2013版《6年高考4年模拟》：第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 - 图文

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》

第五章 平面向量、解三角形

第二节 解三角形 第一部分 六年高考荟萃

2012年高考题

一、选择题

1 ．（2012年高考（上海文））在?ABC中,若sinA?sinB?sinC,则?ABC的形状是

A．钝角三角形.

B．直角三角形.

C．锐角三角形.

（ ）

D．不能确定.

a2?b2?c22ab222222 [解析] 由条件结合正弦定理,得a?b?c,再由余弦定理,得cosC??0,

所以C是钝角,选A.

2．（2012年高考（湖南文））在△ABC中,AC=7 ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于

A．

（ ）

3 2B．

33 2C．

3?6 2D．

3?39 4【答案】B

【解析】设AB?c,在△ABC中,由余弦定理知AC?AB?BC?2AB?BC?cosB, 即7?c?4?2?2?c?cos60,c?2c?3?0,即(c-3)(c?1)=0.又c?0,?c?3. 设BC边上的高等于h,由三角形面积公式S?ABC?2?222211AB?BC?sinB?BC?h,知 223311. ?3?2?sin60???2?h,解得h?222【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内

容.

3．（2012年高考（湖北文））设?ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若三边的长为

连续的三个正整数,且A?B?C,3b?20acosA,则sinA:sinB:sinC为 （ ）

A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A?B?C,可得a?b?c,所以

①;又因为已知3b?20acosA,所以cosA?a?c?2,b?c?13b②.由余弦定理可20a

222b2?c2?a23bb?c?a得cosA?③,则由②③可得④,联立①④,得?20a2bc2bc15(舍去),则a?6,b?5.故由正弦定理可7得,sinA:sinB:sinC?a:b:c?6:5:4.故应选D. 7c2?13c?60?0,解得c?4或c??【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.

4．（2012年高考（广东文））(解三角形)在?ABC中,若?A?60?,?B?45?,BC?32,则

AC?

A．43 B．23 C．3 D．（ ）

3 2解析:B.由正弦定理,可得

322ACBC,所以AC???23. ?2sin45?sin60?325 ．（2012年高考（天津理））在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知

8b=5c,C=2B,则cosC?

77A． B．?

2525（ ）

C．?7 25D．

2425

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. 【解析】∵8b=5c,由正弦定理得8sinB=5sinC,又∵C=2B,∴8sinB=5sin2B,所以

478sinB=10sinBcosB,易知sinB?0,∴cosB=,cosC=cos2B=2cos2B?1=.

5256 ．（2012年高考（上海理））在?ABC中,若sinA?sinB?sinC,则?ABC的形状是

A．锐角三角形.

B．直角三角形.

C．钝角三角形.

（ ）

D．不能确定.

a2?b2?c22ab222222 [解析] 由条件结合正弦定理,得a?b?c,再由余弦定理,得cosC??0,

所以C是钝角,选C.

7 ．（2012年高考（陕西理））在?ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a?b?2c,

则cosC的最小值为 A．

（ ）

2223 2B．

2 2C．

1 2D．?12

a2?b2?c2a2?b21解析:由余弦定理得,cosC???当且仅当a=b时取“=”,选C.

2ab4ab2二、填空题

1．（2012年高考（重庆文））设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且

1a=1，b=2，cosC?,则sinB?____

4【答案】:15 4解

析

】

【

a?1ao,b?1C1?421,c,C?4由os余弦定理,

得故

c2?a2?2b2?cbs?,则??24?2?c1,?即?B4?C2115sinB?1?()2?.

44【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sinB的值是本题的突破点,然后利

用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 2．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若

a=2 ,B=

?,c=23,则b=______ 6222解析:由余弦定理得,b=a+c-2accosB=4,所以b=2. 3．（2012年高考（福建文））在?ABC中,已知?BAC?60?,?ABC?45?,BC?3,则

AC?_______.

