2011中考复习二轮材料开放探究专题

2011中考复习二轮材料

开放探究专题

江苏省赣榆县罗阳中学 李金光

第一部分 讲解部分

一、专题诠释

开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．

二、解题策略与解法精讲

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．

4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．

三、考点精讲

（一）开放型问题 考点一：条件开放型：

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1：（2010天津市中考题）如图1，已知AC FE，BC DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一．个．条件，这个条件可以是 ．

A

D C

E

图1

F

分析：注意到要判定的三角形全等，题设给出两对边相等，缺少另一对边，或夹角对应相等，所以要证明△BDE≌△FDE，只需要添加AC=EF,或∠C=∠E．

解： C E（答案不惟一，也可以是AB FD或AD FB）．

评注：解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件．

考点二：结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2：（2010四川达州中考题）请写出符合以下两个条件的一个函数解析式 .①过点（-2，1）， ②在第二象限内，y随x增大而增大． 分析：在第二象限内，y随x增大而增大的函数有好多，一次函数、反比例函数、二次函数中都有这样性质的函数，于是可设解析式，再由条件过点（－2，1）得出函数解析式．

解：y=－2x，y=x＋3,y=－x2＋5等．

评注：给出问题的条件，让学生根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多

样性，这就是结论开放问题．这类问题的解题思路：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

考点三：策略开放型：

一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者善于标新立异，优化解题方案和过程. 经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等.其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． 例3：（2010浙江台州中考题）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（ 2）=1．

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b} {c，d} {a c，b d}．

解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．

（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”

{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC. ②证明四边形OABC是平行四边形.

（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

图1

分析：要解这一题，必须深度理解“平移量”的表达形式，及平移量表达的真正意义，及运算规则．

解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． {1，2}+{3，1}={4，3}．

（2）①画图．最后的位置仍是B． ② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2） ∴OC=AB=2 22=5，OA=BC=2 12=，

∴四边形OABC是平行四边形．

（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．

评注：策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程．

考点四：编制开放型：

此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．

例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． ．．．．分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．

解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？

设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得

18001800

·90%= xx+4

解得x=36 经检验x=36是原方程的根 ∴x+4=40

答：1班人均捐36元，2班人均捐40元

解法二：求两个班人数各多少人？ 设1班有x人，则根据题意得

18001800

+4=

x90x%

解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根

∴90x % =45 答：1班有50人，2班有45人．

评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．

（二）探究型问题 考点五：条件探究型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目． 例5：（2010四川眉山中考题）如图，Rt△AB C 是

FB

由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜B'

C'

边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE； （2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角

C

形，并说明理由．

分析：（1）证明两个三角形相似首先要考虑到方法是找出这两个三角形有两个对应角分别相等，：△ACE、△FBE已经知道一组对顶角对应相等，还须知道另一组角对应相等，根据旋转的性质，不难得出：△BAB 、△CAC 都是等腰三角形，且顶角度数相等，这样易求得∠ACC =∠ABB ，由此，便可推出△ACE∽△FBE.第（2）问是因果索因，答题时可先假设△ACE≌△FBE，再一步步地推出这两个三角形全等时 、 之间满足的关系．

解：（1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB ∴∠CAC =∠BAB

∴∠ACC =∠ABB 又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE

（2）解：当 2 时，△ACE≌△FBE． 在△ACC 中，∵AC=AC ，

180 CAC'180

90

22

在Rt△ABC中，

∴ ACC'

∠ACC +∠BCE=90°，即90 BCE 90 ， ∴∠BCE= ． ∵∠ABC= ，

∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．

评注：本题是探索性开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．

考点六：结论探究型：

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2010黄冈中考题）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．

分析：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FEC可证△HAE≌△CEF，从而得到 AE＝EF．

解：AE＝EF，理由如下：

∵BH＝BE，BA＝BC ∴AH＝CE ∵AD∥BE

∴∠DAE＝∠BEA

∵∠HAD＝∠ABE＝90° ∴∠HAE＝∠FEC ∵∠H＝∠FCE＝45° ∴△HAE≌△CEF ∴AE＝EF．

评注：本题是探究线段相等的问题，这类问题常用到三角形全等来证明，正方形四条边相等，四个角相等，对角线将正方形分成两个等腰直角三角形，再找全等的条件时，应想到这些性质．

