19-3波函数、薛定谔方程_12_09

19-3

波函数

薛定谔方程薛定谔(Erwin Schrodinger,887~1961) 奥地利物理学家.

1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 .量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学(1928 年，狄拉克): 描述高速运动的粒子的波动方程 .

一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1、自由粒子的波函数

设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动 (设沿X轴),其动量、能量保持恒定。

E const E h恒定！

P const h p

X

恒定！

从波动观点看来：这种波只能是单色平面波

单色平面简谐波波动方程为：y( x, t ) A cos 2 ( x t )

用指数形式表示：

y( x , t ) Ae其波函数为： 依德布罗 意关系式 波函数：

i 2 (

x

t )

0 e E h , i

i 2 (

x

t )

h p

( r , t ) 0e

( p x Et )

0e

i ( Et p x )

注意：波函数一般要用复数表示！

波函数可写为：

方向传播的三维情况， 考虑到自由粒子沿 r (r , t ) 0 e ( Et p r ) i

其中波函数模的平方为：

2

0e

i ( Et p r ) i

( Et p r )

0e

0

2

二、波函数的统计铨释(波恩Born)

代表什么？只有实践才是检验真理的标准，看电子的单缝衍射：1、大量电子的一次性行为：

粒子的观点 极大值 极小值 较多电子到达 较少电子到达

波动的观点波强度大， 或 大2 0 2

波强度小， 或 小2 0 2 0 2

2

统一地看：粒子出现的概率正比于 或 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间

2、一个粒子多次重复性行为

U较长时间以后 粒子的观点 极大值 极小值

波动的观点 波强度大， 或 大2 0 2 0 2 2

较多电子到达较少电子到达

波强度小， 或 小2 0 2

中间值 介于二者之间 波强介于二者之间 统一地看：粒子出现的概率正比于 或

结论：1)某 t 时刻在空间某点r处粒子出现的概率与该 时刻、该地点波函数模的平方成正比。

波函数 是描述粒子在空间某处概率分布的“概率振幅” 简称概率幅。 (1)概率密度 概率幅模的平方

2

2 0

-在 t 时刻粒子在某 r 处单位体积内出现的概率。

(2)概率：

代表 t 时刻 在 r 处单位体积中发现一个粒子的概率

t 时刻在 r 附近dV内发现粒子的概率为：

dW

2

dV dxdydz*

结论：2)波函数所描述的是处于相同条件下，大量 粒子的一次性行为

和一个粒子多次性重复 性行为。

结论：3)波函数所代表的波是概率波。 在| |2大的地方微观粒子出现多，| |2小的地方粒子出 现少；粒子按波的形式去分配粒子出现的概率。 例)求一个能量为E、动量为P的自由粒子的概率密度。 解：波函数

0ei

( Et P r ) i

0 e 2 0

( Et P r )

i

0e

( Et P r )

const

( 的共轭复数)

且与位置无关。在全空间粒子出现的概率一样

3、波函数的性质： 1) 单值 2) 有限 3) 连续

4) 满足归一化条件(Narmulisation)

W

dV 1 (归一化条件)

因为粒子在全空间出现是必然事件

三、薛定谔方程： 薛定谔:波函数，能解很多好东 西。若问这是为什么？ 谁也不知道！ 1、自由粒子的 Schrö ding 方程 适用条件 υ << c,低速微观粒子

E Ek E p(非相对论条件下讨论，低速微粒)

1)一维自由粒子的schrö ding方程 设有一作匀速直线运动的自由粒子沿 X 轴运动。 E , P不变 与 恒定 , 其波函数为：

0e(1)式对 t 求导： t

i

( Et Px x )

( 1 )

i

E ( 2 )

(1)式对 x 求二阶偏导数： 2

x

2

t

P

2 x 2

( 3)

( 2)式 i

i

E (4)

i 2

t

E (4)

( 3)式 ( / 2m ) 2

2 2

2m x

P

2 x

(5)

2m

2 自由粒子非相对论条件下总能量： Px E Ek 2m (4)、(5)式比较：

i

t

2

2 2

2m x

(6)

自由粒子一维含时薛定谔方程

2)势场中的薛定谔方程 若粒子处在势场中，势能为U(x,t),总能量：E Px2 2

Px

U ( x , t ) (7 )

2m E U ( x , t ) (8) 2m

i

t

2

2 2

2m x

U ( x , t ) (9)

——势场中的一维含时薛定谔方程

若为三维粒子，薛定谔方程为：i t 2

2m x

(

2 2

2

y

2

2

z

2

) U ( x , y , z , t ) (10)

引入拉普拉斯算符三维含时薛定谔方程： t 2

2

2 2

x

2 2

y

2 2

z

i

U ( x . y . z .t ) (11)2

2m

3)定态薛定谔方程(重点) 定态，势函数不显含时间，其概率分布也不随时间变化. t 2

i

2m x

(

2 2

2

y

2

2

z

2

) U(x , y , z ,t)

用分离变量法将波函数写为：

( x . y . z ) f ( t ) (12)(12)式代

入方程 其解：

f (t ) e

i Et

(13)

指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”, 故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。

2

( x . y . z ) U ( x . y . z ) E ( x . y . z ) (14)2

2m

整 理

2

2m 2

( E U ) 0 (15)

——定态薛定谔方程

( x , y , z)

U U ( x , y , z)

若定态薛定谔方程已解出为： 则粒子的波函数：

( x , y , z) i Et

( x , y , z ) ( x , y , z )e

注意：1)定态波函数为一空间坐标函数 (r ) 与一时间函数 f (t ) 的乘积。

2)对于定态，除能量 E 有确定值外，其几率 分布也不随时间变化。

2、薛定谔方程应用举例 1)一维势阱 许多情况，粒子束缚在一个很小空间(束缚态)。

+

+

+

对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想 反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受 到强烈的反射，跃出需无限大能量

U

0

E

ma

, x 0. x a U ( x) 0, 0 x a—此称无限深势阱 若是经典粒子，粒子如何运动？

E 可取任意值，且各处出现的概率一样 量子力学对粒子的分析： 2

2m 2

( E U ) 0 (15)

粒子无法越过势阱故只须考虑0 < x < a区间的波函数：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xwym.html