2015年重庆三诊文科数学试题

2015 年重庆(春)高三、三诊

数 学（文史类）

数学试题卷（文史类），满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再 选涂其他答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要

求的．

R

（1）已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0}， B ? {x | x ? 3 ?0}，则集合 ( （A）{ x | 1 ? x ? 3} （C）{ x | x ???1}

（B）{ x | ? 1 ≤ x ? 3} （D）{ x | x ? 3}

C A) I B ??

（D） 4

（2）已知纯虚数 z 满足 (2 ? i)z ? 4 ? 2ai ，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值为

（A） ? 4

（3）已知函数 f (x) ????

（B） ? 2

? log 2 x,

（C） 2 x ? 0,

则 f (0) ? f ( 2 ) ??

（C）1

? f (x ?1),

（A） 0

x ≤ 0, 1 （B）

2

（D） 3 2

（4）已知变量 x , y 满足约束条件 ??

? x ? 2 y ≥ 2 ??

2 x ? y ≤ 4 ，则 z ? 2x ? y 的最大值为 ??

（A） ?1

2?4 x ? y ≥ ?1

（B）1

（C） 4

（D） 6

（5）已知命题 p : ?x ? R, x ? 2x ? a ? 0 ，则“ a ? 1 ”是“ p 为假命题”的

（A）充分不必要条件 （C）充要条件

（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）以坐标原点 O 为顶点，x 轴的正半轴为始边，角?, ? ,? 的终边分别为 OA,OB, OC ，OC 为 ?AOB 的角平

分线，若 tan? ??，则 tan(? ? ? ) ??

1 3

（A） 1

4

（B） 1 3

2 （C）

3

3 （D） 4

高三考前冲刺测试卷数学（文史类） 第 1 页 共 4 页

（ 7）某几何体的三视图如题（7）图所示，则该几何体的

2

表面积是

（A） 8 ? 2 2

正视图

侧视图

（B） 8 ? 4 2

2

（C）12 ? 2 2

2 2 俯视图

（D）12 ? 4 2

1

3

题（7）图

??

（8）已知函数 f ( x ) ? ax ??2 x 的导函数为 f (x) ，且 f (x) 在 x ???1 处取

2

得极大值，设 g ( x) ?? 1

开始

??，执行如题（8）图所示的程序框图，若输

f ( x)

S ? 0, n ? 1

出的结果大于 2014 ，则判断框内可填入的条件是

2015 （A） n ≤ 2014

否

是

输出 S

（B） n ≤ 2015 （C） n ? 2014 （D） n ? 2015

S ? S ? g ( n) n ? n ?1

结束

2

题（8）图

（9）直线 l 过抛物线 C : y ? 4x 的焦点，且与抛物线 C 交于 A, B 两点，过点 A, B 分别向抛物线的准线作垂线，

垂足分别为 P , Q ，则四边形 APQB 的面积的最小值为

（A） 6

2（B） 8

（C） 8 2

（D）10 2 （10）已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c (b ? a) ，若?x ? R , f ( x) ≥ 0 恒成立，则 a ? b ? c 的最小值为

（A）1

（B） 2

b ? a

（D） 4

（C） 3

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）某人在 5 场投篮比赛中得分的茎叶图如题（11）图所示，若五场比赛的

平均得分为11分，则这五场比赛得分的方差为

．

0 7 9 1 1 3 x

（12） ?ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 a ?? 2 , b ??3, B ? 60 ，

o

题（11）图

则 A ??

．

}的前 n 项和为 a4

． （13）设公差不为零的等差数列{a S ，若 S 、a 、S 成等比数列，则 ??

12 3 n n

a1 uuur uuur uuur

（14）在 ?ABC 中， D 为 BC 边上任意一点， O 为 AD 的中点，若 AO ? ? AB ? ? AC ，其中 ? , ? ? R ，则

???????? ．

（15）已知点 P(0,?1),Q(0,1) ，若直线 l : y ? mx ? 2 上至少存在三个点 M ，使得 ?PQM 为直角三角形，则实

数 m 的取值范围是

．

高三考前冲刺测试卷数学（文史类） 第 2 页 共 4 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分 13 分）

某印刷厂同时对从 A, B,C 三个不同厂家购入的纸张进行抽样检测，从各厂家购入纸张的数量（单位：件） 如下表所示，质检员用分层抽样的方式从这些纸张中共抽取 6 件样品进行检测．

厂家

数量 A 16 B 8 C 24 （Ⅰ）求这 6 件样品来自 A, B,C 各厂家的数量；

（Ⅱ）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往某机构进行专业检测，求这 2 件样品来自同一生产厂家的概率．

（ 17）（本小题满分 13 分）

3??已知函数 f ( x) ? sin(x ? 2 ) cos(2 ? x) ? cos x cos(? ? x) ．

（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期；

?

? 3??

（Ⅱ）当 x [ 4 , 4 ] 时，求 f ( x) 的值域．

（ 18）（本小题满分 13 分）

已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ， a1 ? a3 ?

3

2 ， S5 ? 5 ．

（Ⅰ）求数列{an }的通项公式； （Ⅱ）已知数列{bn }满足 anbn ?