【答案】2 【解析】由正弦定理得

AC3??AC?2 sin45?sin60?【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 4．（2012年高考（北京文））在△ABC中,若a?3,b?3,?A?___________. 【答案】

?3,则?C的大小为

? 2b2?c2?a2ca??c?23,而【解析】cosA?,故sinC?1?C?. ?2bcsinCsinA2【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定

理此二者会其一都可以得到最后的答案.

5．（2012年高考（重庆理））设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

35cosA?,cosB?,b?3,则c?______

51314 【答案】c?

535412ab【解析】由cosA?,cosB?得?sinA?,sinB?,由正弦定理?513513sinAsinB43?bsinA5?13,由余弦定理a??12sinB51314a2?c2?b2?2bccosA?25c2?90c?56?0?c?

5【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值是本题的突破点,然后利用

正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 6．（2012年高考（湖北理））设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若

(a?b?c)(a?b?c)?ab,则角C?_________. 考点分析:考察余弦定理的运用.

解析:由(a?b?c)(a?b?c)?ab?a?b?c??ab

222a2?b2?c212?根据余弦定理可得cosC? ???C?2ab237．（2012年高考（福建理））已知?ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余

弦值为_________. 【答案】?2 4【解析】设最小边为a,则其他两边分别为2a,2a,由余弦定理得,最大角的余弦值为

a2?(2a)2?(2a)22cos???? 42a?(2a)【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析

推理能力、运算求解能力.

8．（2012年高考（北京理））在△ABC中,若a?2,b?c?7,cosB??【答案】4

【解

1,则b?___________. 4余

弦

定

理

析】在

?ABC中,得用

a2?c2?b214?(c?b)(c?b)4?7(c?b)cosB?????,化简得8c?7b?4?0,

2ac44c4c与题目条件b?c?7联立,可解得a?2,b?4,c?3,答案为4.

【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.

9．（2012年高考（安徽理））设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是

_____

①若ab?c;则C?3332?3 ②若a?b?2c;则C??3

③若a?b?c;则C?22222?2 ④若(a?b)c?2ab;则C??2

⑤若(a?b)c?2ab;则C?【解析】正确的是①②③

?3

a2?b2?c22ab?ab1?①ab?c?cosC????C?

2ab2ab232a2?b2?c24(a2?b2)?(a?b)21?②a?b?2c?cosC????C?

2ab8ab23③当C??2时,c?a?b?c?ac?bc?a?b与a?b?c矛盾

22232233333④取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得:C?22222?2

⑤取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得:C?三、解答题

?3

1．（2012年高考（浙江文））在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3acosB. (1)求角B的大小;

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、

基本技能的掌握情况.

【解析】(1)?bsinA=3acosB,由正弦定理可得sinBsinA?3sinAcosB,即得

tanB?3,?B??32.

(2)?sinC=2sinA,由正弦定理得c?2a,

由余弦定理b?a?c?2accosB,9?a?4a?2a?2acos2222?3,解得

a?3,?c?2a?23.

2．（2012年高考（天津文））在?ABC中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c.已知

a?2,c?

2,cosA??2. 4

(I)求sinC和b的值; (II)求cos(2A??3)的值.

c及sCin解:(1)在?ABC中,由cosA??214a,可得sinA?,又由?44sinAa?2,c?2,可得sinC?2227 42由a?b?c?2bccosA?b?b?2?0,因为b?0,故解得b?1. 所以sinC?7,b?1 4(2)由

cosA??24,

sinA?144,得

73 cos2A?2cos2A?1??,sinA?2sinAcosA??44所以cos(2A??3)?cos2Acos?3?sin2Asin?3??3?21 8 3．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC. (Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;

(Ⅱ)若a?1,c?2,求△ABC的面积S.

解:(I)由已知得:sinB(sinAcosC?cosAsinC)?sinAsinC,

sinBsin(A?C)?sinAsinC,则sin2B?sinAsinC,

再由正弦定理可得:b2?ac,所以a,b,c成等比数列. a2?c2?b23(II)若a?1,c?2,则b?ac?2,∴cosB??,

2ac42sinC?1?cos2C?7, 41177∴△ABC的面积S?acsinB??1?2?. ?22444．（2012年高考（辽宁文））在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数

列.

