概率论与数理统计第一部分练习及答案

概率论与数理统计第一部分练习及答案

测验题（一）

一、填空

1、设A1,A2,A3是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是2、若事件A与B互不相容，则P(A?B)?0

A1A2?A2A3?A1A3。

A?B?AB，AB＝?（P5，对偶律）

，P(?)?0

3、如果P(A)?0.3,P(B)?0.2，且A,B互斥，则P(A?B)?0.5

互斥即互不相容，P(A+B)=P(A)+P(B) （P9，概率性质2：有限可加性） 4、如果P(A)?0.3,P(B)?0.2，且A,B相互独立，则P(A?B)?0.44

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，P(AB)=P(A)P(B) （P10，概率性质6，P24，定义1）

5、如果P(A)?0.3,P(B)?0.2，且P(BA)?0.4，则P(A?B)?0.38

P(B|A) = P(AB)/P(A),P(A＋B) = P(A)＋P(B)-P(AB) （P18，条件概率定义1） 6、如果P(A)?0.3,P(B)?0.2,P(C)?0.1，且A,B,C相互独立，则 P(A?B?C)?0.496

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 或P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C) 二、计算题

1、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求三人中至少有一个人能将此密码译出的概率

解：设事件A、B、C分别为三人破解密码，三人中至少有一个人能破解的逆事件为三人中无人能

破解，则P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4，且互相独立。

P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?3/5

2、将3封信任意投到四个信箱中去，求下列事件的概率

（1）只有两个信箱有信的概率。（2）一个信箱最多只有1封信的概率 （3）前两个信箱没有信的概率。

1

解：把3封信投到4个信箱中一共有4种做法

223PC/4?9/16

（1）即选两个信箱投信，且每个信箱都有信，则：43333P/4?3/8

（2）即选3个信箱进行全排列，则：42113(CP?C)/4?1/8 2（3）即把信投在后两个信箱中或任意一个，则：32

3、盒子中有10个小球，其中6个黑色的，4个白色的，先后从中各取一球（不放回），已知第二次取出的是黑球，求第一次取到白球的概率。

解：设“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B，则P(A) = 2/5；P(B) = ，

(CC?CC)/CC?316151416191105，

P(AB)?11C4C6?210?415， 所以P(A|B) = 4/9

4、已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男女各占一半，现随机挑选一人，（1）求此人恰好是色盲的概率。（2）若随机地挑选一人，此人不是色盲者，问他是男人的概率是多大？ 解：“随机挑一人为男色盲”为事件A，“随机挑一人为女色盲”为事件B则 P(A)=2.5%，

P(B)=0.125%

（1）P（A+B）=P(A)+P(B)=2.625%

（2）设“随机地挑选一人，此人不是色盲”为事件C，则P（C）=1-P（A+B）=97.375%

所以(0.5-P(A))/P(C)＝48.78%

三、独立试验序列概型计算题

1、某人射击，击中的概率为0.8，现射5次，求下列事件的概率 （1） 恰击中3次 （2） 至少击中1次 （3）全击不中

332P(A)?C0.80.2?0.2048； 5解：（1）设“恰击中3次”为事件A，则

5P(B)?1?P(B)?1?0.2（2）设“至少击中1次”为事件B，则； 50.2（3）设“全击不中”为事件C，P（C）=1-P（B）=

2、某人去抽彩票，中奖的概率为0.2，求去三次才中奖的概率。 解：P= 0.8×0.8×0.2=0.128

k?1p(1?p)（事件A在第k次才首次发生的概率：）

测验题（二）

一、填空

2

c1.已知连续型随机变量的概率密度是?(x)? 则c?1?x21?

??c1??arctanx?,limarctanx?????1?x2dx?c??1,?1?x2dx?arctanx,xlim???2x???2

?2x0?x?12.设?的概率密度函数是f(x)??，则（P?1???0.5）? 0.25。

其它?0P(?1???0.5)?P(??0.5)?P(???1)?F(0.5)?F(?1)

（P42，定义1）

3.有一批灯泡，次品率为0.02，求从这批灯泡中任取100个，则100个灯泡中的次品个数的概率

?100?k100?kP{X?k}??0.020.98,k?0,1,2???100??k?分布为,100个灯泡中恰有2个次品的概率是

2C1000.0220.9898或2e?2。

C21000.020.9829822?2?e2!

