菁优网详解2012年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷

2012年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷

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2012年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．若不等式组

的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）

D． m＜3

A． m＞3 B． m≥3 C． m≤3

2．如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）

A． B． C． 0.3 D．

3．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）

A． 到CD的距离保持不变 C．

等分

4．已知y=

+

B． 位置不变

D． 随C点移动而移动

（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）

A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2

5．（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

A．

B．

C．

D．

6．已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）

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A． 6圈

2

B． 6.5圈 C． 7圈 D． 8圈

7．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＜0 ②b＜a+c ③4a+2b+c＞0 ④2c＜3b ⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数） 其中正确的结论的有（ ）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

8．如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S△AFP+S△PCD+S△BPE=

，那么△ABC的内切圆半径为（ ）

A． 1

B．

C． 2

D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（2005?青岛）如图，如果位置的坐标为 _________ ．

所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），

所在位置的坐标为（2，﹣2），那么，

所在

10．某商场经销某种商品，由于进货价降低了8%，利润率提高了10%，则这种商品的原利润率是 _________ ．（用百分数作答）（进货价×利润率=利润） 11．（2006?德州）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是 _________ cm． 12．（2011?山西）如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒 _________ 根（用含有n的代数式表示）．

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13．（2008?莱芜）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 _________ ．

14．[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a﹣[a]，设a=

15．已知函数

，则f（1）+f（2）+…+f（511）= _________ ．

，b=

，则a+（1+

2

）ab= _________ ．

16．已知两组数3，7，11，15，…和5，8，11，14，…有许多相同的数，如11是它们第一个相同的数，那么它们的第20个相同的数是 _________ ．

三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2011?呼和浩特）为了解我市3路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天3路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图．如果以各组的组中值代表各组实际数据，请分析统计数据完成下列问题． （1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义； （2）估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？

（3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数． （注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数）

18．已知抛物线y=ax+bx+c与直线y=25有公共点，且仅当范围．

19．如图，已知在△ABC中，D是AB中点，DC⊥AC，cos∠DCB=，求sinA．

2

时抛物线在x轴上方，求a、b、c的取值

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www.jyeoo.com 20．（2009?孝感）如图，点P是双曲线y轴于A、B两点，交双曲线y=

（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、

（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= _________ （用含k1、k2的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为（﹣4，3）． ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论； ②记S2=S△PEF﹣S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

21．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x﹣4ax+a+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值． 22．等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大． （1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？ （2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

2

2

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www.jyeoo.com 三角形ABC的高h=3，

△ABC的内切圆半径r=h=1． 故选A．

点评： 本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是过P点作三角形三边的平行线，证明黑色部分的

面积与白色部分的面积相等，此题有一定难度．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（2005?青岛）如图，如果

所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），

所在位置的坐标为（2，﹣2），那么，

所在

位置的坐标为 （﹣3，1） ．

考点： 坐标确定位置。

分析： 根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标． 解答：

解：由所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），所在位置的坐标为（2，﹣2），可以确定平面直角坐标系中x

轴与y轴的位置．从而可以确定

所位置点的坐标为（﹣3，1）．

点评： 考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．

10．某商场经销某种商品，由于进货价降低了8%，利润率提高了10%，则这种商品的原利润率是 15% ．（用百分数作答）（进货价×利润率=利润）

考点： 一元一次方程的应用。

分析： 设原利润率是x，进价为a元，则售价为a（1+x），由于进货时价格比原进价降低了8%，使得利润增加了

10%，利用利润率=

列出方程解得即可即可．

解答： 解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，

=x+10%，

解得：x=15%．

故答案为：15%．

点评：

此题考查了一元一次方程的应用中利润率的计算，利用利润率公式：利润率=

售价、进价、利润就可以解决问题．

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，分析题意找出

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www.jyeoo.com 11．（2006?德州）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是

考点： 弧长的计算。 分析：

钟表的分针经过40分钟转过的角度是240°，即圆心角是240°，半径是5cm，弧长公式是l=可以求出弧长．

解答：

解：弧长是

cm．

，代入就

=cm．

点评： 正确记忆弧长公式是解题的关键． 12．（2011?山西）如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒 6n﹣2 根（用含有n的代数式表示）．

考点： 规律型：图形的变化类。

分析： 观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多6根小棒，找出6与n的联系即可． 解答： 解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，且多6根小棒，

图案（1）需要小棒：6×1﹣2=4（根）， 图案（2）需要小棒：6×2﹣2=10（根）， 则第n个图案需要小棒：（6n﹣2）根． 故答案为：6n﹣2．

点评： 本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找

到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

13．（2008?莱芜）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 0.4 ．

考点： 概率公式。 专题： 新定义。

分析： 先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可． 解答： 解：两位数一共有99﹣10+1=90个，

上升数为：

12，13，14，15，16，17，18，19， 23，24，25，26，27，28，29， 34，35，36，37，38，39， 45，46，47，48，49， 56，57，58，59， 67，68，69， 78，79， 89，