1

4 ，求数列{bnbn ?1} 的前 n 项和．

高三考前冲刺测试卷数学（文史类） 第 3 页 共 4 页

（19）（本小题满分 12 分）

A D

B

如题（19）图，三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AA1 ? 平面 A1B1C1 ，

AB ? AC ? AA1 ? 2 ， AB ? AC ， D 为 AC 中点，点 E 在棱 CC1

上，且 AE ? 平面 A1B1D ．

（Ⅰ）求 CE 的长；

（Ⅱ）求三棱锥 E ? A1BD 的体积．

C

E

A1

C1 题（19）图

B1

（20）（本小题满分 12 分）

已知函数 f ( x ) ? ax ? ln x ， g ( x ) ? e ? 2x ，其中 a ? R ． （Ⅰ）当 a ? 2 时，求函数 f ( x) 的极值；

（Ⅱ）若存在区间 D ? (0, ??) ，使得 f ( x) 与 g ( x) 在区间 D 上具有相同的单调性，求 a 的取值范围．

ax

如题（21）图，椭圆 C : ? ?1 ( a ? b ? 0) 的离 a2 b2

（ 21）（本小题满分 12 分）

x2y2

心率为 2 ， F1、F2 为其左、右焦点，且| F1 F2 |? 2 ，

2

l

y

P

Q

O

F2

x

动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点．

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）过 F1、F2 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为

F1

P、Q ，求四边形 PF1 F2 Q 面积的最大值．

题（21）图

高三考前冲刺测试卷数学（文史类） 第 4 页 共 4 页

2015年重庆(春)高三考前冲刺

测试卷

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1～5 BDBCA

6～10 DDBBC

2（10）提示：由题知a?0，且??b?4ac≤0即

cbcb()2≤4，令?x,?y则有

aaaax2x?1且y≥，而a?b?c14?x?yy?2??1?，

b?ax?1x?1即需求点P(x,y)与A(1,?2)的连线

的斜

率的最小值，由线性规划知，当直线

x2PA与抛物线y?(x?1)相切时，

4PA的斜率最小，易求

得为2，所以故选C．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）8 ≥

（12）45

?a?b?c的最小值为3，

b?a（13）7

（14）

1 2

（15）m≤?3或m3

三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2,1,3； ??6分

（Ⅱ）从6件中任选2件，共有15种不同的结果，

其中2件均来自A厂有1种，2件均来自

C厂有3种，

?P?1?34?． ??13分 1515（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

11?cos2x2?1f(x)?cosxsinx?cos2x?sin2x??sin(2x?)?22242

所以函数

分

（Ⅱ）

f(x)的最小正周期为?；??6

?3???5??2x?[,]?2x??[,]?sin(2x?)?[?,1]44422?4144 ?f(x)?[?1,]．??13分

2（18）（本小题满分13分）

33?a2?，214S5?5a3?5?a3?1，?d?

4n?1故an?；??6分

411（Ⅱ）anbn??bn?，

4n?11111?b1b2???bnbn?1??????2?3(n?1)(n?2)2n?2解：（Ⅰ）a1?a3?2a2?.??13分

（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）AE?平面A1B1D?AE?A1D，又

ACC1A1是边长为2的正方形，D为AC的中点，故E为CC1的中点，

?CE?1； ??6分

（Ⅱ）?AA1?平面ABC ?AA1?AC 又

AB?AC ?BA?平面ACC1A1．

121?VE?A1BD?VB?A1DE??2?S?A1DE??(4??1?1)?1332．??12分

（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当a1?2时，f?(x)?2?，故当

x1x?(0,)时，f(x)单调递减；当

12x?(,??)时，f(x)单调递增；

21所以，f(x)在x?处取得极小值

21f()?1?ln2，无极大值； ??52分

（Ⅱ）f?(x)?a?当a1ax，g?(x)?ae?2 x?0时，g?(x)?0，即g(x)在R上

1单调递增，而f(x)在(,??)上单调递增，

a故必存在D?(0,??)，使得f(x)与

g(x)在D上单调递增；

1故f(x)在?0，

x(0,??)上单调递减，而g(x)在(0,??)上单调递

当a?0时，f?(x)??增，

故不存在满足条件的区间D；

1?0时，f?(x)?a??0，即f(x)在

x12(0,??)上单调递减，而g(x)在(??,ln(?))上

aa当a单调递减，

12(ln(?),??)上单调递增，若存在存在aaD?(0,??)，使得f(x)与g(x)在D上单调性相

同，则有

12ln(?)?0，解得a??2； aa综上，a?0或a??2. ??12分

（21）（本小题满分12分）

2，故a?2,b?1，2x22?y?1；??4分 故椭圆C的方程为2解：（Ⅰ）由题知c?1,e?（Ⅱ）当k当k?0时，S四边形PF1F2Q?2；

?0时，令|PF1|?d1,|PF2|?d2，

?k?mk?m|,d2?||，则d1?|22?k1?kd11?d2|PQ|?||.

k?y?kx?m?由?x2得

2?y?122??2(1?2k)x?4kmx?2m2?2?0

由题知

??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0即

m2?1?2k2

所以

2d12?d212mS四边形PF1F2Q?(d1?d2)?|PQ|?||?||22k1?k222，又m?1?2k，故|m|?1

所以

S四边形PF1F2Q?|2m4|=?2；

1?k2|m|?1|m|综上，当k?0时，S四边形PFFQ取得最大

12值2. ??12分

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