山东建筑大学线性代数作业答案修改版(2012.12)

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1 第一章

行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）=b

a c

a c

b c b a

ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （2）=2

22

111

c b a c b

a 222222c

b ba a

c ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）2 4 1 3；

（2）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；

（3）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.

解（1）逆序数为3. （2）逆序数为2

)1(-n n .（3）逆序数为)1(-n n . 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为

43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

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2 4.计算下列各行列式：

解 (1)2605232112131412-24c c -2

60503212

2130

412-

24r r -0412032122130412- 14r r -0

00003212

2130

412-=0 (2)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e

c b e c b e

c b adf --- =1

111111

11---adfbce =abcdef 4 (3)d c b a 100110011001---21ar r +d

c b a ab 1001100

110

10---+ =12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +01

0111-+-+cd c

ad a

ab

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3

=2

3)1)(1(+--cd

ad ab +-+11

1=1++++ad cd ab abcd

5、证明： (1)

bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开

按第一列左边

bz

ay by ax x by ax bx

az z

bx az bz ay y b +++++++

++++++002y by ax z

x bx

az y z bz ay x a 分别再分

bz

ay y

x

by

ax x z bx

az z y b +++

z

y

x y x z

x z y b y x z

x z y z y x a 33+分别再分

右边=-+=233)1(y

x

z x z y z

y x b y

x

z

x z y

z y x a (2) 2

2222

2

2

2

22222222

)3()2()12()

3()

2()

12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=

d d d d d c c c c c

b b b b b a a a a a 左边

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4 9

644129644129

644129

644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c

9

6449

6449

6449

64422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列9

6441964419

64419

64412222+++++++++d d d c c c b b b a a a

94949494946422

2224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项0641641641641222

2=+d

d

d c c

c b b

b a a

a (3) 4

44444422222220

001a d a c a b a a d a c a b a a

d a c a b a ---------=左边 =)()()(2222222222

22222a d d a c c a b b a d a c a b a

d a c a b ---------

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5 =)

()()(1

11))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---

=?---))()((a d a c a b

)()()()()(0

0122222a b b a d d a b b a c c a b b b d b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b

)()()()(1

12222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a -----)

)((d c b a d c +++- (4) 用数学归纳法证明

.,1,2212

1

22命题成立时当a x a x

a x a x

D n ++=+-==

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即

,122

111-----++++=n n n n n a x a x a x D

:1列展开按第则n D

1

110

010

001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n

右边=+=-n n a xD 1

所以，对于n 阶行列式命题成立.

班级 姓名 学号 6

6、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：

(1)

a a

D n 1 1?

??=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00?????????????????????????????????=)

1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )

1()1(2 )1(-?-?

???-+n n n a a a n

n n n n a a a +?

??-?-=--+)2)(2(1 )1()1(

=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).

(2)

x

a a a x a a a x D n ?????????????????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

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7

a

x x a a

x x a a x x a a

a a x D n --??????????????????--???--???=00

0 0 00 0 ,

再将各列都加到第一列上, 得

a

x a

x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=00

00 0 000 0

0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.

