圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦AB的长度为

46 522点评：本题抓住l1的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数a,b，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：

例2、过点P?4,1?作抛物线y2?8x的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。

思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦

的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?，

22则有y1?8x1,y2?8x2，两式相减，得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2?

又x1?x2?8,y1?y2?2 则k?y2?y1?4，所以所求直线AB的方程为y?1?4?x?4?，即4x?y?15?0.

x2?x1解法2：设AB所在的直线方程为y?k?x?4??1

??y?k?x?4??12 由?，整理得ky?8y?32k?8?0.

2??y?8x 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2? 又∵P是AB的中点，∴

8， ky1?y28?1，∴?2?k?4 2k所以所求直线AB的方程为4x?y?15?0.

?4x?y?15?0由?2 整理得，y2?2y?30?0，则y1?y2?2,y1y2??30 ?y?8x有弦长公式得，AB?1?k12y1?y2?1?k12??y1?y2?2?4y1y2?527. 2点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是

利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为： y?3?x?2?，

?y?3?x?2??2代入椭圆C的方程?x2y2，化简得，5x?18x?6?0

?1??62?由韦达定理知，x1?x2?186,x1x2? 55由l2过右焦点，有焦半径公式的弦长为AB?2a?e?x1?x2??46. 5 即弦AB的长度为

46 5点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点

弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.

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