2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物线(A)-单元过关测试卷(原卷+解析)

2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷

抛物线（A ）

（测试卷22）

满分：150分， 测试时间：120分钟

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）

1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )

A.2

B.1

C.14

D.18 2.已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横

坐标为( )

A.32

B.2

C.52

D.3 3.已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝

( )

A.4

B.6

C.8

D.10 4.已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( )

A.5

B.－3或5

C.－2或6

D.6 5.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )

A.2

B.135

C.145

D.3 6.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A.4

B.6

C.8

D.12 7.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( )

A.

π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π4

8.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )

A.x 2＝8y

B.x 2＝4y

C.y 2＝8x

D.y 2＝4x 9.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，

则|MN |＋|MF |的最小值为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

10.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233

|AB |，则∠AFB 的最大值为( )

A.π3

B.3π4

C.5π6

D.2π3 11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q

点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 12.过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于

E ，

F 两点，O 为

坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )

A.32

B.33

C.12

D.34

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.

14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2

＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________. 15.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.

16.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.

三、解答题（共6大题，满分70分）

17.（10分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB

|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.

18.（12分）设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24

上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.

19．（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．

20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．

21.（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .

(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；

(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.

22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32

. (1)求抛物线C 的方程；

(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.

2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷

抛物线（A ）

（测试卷22）

满分：150分， 测试时间：120分钟

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）

1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )

A.2

B.1

C.14

D.18 【答案】 D

【解析】 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18

. 2.已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( )

A.32

B.2

C.52

D.3 【答案】 A

【解析】 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ? ??

??12，0，准线方程为x ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32

. 3.已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝

( )

A.4

B.6

C.8

D.10

【答案】B

【解析】由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12

，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 2

1－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6. 4.已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( )

A.5

B.－3或5

C.－2或6

D.6 【答案】 B

【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5.

5.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )

A.2

B.135

C.145

D.3

【答案】A

【解析】由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即

|3＋7|32＋42＝2. 6.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A.4

B.6

C.8

D.12

【答案】 B

【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.

7.设抛物线C ：y 2

＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( )

A.

π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π4 【答案】 C

【解析】 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32

，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3

.

8.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若·＝－12，则抛物线C 的方程为( )

A.x 2

＝

8y B.x 2

＝4y

C.y 2＝8x

D.y 2

＝4x 【答案】 C 【解析】 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立?

????y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得·＝x 1x 2＋y 1y 2＝?

????my 1＋p 2? ????my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34

p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 9.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )

A.2

B.3

C.4

D.5 【答案】 B

【解析】 由题意知p 2

＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.

10.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233

|AB |，则∠AFB 的最大值为( )

A.π3

B.3π4

C.5π6

D.2π3

【答案】 D

【解析】 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，

∵|AF |＋|BF |＝233

|AB |， ∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13

|AB |2， 在△AFB 中，由余弦定理得

cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2

mn ≥－12

，

∴∠AFB

的最大值为2π3. 11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】B 【解析】如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ? ??

??p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，即M ? ??

??3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p

22＋p 2，解得p ＝2.故选B. 12.过点P (2，－1)作抛物线x 2

＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )

A.32

B.33

C.12

D.34 【答案】 C

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ? ??

??2y 1x 1，0，F ? ????2y 2x 2，0，即E ? ????x 12，0，F ? ????x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则?????2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2

＝2（－1＋y 2）， 所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，

则S △PEF S OAB ＝12×1×??????x 12－x 2212

×1×|x 1－x 2|＝12. 二、填空题（每小题5分，共20分）

13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.

【答案】 2 6

【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2

＝－2py (p ＞0).

由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米.

14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2

＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.

【答案】 6 【解析】 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ? ??

??32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3? ??

??x －32，

当x ＝－32时，y ＝33，所以A ? ??

??－32，33， 因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，

可得点P 的坐标为? ??

??92，33， 根据抛物线的定义可知|PF |＝|PA |＝92－? ??

??－32＝6. 15.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.

【答案】 x 2

＝16y 【解析】 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a

＝1＋b 2a 2，所以b a ＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ? ????

，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距

离为??????p 23＋1

＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 16.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距

离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.

【答案】 655

－1 【解析】 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65

＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.

三、解答题（共6大题，满分70分）

17.（10分）已知过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值. 【解析】 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为? ??

??p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22? ????

x －p 2， 由?????y ＝22? ????x －p 2，y 2＝2px ，

消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4

， 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，

即5p 4

＋p ＝9，所以p ＝4. 所以抛物线的方程为y 2＝8x .

(2)由p ＝

4知，方程4x 2－5px ＋p 2

＝0，

可化为x 2－5x ＋4＝0，

解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.

所以A (1，－22)，B (4，42).

则＝＋λ＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ).

因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，

整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.

18.（12分）设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24

上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.

【解析】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224

，x 1＋x 2＝4. 于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24

＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2

. 设M (x 3，y 3)，由题设知x 32

＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1). 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，

故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.

将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24

得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.

从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.

由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，

解得m ＝7.

所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.

19．（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．

【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，

于是4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x .

(2)∵点A 的坐标是(4,4)，

由题意得B (0,4)，M (0,2)．

又∵F (1,0)，∴k FA ＝43

， ∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34

. ∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34

x ，②

联立①②，解得x ＝85，y ＝45， ∴点N 的坐标为? ??

??85，45. 20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．

【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，

∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，

∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .

(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M . 由?????

y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝y 2

1y 22

64＝m 2.

由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，

∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．

故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.

21.（12分）已知抛物线C ：x 2

＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .

(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；

(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.

【解析】(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将AB 的方程代入抛物线C ，得 x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，

则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①

又x 2＝2py 得y ′＝x p ，

则A ，B 处的切线斜率乘积为

x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.

(2)设切线AN 为y ＝x 1p

x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 2

2p

上， ∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 2

12p

， 切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 2

12p

， 同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 2

22p

. 又∵N 在y AN 和y BN 上，

∴?????y ＝x 1p x －x 212p

，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ? ????x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).

|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，

点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k

2， S △ABN ＝12

·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，

∴22p ＝4，∴p ＝2，

故抛物线C 的方程为x 2＝4y .

22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32

. (1)求抛物线C 的方程；

(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.

【解析】 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32

，所以p ＝2， 所以C 的方程为x 2＝4y .

(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，

所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，

因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，

所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1， S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2

＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，

设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.

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