共8+7+6+5+4+3+2++1=36个． 概率为36÷90=0.4．

点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P

（A）=；易错点是得到上升两位数的个数．

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14．[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a﹣[a]，设a=

考点： 取整函数。 专题： 计算题。 分析： 先估算出解答： 解：∵

∴a=

2

，b=，则a+（1+

2

）ab= 10 ．

的整数部分，从而得出a的值，也可表示出b的值，代入即可得出代数式的值． ≈2.82， =2，b=

=

﹣2， ）（

﹣2）=4+6=10．

故可得：a+（1+）ab=4+2（1+

故答案为：10．

点评： 此题考查了取整函数的知识，解答本题的关键是估算出

15．已知函数

考点： 有理数无理数的概念与运算。 专题： 计算题。 分析：

把原函数关系中的无理式变形得到y=

的整数部分，得出a的值，难度一般．

，则f（1）+f（2）+…+f（511）= 7 ．

，然后把分子分母都乘以

﹣使分母成为立方差公式，这样分母化为1，得到f（x）=

﹣

+

﹣

﹣+…+

，再把x=1，2，…，511﹣

=

﹣

，

分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=

然后求出512与1的立方根，即可得到答案．

解答：

解：∵

=

=

==

﹣

， ﹣

，

∴f（1）=

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www.jyeoo.com f（2）=… f（511）=

﹣

，

﹣

+

﹣

+…+

﹣

=

﹣

=8﹣1=7．

﹣

，

∴f（1）+f（2）+…+f（511）=

故答案为7．

2233

点评： 本题考查了立方差公式：（a﹣b）（a+ab+b）=a﹣b．也考查了无理式的变形能力．

16．已知两组数3，7，11，15，…和5，8，11，14，…有许多相同的数，如11是它们第一个相同的数，那么它们的第20个相同的数是 239 ．

考点： 规律型：数字的变化类。 专题： 规律型。

分析： 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个

相同的数写出通式，然后把序数20代入进行计算即可得解．

解答： 解：第一组数3，7，11，15，19，23，…，第m个数为4m﹣1，

第二组数5，8，11，14，17，20，23，…，第n个数为3n+2， ∵3与4的最小公倍数为12， ∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12， ∵第一个相同的数为11， ∴相同的数的组成的数列的通式为12a﹣1， 第20个相同的数是：12×20﹣1=240﹣1=239． 故答案为：239．

点评： 本题是对数字变化规律的考查，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．

三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2011?呼和浩特）为了解我市3路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天3路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图．如果以各组的组中值代表各组实际数据，请分析统计数据完成下列问题． （1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义； （2）估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？

（3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数． （注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数）

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数。

分析： （1）从图上可看出中位数是80，估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过80人．

（2）求出平均数，可代表3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少．

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www.jyeoo.com （3）找出在平均载客量以上的班次算出这些人数的和然后除以总人数就可以了．

解答： 解：（1）80人，估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过80人；（2分）

（2）

人，

因为样本平均数为73，

所以可以估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是73人；（6分）

（3）在平均载客量以上的班次占总班次的百分数=

．（8分）

点评： 本题考查频数分布直方图，频数直方图表示每组数据里面的具体数是多少，以及中位数的概念有样本估计总

体等知识点．

18．已知抛物线y=ax+bx+c与直线y=25有公共点，且仅当

2

时抛物线在x轴上方，求a、b、c的取值

范围．

考点： 二次函数综合题。

222

分析： 根据题意y=ax+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax+bx+c﹣25=0有解，可得△=b﹣4a（c﹣25）≥0，

再根据不等式ax+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，

代入△=b﹣4a（c﹣25）≥0中，可得答案．

2

解答： 解：∵抛物线y=ax+bx+c与直线y=25有公共点，

2

∴依题意ax+bx+c﹣25=0有解，

2

故△=b﹣4a（c﹣25）≥0，

又不等式ax+bx+c＞0的解是：﹣＜x＜， ∴a＜0且有x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣． ∴b=a，c=﹣a．

∴b=﹣c，代入△≥0得c+24c（c﹣25）≥0． ∴c≥24．

故得a、b、c的取值范围为a≤﹣144，b≤﹣24，c≥24．

点评： 本题主要考查了二次函数与不等式的知识点，二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与

2

二次函数y=ax+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题．

19．如图，已知在△ABC中，D是AB中点，DC⊥AC，cos∠DCB=，求sinA．

2

22

2

考点： 解直角三角形。 专题： 数形结合。 分析： 过点D作DE∥AC交BC于E，设出CD边的长，可得出DE、CE，则在Rt△ACD中，各边的长均可用CD

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www.jyeoo.com 的边表示出来，代入sin∠A的表达式即可得出答案．

