2013-2014学年度中考数学二轮专题复习：直角三角形

2013-2014学年度数学中考二轮复习专题卷-直角三角形

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1、如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为

A． B． C．

D．

2、tan60°的值等于 A．1

B．

C．

D．2

3、3tan30°的值等于 A．

B．

C．

D．

4、sin30°= A．0

B．1

C．

D．

5、下列四个数中最大的数是（） A．2.5

6、sin60°= A．

B．

C．

D．

B．

C．sin60

0

D．

7、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。其中说法正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（ ） A．20 B． 22 C． 24 D． 26

9、为迎接“五一”的到来，同学们做了许多拉花布置教室准备召开“五一”联欢晚会，小

刚搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙距离应为（ ） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米

10、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A． B． C． D．

11、计算A．

的结果是【 】 B．4

C．

D．5

12、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为

A．100m B．50m C．50m

D．m

13、如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)

A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m

14、如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角

的正切值是

，则

的值是【 】

A． B． C． D．

15、如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于【 】

A．3 B．﹣3

C． D．

16、△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果

，那么下列结

论正确的是【 】

A．csinA= a B．b cosB=c C．a tanA= b D．ctanB= b

17、使两个直角三角形全等的条件是 A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等

18、如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）

A．

B．4

C． D．

19、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，

），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为

A． B． C．

D．2

00

20、如图，在△ABC中，∠A=45，∠B=30，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为【 】

A．2

B．

C．

D．

21、如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，

2

设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是【 】

A．AE=6cm C．当0＜t≤10时，

B．

D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

22、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

0

23、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30，看这栋高楼

0

底部C的俯角为60，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为

A．40m B．80m C．120m D．160m

24、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（结果精确到0.1m，

≈1.73）．

A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m

25、如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为优弧ABO上的一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为

A.

B. C. D.

二、填空题()

26、如图，AB是⊙O的直径，

，AB=5，BD=4，则sin∠ECB= ．

27、如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，

，点E在

上，EF为⊙O的

直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p= ；当n=12时，p= ． （参考数据：

，）

28、sin30°的值为 ．

29、2cos30°= ． 30、

31、计算：

的值是 ．

＝ ．

32、计算：cos60°＝ ．

33、如图，小聪用一块有一个锐角为直，且相距

的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂

米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米

34、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= .

35、在△ABC中，已知∠C=90°， 36、

．

，则

= ．

37、如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．

38、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是 ．

39、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 （取

，结果精确到0.1海里）．

40、如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 ．

三、计算题() 41、计算：

42、计算：

．

．

43、计算：

44、化简：

45、计算：

。

；

四、解答题() 46、

问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

47、如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：

00

km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方向．

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在

0

北偏西15的方向．求点C与点B之间的距离． （上述2小题的结果都保留根号）

48、交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，

00

使∠CAD=30，∠CBD=60．

（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：）；

（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．

49、有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中， ∠FDE=90°，DF=4，DE=

。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F

重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 度；

（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数

解析式，并求出对应的x取值范围。

50、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（

，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于不存在，请说明理由．

试卷答案

1.【解析】

试题分析：连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD=OA=1，∴AD=AO=DO。∴△AOD是等边三角形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB。

∴∠CDO=∠DOA=60°，∴△ODE是等边三角形。

同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等。 ∴阴影部分面积等于△BCE面积。 ∵DF=ADsin60°=

，DE=EC=1，

×

×1=

。

∴图中阴影部分的面积为：故选A。 2.【解析】

试题分析：根据特殊角的正切函数值直接作答：tan60°＝。故选C。

3.【解析】 试题分析： 3直接把tan30°=4.【解析】

试题分析：直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可：sin30°=5.A 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D

11.【解析】直接由特殊角的三角函数值代入计算即可：

。故选D。

12.【解析】

试题分析：根据题意得：AC＝100，∠ABC＝30°， ∴

（m）。故选A。

。故选C。

代入进行计算即可：3tan30°=3×

=

。故选A。

13.【解析】

试题分析：∵∠C=90°，∠A=60°，AC=20m， ∴

故选B。

14.【解析】如图，过点P作PH⊥x轴于点H，则

。

∵P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），∴OH=3，PH= m。 又∵OP与x轴正半轴的夹角∴

。

的正切值是

，即

，

根据勾股定理，得OP=5。 ∴

。故选B。

15.【解析】如图，连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠C=∠E。 由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，

∴△ABE和△BCD都是直角三角形。∴∠CBD=∠EAB。 又∵△OAM是直角三角形， AO=1， ∴

故选A。

16.【解析】∵

，即sin∠CBD的值等于OM的长。

，∴根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且∠C=90。

0

∴根据锐角三角函数定义，有：

。

∴正确的是：csinA= a。故选A。 17.【解析】

试题分析：根据直角三角形全等SAS，HL的判定，使两个直角三角形全等的条件是两条边对应相等。故选D。 18.【解析】

试题分析：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F=×（6﹣2）?180°=120°。

（180°﹣120°）=30°。∴∠AEP=120°﹣30°=90°。

。 ×2=1。

。

∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=∴AE=2×2cos30°=2×2×∵点P是ED的中点，∴EP=在Rt△AEP中，