考点七：规律探究型：

此类问题在一定的条件状态下，需探究发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目． 例7：（2010广东汕头中考题）阅读下列材料：

1

(1×2×3－0×1×2)， 31

2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，

31

3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，

3

1×2 ＝

由以上三个等式相加，可得 1×2＋2×3＋3×4＝

1

×3×4×5 ＝ 20． 3

读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ _________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝

1

(1 2 3 0 1 2) (2 3 4 1 2 3) n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) 31

n(n 1)(n 2)；照此方法，同样有公式： 3

1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋n×(n+1)×(n+2)＝

1

× (1 2 3 4 0 1 2 3) (2 3 4 5 1 2 3 4) n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 4

1

n(n 1)(n 2)(n 3)． 4

1

解：（1）∵1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，

3

1

2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，

31

3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，

3

…

1

(10×11×12－9×10×11)， 3

1

∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．

3

1

（2）n(n 1)(n 2)．

3

10×11 ＝

（3）1260．

评注：阅读理解型题一般先给出一段文字，让学生通过阅读领会其中的知识内容、方法要点，并能加以应用，解决后面提出的问题.解决这类问题审题最重要①先快读，把握大意.留心情景、数据、关键句，②细读,注意关键数据和语意,提炼有用的“数学信息”，具体解决问题,运用函数、方程、不等式或几何知识（模型）快速解答.检验不可少，因这类问题背景多样，与应用题类似，在解答完成后要有“验证”这一步骤．

考点八：存在探究型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目． 例8：（2010江苏徐州中考题）如图，已知二次函数y=

123

与x轴交于B

、x x 4的图象与y轴交于点A，

42

C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

分析：（1）由二次函数表达式求得点A、C的坐标；（2）先用待定系数法求出AC的解析式，然后分DE=DC、ED=EC和CD=CE三种情况讨论；（3）设P m, 求出m与S之间的函数关系式，利用二次函数的关系式求解． 解：（1）A（0，4），C（8，0）. (2) 易得D（3，0）,CD=5.

123 m m 4 ，42

b 4

设直线AC对应的函数关系式为y kx b，则 ，解得

8k b 0

∴y

1 k

2， b 4

1

x 4. 2

①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3，∴DA=5，∴E1(0,4). ②当ED=EC时，可得E2(

115,). 24

EGCGCE

.

OAOCAC

③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴即EG CG

E3(8 . 综上，符合条件的点E有三个：E1(0,4)，

115

E

2(,)，E3(8 .

24

（3）如图，过点P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q. 设

P

123 m, m m 4

42

，则

Q m,

1 m 4 . 2

1 123 1

m m 4 m 4 m2 2m，

24 4 2

①当0 m 8时，PQ=

12 1

S APC S CPQ S APQ 8 m2 2m m 4 16

2 4

.

∴0 S 16. ②PQ=

当

2 m 0

时，

1 123 12 m 4 m m 4 m 2m， 242 4

12 1

S APC S CPQ S APQ 8 m2 2m m 4 16

2 4

∴0 S 20.

故S=16时，相应的点P有且只有两个．

评注：存在型探索题是在题设条件下探索某个数学对象（数值或图形）是否存在的问题.在设问方式上通常问“是否存在”.这类问题的求解策略是：假设对象存在，运用条件进行合理的推断过程，若得到相容的，合理的结论，则先前的假设成立，对象存在;若出现矛盾，则先前的假设不成立．

四、真题演练 1．（2010年浙江温州中考题）若一个反比例函数的图象位于二、四象限，则它的解析式可

能是 ．（写出一个即可） 2．（2010钦州市中考题）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ _（只填一个）．

C

D

3．（2010福建宁德中考题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的

前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明．

A

F

A

第2题

B

B D C

4．（2009年江苏省中考题）一辆汽车从A地驶往B地，前

1

路段为普通公路，其余路段为3

高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决．．．．．．．的问题，并写出解答过程．

第二部分 练习部分

1．（2010年江苏盐城中考题）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 2．（2010山东德州中考题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是只要写出一种即可）．

3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为

___________．(任意给出一个符合条件的值即可)

4．（2010永州市中考题）如图，要使△ADB～△ABC，还需要增添的条件是_____________（写出一个即可）． 5．（2010浙江金华中考题）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．