（P40，泊松定理）

4.已知某厂出产的布匹上的疵点数服从??0.2的泊松分布，则一批布匹上的疵点数的概率分布为

0.2k?0.2P{X?k}?e,k?0,1,2???100?0.20.02ek!。恰有2个疵点的概率是。

?1,0?x?1f(x)??1?05.在[0,1]上服从均匀分布的概率密度为 。该随机变量落在[0,]内的概率为

20.5 。

?lP{c?x?c?l}??ccf(x)dx

（P47，均匀分布）

6.已知某种电子管的寿命服从??1000的指数分布，则这种电子管的寿命的概率密度为

x??1000?ef(x)??1000,x?0??0?1e。这种电子管的寿命在1000小时以上的概率为。

x?1???e,x?0f(x)????0???e??x,x?0f(x)???0指数分布有两种写法：和

7.已知?~N(0,1)，则P(?0.5???0.5)=0.383 。

3

P(?0.5?X?0.5)??(0.5)??(?0.5)，?(x)?1??(?x)

（P51，标准正态分布的使用1、2） ?X8.设离散型随机变量X的概率分布为 ??p012??，其分布函数为F(x)，则F(1.8)?0.8

0.50.30.2??19．设随机变量X的分布函数F(x)?A?Barccotx，则B?x????.

limarccotx?0,limarccotx??x???F(??)?A?B?0?1,F(??)?A?B???0?A?1,B??1（P43，分布函数性质2）

?

10．设离散型随机变量X的分布函数为F(x),则P(a?X?b)=F(b)-F(a-0).

随机型：F(b)-F(a)

二、计算题

1.有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求3件中次品数的概率分布。 解：设X为3件中的次品数，则X=0，1，2，3；依题得：

P(X?0)?C3?1/6P(X?1)?103C621C6C43C10，

?1/2P(X?2)?，

12C6C43C10?3/10

P(X?3)?3C43C10?1/30??X??P，??0123?1131??621030?

1x?1?100e?2.某电子元件的寿命?（小时）服从指数分布，其概率密度为?（x)??100?0?x?0其它，求（1）

元件寿命至少在200小时的概率 （2）将3只这种元件连接成为一个系统，且至少2只元件失效

时系统失效，又设3只元件工作相互独立，求系统的寿命至少为200小时的概率。 解：

200(1)P{X?200}?1?P{0?X?200}?1??0?(x)dx?e?2

?2Y?b(3,e)，所以

(2)设Y为3只元件的寿命至少为200小时的个数，则

2P(Y?2)?C3(e?2)2(1?e?2)?(e?2)3?3e?4?2e?6

3.已知在正常情况下，学生的考试成绩服从正态分布，如果已知??70，?2?16，求某学生考试成绩在60到80分之间的概率。

60?7080?70P{60?X?80}?P{?X?44}??(2.5)??(?2.5)?0.9876 解：

4.已知某电话机呼唤次数服从??5的泊松分布，求某段时间内呼唤次数不超过3次的概率。

P{X?k}?e解：

?55k?5k!，P{X?3}?e118/3

4

12???05.已知离散型随机变量?的概率分布为??，求?的分布函数。

?p0.20.30.5?x?0,F(x)?0;0?x?1,F(x)?P{??0}?0.2;1?x?2,F(x)?P(??0)?P{??1}?0.5;2?x,F(x)?P{??0}?P{??1}?P{??2}?1.?0,x?0??0.2,0?x?1??F(x)???0.5,1?x?2?1,2?x??

测验题（三）

一、填空

1.甲，乙两人独立地射击，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，甲共射3次，乙射两次，则甲，乙射中次数的联合概率分布、边缘概率分布为 。 X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0.00008 0.00096 0.00384 0.00512 0.01 0.00144 0.01728 0.06912 0.09216 0.18 0.00648 0.07776 0.31104 0.41472 0.81 0.008 0.096 0.384 0.512 1 2.已知随机变量X、Y相互独立，二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数。

5

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