五年级奥数专题 周期性问题

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八 周期性问题(A)

年级 班 姓名 得分 一、填空题

1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.

2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____. 3. 按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.

……

4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯.

5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____. 6. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列. 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 10 … 2 9 11 18 … … 3 8 12 17 … … 4 7 13 16 … … 5 6 14 15 … … 47. 把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_____.

7?992517?4567?与0.3?.这两个循环小数在小数点后第_____位,首次同时出现8. 循环小数0.1在该位中的数字都是7.

9. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,……共有1991个数. (1)其中共有_____个1,_____个9_____个4； (2)这些数字的总和是_____.

10. 7?7?7?...?7所得积末位数是_____.

50个

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二、解答题

11. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8?9=72,在9后面写2,9?2=18,在2后面写8,……得到一串数字:

1 9 8 9 2 8 6……

这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

12. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

13. 设n?2?2?2?...?2，那么n的末两位数字是多少？

1991个

14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

八 周期性问题(B)

年级 班 姓名 得分 一、填空题

1. 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_____.

2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图： ……

这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗. 3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色.

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4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_____袋中.

5. 将数列1,4,7,10,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的数349应排在第_____行第_____列.

1 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46

……………………………… ………………………………

96．分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____.

1337. 化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_____. 148. 在一个循环小数0.1234567中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_____和_____这两个数字上.

9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_____. 10. 算式(367367+762762) ?123123的得数的尾数是_____.

17

16 6

15 7 5

18 14 8 4

…… 13 9 3

12 10 2

11 1

二、解答题

11. 乘积1?2?3?4?……?1990?1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第

一个不等于零的数是多少？

5112．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，

64从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

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共产党好共产党好共产党好…… 13． 社会主义好社会主义好社会主义好……

上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_____.

14. 甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_____厘米.

———————————————答 案——————————————————————

1. 二

因为7?4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了

31+30+31+1=93(天).

因为93?7=13…2，所以这年6月1日是星期二. 2． 日

依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有 365?10+2=3652（天）

因为（3652+1）?7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.

[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

3. 39

从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.

因为80?6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13?3=39（个）.

4. 白

依题意知,电灯的安装排列如下:

白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

由73?4=18…1,可知第73盏灯是白灯. 5. 13时.

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分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991?24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.

[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

6. 3

仔细观察题中数表.

1 2 3 4 5 (奇数排) 第一组 9 8 7 6 (偶数排)

10 11 12 13 14 (奇数排) 第二组

18 17 16 15 (偶数排) 19 20 21 22 23 (奇数排) 第三组

27 26 25 24 (偶数排)

可发现规律如下:

(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；

(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.

(3)10?9=1…1，10在1+1组，第1列 19?9=2…1，19在2+1组，第1列 因为1992?9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上. 7. 7 4=0.57142857…… 7它的循环周期是6，具体地六个数依次是 5，7，1，4，2，8 110?6=18…2

因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7. 8. 35

. . . .

因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.

9. 853,570,568,8255.

不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991?7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3?284+1=853(个),9的个数是2?284+2=570(个),4的个数是2?284=568(个).这些数字的总和为

1?853+9?570+4?568=8255. 10. 9

先找出积的末位数的变化规律:

71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1；75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=74?2末位数为1……

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