故选C。 19.【解析】

试题分析：如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识可知，此时A C′=PA＋PC最小。

过点C′作 C′H⊥x轴于点H， ∵点B的坐标为（3，∵点C的坐标为（∴C C′=2CD=又∵∴OH=

。∴HC=。

，∴

。

。

），∴

。 。

，0），∴

在Rt△A C′H中，根据勾股定理，得：。

∴PA＋PC的最小值为。故选B。

20.【解析】∵CD⊥AB，∴△ACD和△BCD都是直角三角形。

0

∵∠A=45，CD=1，∴AD=CD=1。 ∵∠B=30，∴

0

。

∴AB=AD＋BD=。故选D。

21.【解析】（1）结论A正确，理由如下： 解析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm， 故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm。 （2）结论B正确，理由如下：

如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，∴EF=8。∴

（3）结论C正确，理由如下： 如图，过点P作PG⊥BQ于点G，

。

，

∵BQ=BP=t，∴

（4）结论D错误，理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点， 设为N，如图，连接NB，NC。

。

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=。

∵BC=10，

∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形。 故选D。 22.【解析】

试题分析：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm， ∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm。∴∵AB的垂直平分线EM，∴BE=同理CF=

cm，CN=2cm。

AB=

cm。∴

。

。

∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm。故选C。 23.【解析】

试题分析：如图，过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m。

在Rt△ABD中，在Rt△CD中，∴

故选D。 24.D。 25.D

26.【解析】

试题分析：连接AD，则∠ADB=90°，

（m）。

， ，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，则∵∴∴∴

，∴∠DAC=∠DBA。∴△DAC∽△DBA。 ，即

。∴。

。 。

，

27.【解析】如图，连接AB、AC、BC， 由题意，点A、B、C为圆上的n等分点， ∴AB=BC，

（度）。

在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N， 则AC=2CN=2BC?cos∠ACB=2cos

?BC，

∴。

连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，

∵∠ABC=∠CED，

∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形。 ∴△ABC∽△CED。∴

，∠ACB=∠DCE。

∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE。 在△ACD与△BCE中，∵∴

。∴

。

，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE。

。

∴EA=ED+DA=EC+

由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC。 ∴p=c+

。

b；

b。

当n=4时，p=c+2cos45°?b=c+当n=12时，p=c+2cos15°?b=c+28.【解析】

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=29.【解析】

试题分析：根据cos30°=

，继而代入可得出答案．

。

解：原式=． 故答案为：．

点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般． 30.【解析】

分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可：。

31.

32.0.5 33.4.7 34.【解析】

试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴根据勾股定理，得AC=5。 ∴

。

。

35.【解析】根据题意，设AB=c，BC=a，AC=b，则∵

，

∴。 ∴

。

∴。

36.【解析】

试题分析：针对零零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：

。

37.【解析】 试题分析：∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°。 ∴AD=ABcos30°=6×

。

根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，

∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°。∴△ADE的等边三角形。 ∴DE=AD=

，即线段DE的长度为

。

38.【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°。 ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴AB?AE=CD?AF，∠BAE=∠DAF=30°。 ∴AE=AF。

∵∠B=60°，∴∠BAD=120°。∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°。 ∴△AEF是等边三角形。∴AE=EF，∠AEF=60°。

∵AB=4，∴AE=2。∴EF=AE=2。

过A作AM⊥EF，交EF于点M,

∴AM=AE?cos60°=3。

∴△AEF的面积是：EF?AM=×239.【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°， ∴△DAB是等腰直角三角形。 过点D作DE⊥AB于点E，则DE=

AB，

×3=3

。

设DE=x，则AB=2x，

在Rt△CDE中，∠DCE=30°， 则CE=

DE=

x，

在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x， 由题意得，CB=CE﹣BE=解得：x=

。

x﹣x=25，

∴AB=≈67.5（海里）。

40.【解析】

试题分析：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，∴点B1是△OBA的重心，也是内心。

∴∠BOB1=30°。

∵△OB1A1是等边三角形，∴∠A1OB=60°+30°=90°。 ∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，

∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合。

∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10。 如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，

∵，

∴，即。

∴，即。

同理，可得?， ∴

，即。

，即构造出的最后一个三角形的面积是。

41.【解析】

试题分析：针对二次根式化简，绝对值，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

42.【解析】针对特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

43.【解析】针对有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

44.【解析】针对绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

45.【解析】针对零指数幂，有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式化简

4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 46.【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A。作直径AC′，连接C′E，

根据垂径定理得弧BD=弧DE。

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。 ∴∠C′AE=45°。

又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°。 ∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE=∴AP+BP的最小值是

。

AC′=

。

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求。 47.【解析】

试题分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，构造直角三角形BDP和PDA，PD即为点P到海岸线l的距离，应用锐角三角函数即可求解。

（2）过点B作BF⊥CA于点F，构造直角三角形ABF和BFC，应用锐角三角函数即可求解。 48.【解析】

试题分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长。

（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速。 49.【解析】

试题分析：（1）如题图2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=∴

。∴∠DFE=60°。

，

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE－∠ABC=60°－45°=15°。

（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可。

（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况，分0≤x≤2，2＜x≤

，

＜x≤6三时段讨论：

当0≤x≤2，即开始到DE与AC重合之前时，当2＜x≤当

；

；

，即DE与AC重合之后到EF经过点C之前时，

＜x≤6，即EF经过点C之后到停止之前时，

。

50.【解析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解。

（2）由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD?cos60°，DG=BD?sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标。 （3）分三种情况进行讨论：

①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时； ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时；即

＜t≤0时

③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值。

时。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ziro.html