2015年北京中考数学东城一模

东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一） 数学试题 2015.5

学校 班级 姓名 考号

1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 考2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 须4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 知 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1．与?2的和为0的数是 A．?2 B．?1 2 C．

1 2 D．2

2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是

A．24.5?10 B．2.45?10 C．2.45?10 D．0.245?10 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A．圆柱 B．球 C．圆锥 D． 棱柱

4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的

6645

中位数和众数分别是

分数 人数

． 70,80 AB． 70,90 C． 80,90 D． 80,100 50 1 60 2 70 8 80 13 90 14 100 4 5． 在六张卡片上分别写有π,无理数的概率是

1,1.5,?3,0,31

2六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为

1 A．6B．1 3 C． 1 2D． 2 36．正五边形的每个外角等于

A. 36? B. 60? C. 72? D. 108? 7．如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作

O的切线交AB的

延

长线于点D，连接OC，AC. 若?D?50?，则?A的度数是

A. 20? B．25?

C．40? D．50?

半

8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了

小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y（单位：千米）与行驶时间t（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为

A. 43.5 B. 50 C. 56 D. 58

9. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线 ，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是 A.

3 B.2 C.23 D.4

10. 如图1， △ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中?C??EDF?90?，点A与点D重

合，点E在AB上，AB?4，DE?2.如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动， 当点D与点B重合时停止移动.设AD?x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是

图1 图2 2

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：mx2?4my2? ． 12．计算8?27?2+3的结果为 ．

13. 关于x的一元二次方程x?3x?m?0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围 是 ．

14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:

北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米

其中 户年用水量 分档水量 （立方米） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 0-180（含） 181-260（含） 260以上 5.00 7.00 9.00 水价 自来水费 2.07 4.07 6.07 1.57 1.36 水资源费 处理费 污水 2 某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费 元.

15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对

方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．

3

2.2441.5 第15题图 第16题图 16．在平面直角坐标系xOy中，记直线y?x?1为l.点A1为 1是直线l与y轴的交点，以AO 边做正方形AOC11B1,使点C1落在在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以 A2C1为边作正方形A2C1C2B2,使点C2落在在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图

所示的图形.则点B4的坐标是 ，点Bn的坐标是 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

DC17．如图，AC与BD交于点O，OA?OC，OB?OD．

O 求证：DC∥AB．

AB?1?18. 计算：?3?π??3tan60???????4.

?3?0?1?2x?1＞3?x?1?,?19．解不等式组：?5?x

＜x?4.??22a2?4a?4a?2??20．先化简，再求值：，其中a?2?1． a?1a2?1a?121．列方程或方程组解应用题：

2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两

种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？

22．在平面直角坐标系xOy中，过点A??4,2?向x轴作垂线，垂足为B，连接AO.双曲线 y?k经过斜边AO的中点C，与边AB交于点D． x （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23． 如图，△ABC中，?BCA?90?,CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC

的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE. （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AC?2DE，求sin?CDB的值．

4

24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱

的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查 名学生； （2）请把条形图（图1）补充完整；

（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； （4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．

O中，AB为直径，OC?AB，弦CD与OB交于点F，过点D,A分别作⊙O的切25. 如图,在⊙

线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E． （1）求证：?1??2;

F O的半径为3，求AG的长． （2）已知：OF:OB?1:3，⊙

26. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，

AG?BE于点G，交BD于点F．

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;

明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系;

请回答：AF与BE的数量关系是 .

(2) 如图2,若四边形ABCD是菱形, ?ABC?120?,请参考明明思考问题的方法，求

ADAF 的值. BEOFGBEC

5

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线

点C．

y?ax2?bx?1?a?0?过点A??1,0?，B?1,1?,与y轴交于

（1）求抛物线y?ax2?bx?1?a?0?的函数表达式；

（2）若点D在抛物线y?ax2?bx?1?a?0?的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D 的

坐标;

（3）在抛物线y?ax2?bx?1?a?0?的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

28. 已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．

（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

A

6

BC

1 图图 图 2 3 29．定义符号min?a,b?的含义为：当a≥b时, min?a,b??b；当a＜b时, min?a,b??a．如：

min?1,?2???2，min??1,2???1．

2(1)求minx-1,-2;

??(2)已知min{x2?2x?k,?3}??3, 求实数k的取值范围;

(3) 已知当?2≤x≤3时，min{x2?2x?15,m(x?1)}?x2?2x?15.直接写出实数m的取值范围.

