微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第一章习题详解

第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解

(1)x2?9; (2)x?1?1;

(3)(x?1)(x?2)?0; (4)0?x?1?0.01解 (1)原不等式可化为(x?3)(x?3)?0,其解为?3?x?3,用区间表示是[-3,3].

(2)原不等式可化为x?1?1或x?1??1,其解为x?2或x?0,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).

(3)原不等式的解为?2?x?1,用区间表示是(-2,1).

(4)原不等式可化为???0.01?x?1?0.01??1.01?x??0.99即?

?x?1?0?x?1用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).

2.用区间表示下列函数的定义域:

1?1?x2; (2)y?arcsin(1?x)?lg(lgx);x

1(3)y?6?5x?x2?.ln(2?x)(1)y??x?0?x?0解 (1)要使函数有意义,必须?即? 2?1?x?11?x?0??所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].

??1?1?x?1?0?x?2??(2)要使函数有意义,必须?lgx?0即?x?1

?x?0?x?0??所以函数的定义域是1?x?2,用区间表示就是(1,2].

?6?5x?x2?0??6?x?1??(3)要使函数有意义,必须?ln(2?x)?0即?x?1

?2?x?0?x?2??所以函数的定义域是-6≤x<1,用区间表示就是[-6,1).

3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0),f(2),f(a)(a为实数),并作出图形

1

??1(1)y???x,x?0,； ??1?x2,x?1?2x,0?x?1(2)y＝??2

2?x?1,1?x?2??1,1?x?解 (1)函数的定义域

D(f)?{x|x?0}?{x|0?x?1}?{x|1?x?2}?{x|x?1或1?x?2}?(??,1)?(1,2]

?f(0)?2?0?0, f?12??1, f(a)??a?0??a2a0?a?1, ???11?a?2

图1-1 图1-2

(2)函数的定义域

D(f)?{x|x?1}?{x|1?x?2}?{x|x?2}?(?2,2)

f(0)?1?02?1, f?2???2?2?1?1, f(a)????1?a2a?1??a2?11?a?24※

.设f(x)????1,x?1?,求f(f(??1,x?1x)).

解 当|x|≤1时, f(x)=1, f(f(x))= f(1)=1;

当|x|>1时, f(x)=-1, f(f(x))= f(-1)=1, 综上所述f(f(x))=1(x∈R). 5.判定下列函数的奇偶性：

1?x2(1) f(x)＝cosx； (2)f(x)＝(x2＋x)sinx；

(3) ※

f(x)＝??1?e?x,x?0?ex?1,x?0

2

1?(?x)21?x2解 (1) ∵f(?x)???f(x)

cos(?x)cosx∴f(x)是偶函数.

(2)∵f(?x)?[(?x2)?(?x)]sin(?x)?(x2?x)(?sinx)??(x2?x)sinx?f(x) 且f(?x)??f(x), ∴f(x)是非奇非偶函数.

(3)当x<0时,-x>0, f(?x)?e?x?1??(1?e?x)??f(x);

※

当x≥0时,-x≤0, f(?x)?1?e?(?x)?1?ex??(ex?1)??f(x), 综上所述, ?x?R,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：

(1) f(-x)+f(x)为偶函数； (2) f(-x) -f(x)为奇函数. 证 (1)令F(x)?f(?x)?f(x)

?x?(?l,l)有F(?x)?f[?(?x)]?f(?x)?f(x)?f(?x)?F(x)

所以F(x)?f(?x)?f(x)是偶函数;

(2)令F(x)?f(?x)?f(x),

?x?(?l,l)有F(?x)?f[?(?x)]?f(?x)?f(x)?f(?x)??[f(?x)?f(x)]??F(x)

所以F(x)?f(?x)?f(x)是奇函数.

7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f(x),g(x)均为偶函数,令F(x)?f(x)?g(x)

则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x), 所以f(x)?g(x)是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.

(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令F(x)?f(x)?g(x), 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)g(x)??F(x), 所以f(x)?g(x)是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:

3

x(1)y?2sin3x,x????????26,6??; (2)y?2x?1;

(3)f(x)???2x?10?x?1,?2?(x?2)21?x?2.解 (1)由y?2sin3x得x?13arcsiny2所以函数y?2sin3x的反函数为 y?13arcsinx2(?2?x?2).

(2)由y?2xxyy2x?1得2?1?y,即x?log21?y.

所以函数y?2xx2x?1的反函数为y?log21?x(0?x?1). (3) ※

当0?x?1时,由y?2x?1得x?1?y2,?1?y?1; 当1?x?2时,由y?2?(x?2)2得x?2?2?y,1?y?2;

?于是有 x??1?y?2?1?y?1,

??2?2?y1?y?2所以函数f(x)???2x?10?x?1??1?x?1?x?1?2?(x?2)21?x?2的反函数是f(x)??2.

??2?2?x1?x?29. 将y表示成x的函数,并求定义域:

(1)y?10u,u?1?x2; (2)y?lnu,u?2v,v?sinx;(3)y?arctanu,u?v,v?a2?x2(a为实数).

解 (1)y?10u?101?x2,定义域为(-∞,+∞);

(2) y?lnu?ln2v?ln2sinx?sinx?ln2定义域为(-∞,+∞);

(3) y?arctanu?arctanv?arctana2?x2(a为实数),定义域为(-∞,+∞).

习题1-2

1.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=

3arcsinax； (2) y=sin3lnx;

(3) y= atanx2； (4) y=ln［ln2(ln3x)］.

4

解 (1)令u?arcsina,则y?3u,再令v?a,则u?arcsinv,因此y?3arcsinax是由基本初等函数y?3u,u?arcsinv,v?ax复合而成的.

(2)令u?sinlnx,则y?u3,再令v?lnx,则u?sinv.因此y?sin3lnx是由基本初等函数y?u3,u?sinv,v?lnx复合而成.

22(3)令u?tanx,则y?au,再令v?x,则u?tanv,因此y?atanx是由基本初等函数

2xxy?au,u?tanv,v?x2复合而成.

(4)令u?ln2(ln3x),则y?lnu,再令v?ln(ln3x)则u?v,再令w?lnx,则v?lnw,

3再令t?lnx,则w?t,因此y?ln[ln2(ln3x)]是由基本初等函数y?lnu,u?v2,v?lnw,

23w?t3,t?lnx复合而成.

2.设f(x)的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f(x2)； (2) f(sinx); (3) f(x+a),(a＞0)； (4) f(ex+1).

解 (1)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x2≤1,于是-1≤x≤1,所以f(x2)的定义域为[-1,1].

(2)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤sinx≤1,于是2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈z,所以f(sinx)的定义域为[2kπ,(2k+1) π], k∈Z.

(3)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x+a≤1即-a≤x≤1-a所以f(x+a)的定义域为[-a,1-a].

(4)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤ex+1≤1,解此不等式得x≤-1,所以f(ex+1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：

(1) 设?(sinx)=cos2x+sinx+5,求?(x); (2) 设g(x-1)=x2+x+1,求g(x); (3) 设f(x?11)=x2+2,求f(x). xx222解 (1)法一:令t?sinx,则cosx?1?sinx?1?t,代入函数式,得:

?(t)?1?t2?t?5?6?t?t2,

即

?(x)?6?x?x2.

法二:将函数的表达式变形得:

?(sinx)?(1?sin2x)?sinx?5?6?sinx?sin2x

2令t?sinx,得 ?(t)?6?t?t,

即

?(x)?6?x?x2.

5

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