(3)n

n

a a a D +++=

11

1

11111121

,,433

221c c c c c c ---

n

n

n n a a a a a a a a a a +-------100

100010000100010001000011433221

展开（由下往上）

按最后一列

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8 ))(1(121-+n n a a a a n

n n a a a a a a a a a --------0

0000000000

00000

0000

0000

0002

2433221

n

n n a a a a a a a a ----+--00000000

000

000

0001

133221 ++

n

n n a a a a a a a a -------00000000

0000

000

001

143322

n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑+==n i i n a a a a

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9 (4) n

n n

n n d c d c b a b a D 0001

11

12

=

n

n n n n n d d c d c b a b a a 0

000000

011111

111----

展开按第一行

00

000)1(1

1111

11

112c d c d c b a b a b n n n n n n n ----+-+

2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开

由此得递推公式：

222)(--=n n n n n n D c b d a D

即 ∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 2

22)(

班级 姓名 学号 10 而 11111

11

12c b d a d c b a D -==

得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)( (5)j i a ij -=

43214012331012

2

21011

3210)det(

--------==n n n n n n n n a D ij n

,3221r r r r --0

432111*********

11111

1111

--------------n n n n

,,141312c c c c c c +++ 1

5242321022210

02210

00210

0001---------------n n n n n

=212)1()1(----n n n

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11 7.用克莱姆法则解下列方程组：

解 1121351324

1211111----=D 8

12073503

2101

111------=

145008130032101111---=142142

000541003

2

101

111-=---=

112105132412211151------=D 11

21051329050

1

115----=

1121023313090509151------=23

3130905011

2109

151------= 1202300461000112109151-----=142

0003810011

2109

151----=142-= 112035122412111512-----=D 8

1150731203

2701

151-------=

班级 姓名 学号 12 313900

112300

23101151

-=2842840001910023101151-=----= 42611013

52324221

1511

3-=----=D 14202132132212

15111

4=-----=D

1,3,2,144332211-========∴D

D x D D x D D x D D x 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ?????=++=++=++0200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解 μλμμμλ

-==1

2111113D ，

齐次线性方程组有非零解，则03

=D 即 0=-μλμ

, 得 10==λμ或 不难验证，当,10时或==λμ

该齐次线性方程组确有非零解.

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13 第二章 矩阵及其运算

1﹑已知两个线性变换,z z y z z y

z z y ,y y y x y y y x y y x ?????

+-=+=+-=?????++=++-=+=3

233122

1132133212311323542322

求从变量321z ,z ,z 到变量321x ,x ,x 的线性变换。

解 由已知

????? ????

??? ??-=?????

??22

1321514232102y y y x x x ??

??

? ??????? ??--????? ??-=321310102013514232102z z z ???

?

?

??

?????

??----=32

1161109412316

z z z

所以有 ?????+--=+-=++-=3

21332123

2111610941236z z z x z z z

x z z z x

2﹑设,B ,A ????

?

??--=?????

??

--=150421321111111111求A AB 23-及B A T .

解 A AB 23-????? ??--????? ??--=1504213211111111113????

?

??---11111111

12

???

?? ??

-=0926508503?????

??---1111111112???

?

?

??----=22942017222132

????? ??--????? ??--=15042132

1111111111B A T ????

?

??-=092650850.

班级 姓名 学号 14 3﹑计算；

⑴ ????

? ??????? ??-127075321134

解：????? ??????? ??-127075321134????? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374????

? ??=49635.

⑵ ()21312-????

? ??

解：()21312-????? ??????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2????

? ??---=632142。 4．设??

? ??=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ??? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ; ??

? ??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ??

? ??=101λk A k 当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时

??

? ??+=??? ????? ??==1)1(01101101λλλk k A A A k k 由数学归纳法原理知:??

? ??=101λk A k .

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15 5﹑设,A ????

? ?

?=λλλ0010

01求k A . 解 首先观察 ????? ??????? ??=λλλλλλ0010010010012A ????? ??=222002012λλλλλ, ????

? ??=?=3232323003033λλλλλλA A A 由此推测 ??????

? ??-=---k

k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121 )2(≥k (***)

用数学归纳法证明: 当2=k 时,显然成立. 假设k 时成立，则1+k 时，

????? ????????

? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ??????

? ??+++=+-+--+1

1111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ

由数学归纳法原理知: (***)成立.

6﹑设B A 、都是n 阶对称阵,证明AB 是对称阵的充要条件是BA AB =. 证明： 由已知：A A T = B B T =

充分性：BA AB =?A B AB T

T =?)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.

必要性：AB AB

T =)(?AB A B T T =?AB BA =.

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16 7．设??? ??=3121A , ??

? ??=2101B ，问： (1)BA AB =吗?

(2)2

222)(B AB A B A ++=+吗?

(3)22))((B A B A B A -=-+吗? 解 (1)??? ??=3121A , ??? ??=2101B . 则??? ??=6443AB ??

? ??=8321BA BA AB ≠∴ (2) ??? ????? ??=+52225222)(2B A ??

? ??=2914148 但=++222B AB A ??? ??+??? ??+??? ??43011288611483??