东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）

数学试题参考答案及评分标准 2015.5

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 3.08 15 16 B4(15,8)；答案 m?x?2y??x?2y? 2+43 9m＞- 4970 Bn(2n?1,2n?1) 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在△ODC和△OBA中，

DC?OD?OB,?∵??DOC??BOA, ?OC?OA,?∴△ODC≌△OBA. ????3分 ∴?C??A. ????4分 ∴DC∥AB． ????5分

AOB 7

1?18.解：??3?π??3tan60???????4?3?0?1

?1?3?3???3??4??14分 5分19． 解：???2x?1＞3?x?1?,①

??5?x＜2x?8，②由①得，x＜2， ????2分 ， 由②得，x＞?1 ????4分

所以，不等式组的解集为?1＜x＜2. ????5分

2a2?4a?4a?220.解：??2a?1a?1a?1

?a?2??a?12??a?1?a?1??a?1?a?22a?2?a?1a?1a?a?1?2

3分 当a?2?1 时，原式?2-12-12．????5分 ==1-22-1?1221．解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是?2x?5?元. ????1分

x=120(2x? 根据题意，列方程得：2005) ????3分 ，

解得： x?15. ????5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C向x轴作垂线，垂足为E.

∵CE?x轴，AB?x轴，A??4,2?，

∴CE∥AB，B??4,0?. ∴

OEOCCE1???. OBOAAB2 ∵OB?4，AB?2， ∴OE?2，CE?1.

∴C??2,1?. ????2分

8

∵双曲线y? ∴k??2.

k

经过点C， x

2. ????3分 x ∴反比例函数的解析式为y?? （2）∵点D在AB上，

∴点D的横坐标为?4. ∵点D在双曲线y?? ∴点D的纵坐标为 ∴S△BOD2上， x1. ????4分 2111??OB?BD??4??1.????5分 222四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23.（1）证明：∵DE∥BC,CE∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形. ∴CE?BD.

又∵CD是边AB上的中线， ∴BD?AD. ∴CE?DA. 又∵CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形.

∵?BCA?90?，CD是斜边AB上的中线， ∴AD?CD.

F ∴四边形ADCE是菱形. ????3分

（2）解：作CF?AB于点F.

由(1) 可知, BC?DE.设BC?x,则AC?2x. 在Rt△ABC中,根据勾股定理可求得AB?∵

5x.

11AB?CF?AC?BC, 22 ∴CF?AC?BC25?x.

AB5∵CD?15AB?x, 22CF4?.????5分 CD5∴sin?CDB?24.解：（1）20÷10%=200（名），????1分 答：一共调查了200名学生； （2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； 补全条形图如图； ????3分

9

（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：

60×360°=108°； ????4分 20030 （4）1500×=225（名）． ????5分

200

答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD，如图.

∵DE为⊙O的切线，OD为半径， ∴OD?DE.

∴?ODE?90?，即?2??ODC?90?.

∵OC?OD， ∴?C??ODC. ∴?2??C?90?. 而OC?OB， ∴?3??C?90?. ∴?2??3. ∵?1??3， ∴?1??2. ????2分 （2）解：∵OF:OB?1:3，⊙O的半径为3， ∴OF?1. ∵?1??2， ∴EF?ED. 在Rt△ODE中，OD?3,设DE?x，则EF?x，OE?1?x. ∵OD?DE?OE， 22∴3?x??x?1?，解得x?4. 2222∴DE?4，OE?5. ∵AG为⊙O的切线，OA为半径，GD为⊙O的切线， ∴AG?AE，GA?GD. ∴?GAE?90?. 在Rt△AGE中,设DG?t，则GE?t?4. ∵AG?AE?GE. 22∴t?8??t?4?，解得，t?6. 2222∴AG?6. -------------------5分 26. 解：（1）AF=BE； ????1分

10

AF?3． ????2分 BE 理由如下：∵四边形ABCD是菱形，?ABC?120?, ∴AC?BD,?ABO?60?. ∴?FAO??AFO?90?. ∵AG?BE，

∴?EAG??BEA?90?． ∴?AFO??BEA.

