域内其他点上

的函数值无关, 所以偏导数存在不能保证函数有极限.

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二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的

( D

).

A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件

D. 既非充分条件又非必要条件

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偏导数与全微分

二、全微分偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 函数的变化情况.

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偏导数与全微分

为了引进全微分的定义, 先来介绍 全增量.

全增量的概念设二元函数z f ( x , y ) 在点P( x, y)的某邻

域内有定义, 当变量x、y在点( x, y )处分别有

增量 x、 y时, 函数取得的增量

z f ( x x, y y ) f ( x, y )称为f ( x , y )在点( x , y )的全增量.19

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