? ??=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+

(3) =-+))((B A B A =??? ????? ??10205222??

? ??9060 而 =-22B A =??

? ??-??? ??430111483??? ??7182 故 22))((B A B A B A -≠-+

8．举反例说明下列命题是错误的:

（１）若02=A ,则0=A ;

（２）若A A =2,则0=A 或E A =;

（３）若AY AX =,且0≠A , 则Y X =.

解 (1) 取??

? ??=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取???

??=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取??? ??=0001A , ??

? ??-=1111X , ??? ??=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠.

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17 9﹑已知线性变换,y y y x y y y x y y y x ?????++=++=++=3

213321232113235322求从变量321x ,x ,x 到变量321y ,y ,y 的线性变换。

解：11223322

1315,323x y x y x y ??????

? ???

= ? ??? ? ?????????

所以1

111

222333221749315637,323324y x x y x x y x x ---?????????? ? ? ? ???

==- ? ? ? ??? ? ? ? ???-??????????

即?????-+=-+=+--=3

21332123

211423736947x x x y x x x

y x x x y .

10﹑求下列方阵的逆阵：

⑴ ???

?

??5221

解：???

??=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-?=-?==A A A A ???

??--=??? ??=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11???

??--=1225.

⑵ ??

???

cosθ-sinθ

sinθcosθ 解：01≠=A 故1-A 存在

θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而 ???

??-=-θθθθcos sin sin cos 1A .

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（3） ???????

? ??n a a a a 00000000

0000321 )0(21≠a a a n 解： 由对角矩阵的性质知 ????????? ?

?=-n a a a A 10011211 .

11﹑解矩阵方程：

⑴ ???? ??-=????

? ??--234311*********X 解：1

111012112234311-????? ??--??? ??-=X ????

? ??---??? ??-=03323210123431131???? ??---=32538122 ⑵ ????

? ??---=????? ??????? ??021102

341010100001100001010X 解：1

1010100001021102341100001010--????? ??????? ??---????? ??=X ????? ??????? ??---????? ??=010100001021102341100001010????

? ??---=201431012.

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19

12、利用逆阵解线性方程组：?????=++=++=++3

5325221

32321321321x x x x

x x x x x .

解：解、 (1) 方程组可表示为 ???

?

? ??=?????

??????? ??321153522321321x x x

故 ???

?

? ??=?????

??????? ??=??

???

??-0013211535

223211

32

1x x x

从而有 ?????===0

01

321x x x .

13、设0=k A （k 为正整数）,证明：()121--++++=-k A A A E A E . 证明： 一方面， )()(1A E A E E --=-

另一方面，由O A k =有

)

()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-

故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-

两端同时右乘1)(--A E

就有121)(--++++=-k A A A E A E .

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20 14、设??

? ? ???

033A =110-123,AB =A +2B , 求B .

解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(

故A E A B 1)2(--=????? ??-????? ??---=-3210113301210113321???

?

?

??-=011321330.

15、设Λ=-AP P 1, 其中????

??-=Λ????

??--=200

1114

1,P , 求11

A .

解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A

3=P ???

??-=*1141P ???

??--=-1141311P

而 ???

??-=??? ??-=Λ11111120012001

故 ????

?

?

??--??? ??-??? ??--=31313431200111411111A ???

??--=68468327322731.

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21 16.设矩阵A 可逆，证明其伴随阵*A 也可逆，且*11)()(--*=A A 。 证 因*A =1-A A ，由1-A 的可逆性及0≠A ，可知*A 可逆，且

111)()(---*=A A A ＝A A 1

；

另一方面，由伴随阵的性质，有*11)(--A A =E A 1-.

用A 左乘此式两边得*1)(-A =A A 1-=A A 1-=A A 1

,

比较上面两个式子，即知结论成立。

17、设n 阶方阵A 的伴随阵为*A ,

证明: ⑴若A =0,则0=*A ； ⑵ 1-=n *A A . 证明 (1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(. 由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*. 这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时, 有0=*A .

(2) 由于E A AA =*

取行列式得到: n A A A =* 若0≠A 则1-*=n A A 若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立 故有1-*=n A A .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y1vl.html