又∵?AOF??BOE?90?，

∴△AOF∽△BOE. ????3分

AFAO? ∴ . BEOB ∵?ABO?60?，AC?BD，

AO?tan60??3. ∴OBAF?3. ????5分 ∴BE （2）

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．解：（1）∵抛物线

y?ax2?bx?1?a?0?过点A??1,0?，B?1,1?，

∴??a?b?1?0,

?a?b?1?1.1?a??,??2∴?

1?b?.??2∴抛物线的函数关系式为y??121x?x?1. ????2分 22（2）∵x??b1?，C?0,1? 2a21211x?x?1的对称轴为直线x?. 2221的对称点，则点E的坐标为?2,0?. 2 ∴抛物线y??设点E为点A关于直线x?连接EC交直线x?1于点D，此时△ACD的周长最小. 2设直线EC的函数表达式为y?kx?m，代入E,C的坐标，

11

则??2k?m?0,

?m?1.1??k??,解得?2

??m?1.所以，直线EC的函数表达式为y??1x?1. 2当x?13时，y?. 24?13?,?. ????4分 ?24? ∴ 点D的坐标为?（3）存在.

①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1. ∵AO?OC，AC?AP1， ∴?AOM??CAM?90?. ∵C?0,1?，A??1,0?， ∴OA?OC?1. ∴?CAO?45?.

∴?OAM??OMA?45?. ∴OA?OM?1.

∴点M的坐标为?0,?1?.

设直线AM对应的一次函数的表达式为y?k1x?b1，代入A,M的坐标， 则???k1?b1?0,

b??1.?1?k1??1,解得?

b??1.?1所以，直线AM的函数表达式为y??x?1.

令x?13，则y??. 2212

∴点P1的坐标为??13?,??. ????5分 ?22?N. ②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点

与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形， ∴OC?ON?1. ∴点N的坐标为?1,0?. ∵CP2?AC，AP1?AC， ∴CP2∥AP1.

∴直线CP2的函数表达式为y??x?1. 令x?11，则y?. 22?11?,?. ????6分 ?22??13??11?,??，P2?,?，使△ACP成为以AC为直角边的直角三?22??22?∴点P2的坐标为?综上，在对称轴上存在点P1?角形．????7分 28.解:(1)

当??60?时, BD?A?A. ------------1分

（2）补全图形如图1，

?仍然成立；A BD?A------------3分

（3）猜想BD?A?A仍然成立.

证明：作AE?C?C，A?F?C?C，垂足分别为点E,F，图2，则?AEC??A?FC??90?. ∵BC?BC?，

∴?BCC???BC?C. ∵?ACB??A?C?B?90?，

∴?ACE??BCC??90?，?A?C'F??BC?C?90?.

13

图1

如

∴?ACE??A?C?F. 在△AEC和△A?FC?中，

???AEC??A?FC??90?,??ACE??A?C?F,? ?AC?A?C?,∴△AEC≌△A?FC?. ∴AE?A?F.

在△AED和△A?FD中，

???AEC??A?FD?90?,??ADE??A?DF,? ?AE?A?F,∴△AED≌△A?FD. ∴AD?A?D. ∵AB?A?B，

∴△ABA'为等腰三角形. ∴BD?A?A------------7分

29．解：（1）∵x2≥0， ∴x2-1≥-1. ∴x2-1＞-2.

∴min?x2-1,-2???2. ┉┉2分

(2) ∵x2?2x?k??x?1?2?k?1,

∴?x?1?2?k?1≥k?1. ∵min{x2?2x?k,?3}??3，

∴k?1≥?3. ∴k≥?2. ┉┉5分

(3) ?3≤m≤7. ┉┉8分

图2

14

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