（1）你添加的条件是： ▲ ； （2）证明： 6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：

命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x与双曲线y ＝

1

的一个交点; x

B

A

8

命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x与双曲线y ＝ 的一个交

x

D

(第5题图)

C

点;

27

命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x与双曲线y ＝ 的一个交

x

点;

… … ．

（1）请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数); （2）证明你猜想的命题n是正确的．

7．（2010江苏南通中考题）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF． 能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明． ．．．．．．．

供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB=ED； ②BC=EF； ③∠ACB=∠DFE．

D

（第7题）

E

8．（2010湖南娄底中考题）如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN//AB，ME DC，NF DC，垂足分别为E、F．

（1） 求梯形ABCD的面积；

（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；

探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由

.

参考答案： 真题演练：

1．【分析】反比例函数的一般形式为y＝（k≠0），当k<0时，它的图象位于第二、四象限，故所求解析式为y＝ 【答案】y＝

k

x

2

（答案不唯一）． x

2

（答案不唯一） x

2．【分析】要使△ABC≌△BAD．已知：BC = AD，AB=AB，根据“SAS”可添加∠CBA＝∠DAB； 根据“SSS”可添加AC =BD.

【答案】AC =BD或∠CBA＝∠DAB 3．解：解法一：添加条件：AE＝AF，

证明：在△AED与△AFD中，

∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，

证明：在△AED与△AFD中，

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，

4．解：本题答案不惟一，下列解法供参考．

解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ 解：设普通公路长为xkm，高度公路长为ykm．

∴△AED≌△AFD（ASA）.

2x y，

x 60，

根据题意，得 x解得 y

y 120． 2.2. 60100

答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．

解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh．

x y 2.2， x 1，

根据题意，得 解得

60x 2 100y.y 1.2.

答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h．

练习部分： 1．【分析】本题属于开放性试题，考查函数的解析式的知识，可以写一次函数y=-x，也可以1

写反比例函数y=- 还可以写二次函数y=x2-2x.

x1

【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x，答案不唯一

x

2．【分析】顺次连结任意四边形各边中点所得四边形都是平行四边形，本题中这个“二代”四边形为菱形，所以各边相等，且每一组对边是原四边形对角线的一半，这样一来，原四边形的对角线必须相等.

【答案】矩形或正方形或等腰梯形或对角线相等的四边形.

3．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝b2 4a m 12 m2 12≥0，即m2≥12． 【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等 4．【分析】根据相似三角形的判定定理（1）两角对应相等两三角形相似，（2）两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，（3）三边对应成比例两三角形相似。此题有个公共角 Ａ，

2

所以应该应用（1），（2）两个判定方法，可补充∠ADB＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或

ABAD

.

ACAB

【答案】∠ADB＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或

ABAD

.

ACAB

5．（1）BD DC(或点D是线段BC的中点)，FD ED，CF BE中

任选一个即可﹒

（2）以BD DC为例进行证明： ∵CF∥BE，

∴∠FCD﹦∠EBD．

又∵BD DC，∠FDC﹦∠EDB， ∴△BDE≌△CDF

n3

6．(1)命题n；点(n , n) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(n是正整数)．

x

2

(2)把

x n y n

2

代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，

∵左边=右边，∴点(n，n2)在直线上．

同理可证：点(n，n2)在双曲线上，

n3

∴点(n，n)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确．

x

2

7．由上面两条件不能证明AB//ED.

有两种添加方法.

第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED

证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以 ABC DEF 所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED

第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE

证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，所以 ABC DEF 所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED

8．做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因为AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，

所以梯形ABCD的面积是

(AB CD) AG

=18.（2） 设

2

MN=x，则EF=MN=x，所以DE=

DC EF10 x

=.因为ME⊥DC，NF⊥DC，所以ME//AG, ∠22

MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以

10 x

3(10 x)MEDEME

=，所以=，所以ME=，

8AGDG34

3(10 x)330375

所以四边形MEFN的面积是S=MN·ME=x·= x2 = (x 5)2 .所以当

8888875

x=5时，四边形MEFN的面积的最大值是.（3）四边形MEFN能为正方形，且边长为x，则

8

10 xxMEDE，所以x=30.此时四边形的面积是由（2）知道，=，所以=3AGDG114

30900

. x2 ()2

11121

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xt81.html