解答： 解：如图过点D作DE∥AC交BC于E，

由cos∠DCB=

=，

设CD=4x，则CE=5x，DE=3x，

∵点D是AB中点，DE∥AC， ∴AC=2DE=6x， 在RT△ACD中，AD=故可得sinA=

=

．

=2

x，

点评： 本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，要求掌握三角函数在直角三角形中的表示方法，难度一般．

20．（2009?孝感）如图，点P是双曲线y轴于A、B两点，交双曲线y=

（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、

（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= k2﹣k1 （用含k1、k2的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为（﹣4，3）． ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记S2=S△PEF﹣S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题。 专题： 压轴题；动点型。

分析： （1）由反比例函数的图形和性质可知：四边形OAPB面积为K1，△OAE与△OBF面积之和为K2，可求四边

形PEOF的面积； （2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系． ②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S△EFQ=S△PEF，可得出S2的表达式，然后根据自变量的取值范围得出结果．

解答： 解：（1）四边形PEOF的面积S1=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k1|+k2=k2

﹣k1； （3分）

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www.jyeoo.com （2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．（4分） 证明：如图，由题意可得：

A（﹣4，0），B（0，3），∴PA=3，PE=∴

，PB=4，PF=，

， ，

，

∴，（6分）

又∵∠APB=∠EPF， ∴△APB∽△EPF， ∴∠PAB=∠PEF， ∴EF∥AB；（7分）

②S2没有最小值，理由如下： 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q， 由上知M（0，

），N（

，0），Q（

，

）（8分）

而S△EFQ=S△PEF， ∴S2=S△PEF﹣S△OEF=S△EFQ﹣S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN ===

，（10分）

当k2＞﹣6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12，（11分） ∵k2=12时S2=24， ∴0＜S2＜24，S2没有最小值．（12分） 故答案为：k2﹣k1

点评： 此题难度较大，主要考查了反比例函数、二次函数的图象性质及相似三角形判定．同学们要熟练掌握相似三

角形的判定方法．

21．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x﹣4ax+a+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．

考点： 二次函数的最值。 专题： 分类讨论。

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2

2

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www.jyeoo.com 分析： 先求出抛物线对称轴x=a，然后分①a≤﹣1，②﹣1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；

然后根据最小值为﹣1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．

解答：

解：对称轴x=﹣=﹣=a，

①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，

222

当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）﹣4a×（﹣1）+a+2a+2=a+6a+4， ②﹣1＜a＜2时，

222

当x=a时，有最小值，最小值y=2×a﹣4a×a+a+2a+2=﹣a+2a+2， ③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，

222

当x=2时，y最小，最小值y=2×2﹣4a×2+a+2a+2=a﹣4a+10，

2

综上所述，a≤﹣1时，最小值为a+6a+4，

2

﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a+2a+2，

2

a≥2时，最小值为a﹣4a+10； ∵最小值为﹣1，

∴a+6a+4=﹣1，整理得a+6a+5=0， 解得a1=﹣1，a2=﹣5， 22

﹣a+2a+2=﹣1，整理得，a﹣2a﹣3=0， 解得a3=﹣1，a4=3， 22

a﹣4a+10=﹣1，整理得，a﹣4a+11=0，

2△=4﹣4×1×11=﹣28＜0，方程无解，

综上所述，a的所有可能值为﹣1、3、5．

点评： 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求

解．

22．等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大． （1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？ （2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

2

2

考点： 直线与圆的位置关系；等腰直角三角形；切线长定理。 分析： （1）当△ABC第一次与圆相切时，应是AC与圆相切．如图，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，

连OE并延长，交B′C′′于F．设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理，以及直角三角形的性质可求得CD的值，进而求得CC′的值，从而求得点C运动的时间，也就有了点运动的时间，点B移动的距离也就可求得了． （2）△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，应为AB与圆相切，路程差为6，速度差为1，故从开始运动到最后一次相切的时间为6秒． （3）若圆能在△ABC的内部时，则存在；若圆O不能在三角形的内部，则不存在；即求在（2）条件下，AC与圆的位置关系即可．

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www.jyeoo.com 解答：

解：（1）设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长， 交B′C′于F． 设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l． 由切线长定理可知C’E=C′D，设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=x． ∴x+x=1， ∴x=﹣1， ∴CC’=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣． ∴点C运动的时间为（5﹣∴点B运动的距离为（2﹣

）÷（2+0.5）=2﹣）×2=4﹣

．

．

（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，是AB与圆相切，且圆在AB的左侧，故路程差为6，速度差为1， ∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．

（3）∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1， ∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A″B″C″处， A″B″=1+4×=3．

连接BO并延长交A″C″于点P，易证B″P⊥A″C″，且OP=

”

﹣=＜1．

∴此时⊙O与A″C″相交， ∴不存在．

点评： 本题考查了直线与圆的相切，相交的概念，利用了切线长定理，等腰直角三角形的性质，

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2012年6月23日

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