2022版高考数学一轮复习课时规范练39空间图形的基本关系与公理理

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雨衣专享课时规范练39 空间图形的基本关系与公理

基础巩固组

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2.(2018河北衡水二调,3)已知l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题中正确的是()

A.若l∥α,m?α,则l∥m

B.若l∥α,m∥α,则l∥m

C.若l⊥m,m?α,则l⊥α

D.若l⊥α,l∥m,则m⊥α

3.(2018河南六市一模,6)在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()

A.若a∥α,b∥α,则a∥b

B.若a?α,b?β,α⊥β,则a⊥b

C.若a∥α,a∥b,则b∥α

D.若α∥β,a?α,则a∥β

4.(2018广东深圳二模,5)已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()

A.若l⊥m,l⊥n,且m,n?α,则l⊥α

B.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥n,n⊥α,则m⊥α

5.

如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面

D.B,B1,O,M共面

6.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线()

A.不存在

B.有且只有两条

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C.有且只有三条

D.有无数条

7.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方

形,PA=,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

8.

(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中点,∠

ACB=90°,AC=BC=CC1,过点D、C作截面交BB1于点E,若点E恰好是BB1的中点,则直线AC1与DE所成角的余弦值为.

综合提升组

9.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()

A. B. C. D.

10.

(2018重庆模拟,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为.

11.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m?α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

创新应用组

12.

(2018山西太原三模,10)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

13.

(2018陕西黄陵中学6月模拟,7)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD

间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()

A. B. C. D.

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参考答案

课时规范练39 空间图形的基本关系与公理

1.A“两条直线为异面直线”?“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”?“两直线异面或平行”.故选A.

2.D由题意,A中,若l∥α,m?α,则l∥m或l与m异面,所以不正确;B中,若l∥α,m∥α,则l ∥m或l与m相交或异面,所以不正确;C中,若l⊥m,m?α,则l⊥α或l与平面α斜交或平行,所以不正确;D中,若l⊥α,l∥m,则m⊥α是正确的,故选D.

3.D若a∥α,b∥α,则a,b位置关系不定;若a?α,b?β,α⊥β,则a,b位置关系不定;若a∥α,a∥b,则b∥α或b?α;若α∥β,a?α,则a∥β,选D.

4.D对于选项A,若l⊥m,l⊥n,且m,n?α,则l不一定垂直平面α,因为m有可能和n平行,所以该选项错误;对于选项B,若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α,β可能相交或平行,所以该选项错误;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n有可能在平面α内,所以该选项错误;对于选项D,由于两平行线中有一条垂直平面α,则另一条也垂直平面α,所以该选项正确.故答案为D.

5.A连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,

所以A1,C1,A,C四点共面.

所以A1C?平面ACC1A1.

因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1,

所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.

同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.

6.D

在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.

7.C取CD的中点F,连接BF,EF,

∵E是PC的中点,∴EF∥PD,

则∠BEF是BE与PD的夹角,EF=PD=.

∵PC=,

∴cos∠BPC==,

∴BE2=32+2-2×3××=.

又BF=,

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∴cos∠BEF===.

8. 连接AB1,且AB1∥DE,所以直线AC1与DE所成角为∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC1=1,∠ACB=90°,所以B1C1=1,AC1=,AB1=,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1==.填.

9.A(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面

A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.

∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n ∥CD1.

∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.

∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,

∴m,n所成的角的正弦值为.

(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,

补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,

所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.

因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,

故m,n所成角的正弦值为.

10. 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP,则GP∥BD,

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,

在△AGP中,AG=GP=AP,

所以∠APG=.

11.②③④对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n

∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,

故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知

其正确,故正确命题的编号有②③④.

12.C

将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图:

对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;

对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正

四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);

对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;

对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,

而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.

综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.

13.B

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如图:根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF==尺,所以sin∠FDC==,故选B.

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