(Ⅰ)求cosB的值;

(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 【答案与解析】

(1)由已知2B=A+C,A+B+C=?,?B=2?1,cosB= 323 4(2)解法一:b=ac,由正弦定理得sinAsinC=sin2B=21a2+c2-b2a2+c2-ac22解法二:b=ac,=cosB=,由此得a+c-ac=ac,得a=c =22ac2ac所以A=B=C=?3,sinAsinC=3 4【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 5．（2012年高考（课标文））已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对

边,c?3asinC?csinA.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,?ABC的面积为3,求b,c. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.

【解析】(Ⅰ)由c?3asinC?csinA及正弦定理得

3sinAsinC?sinAsinC?sinC

由于sinC?0,所以sin(A?又0?A??,故A??6)?1, 2?3.

(Ⅱ) ?ABC的面积S=

2221bcsinA=3,故bc=4, 222而 a?b?c?2bccosA 故c?b=8,解得b?c=2. 法二:解: 已知:c?3a?sinC?c?cosA,由正弦定理得:

sinC?3sinA?sinC?sinC?cosA

因sinC?0,所以:1?3sinA?cosA ,

由公式:asinx?bcosx?a2?b2sin?x???b????a?0,tan??,???得:

a2????1????sin?A???,?A是?的内角,所以A??,所以:A?

6?2663?

(2) S?1bcsinA?3?bc?4 2a2?b2?c2?2bccosA?b?c?4

解得:b?c?2 6．（2012年高考（江西文））△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;

(2)若a=3,△ABC的面积为22,求b,c. 【解析】(1)

3(cosBcosC?sinBsinC)?1?6cosBcosC3cosBcosC?3sinBsinC??13cos(B?C)??1cos(??A)??则cosA?13

1. 322,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 3(2) 由(1)得sinA??b2?c2?a2b2?c2?91?b?322cosA???则b?c?13②,①②两式联立可得?或

2bc123??a?2??a?3. ???b?27．（2012年高考（大纲文））?ABC中,内角A.B.C成等差数列,其对边a,b,c满足2b?3ac,求A.

【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,

依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.

【解析】由A.B.C成等差数列可得2B?A?C,而A?B?C??,故3B???B?2?3且

C?而

2??A 3由

2b2?3ac与正弦定理可得

2sin2B?3sinAsinC?2?sin2?3?3sin(2??A)sinA 3

所以可得2?32?2??3(sincosA?cossinA)sinA?3cosAsinA?sin2A?1? 43331?cos2A?12???7?sin2A??1?sin(2A?)?,由0?A?,???2A??22623666故

2A??6??6或2A??6?5???,于是可得到A?或A?. 6628．（2012年高考（安徽文））设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且有

2sinBcoAs?sAinCc?osAcos C(Ⅰ)求角A的大小;[

(II) 若b?2,c?1,D为BC的中点,求AD的长.

【解析】(Ⅰ)A?C???B,A,B?(0,?)?sin(A?C)?sinB?0

2sinBcosA?sinAcosC?cosAsinC?sin(A?C)?sinB

?cosA?21??A? 232222(II)a?b?c?2bccosA?a?3?b?a?c?B?2?2

在Rt?ABD中,AD?AB2?BD2?12?(327)? 229．（2012年高考（浙江理））在?ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

2cosA=,sinB=5cosC.

3(Ⅰ)求tanC的值;

(Ⅱ)若a=2,求?ABC的面积.

【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.

52(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=1?cos2A?, 33又5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =52cosC+sinC. 335. 6整理得:tanC=5. (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=又由正弦定理知:故c?3. (1) b2?c2?a22对角A运用余弦定理:cosA=?. (2)

2bc3

ac, ?sinAsinC解(1) (2)得:b?3 or b=∴?ABC的面积为:S=5. 23(舍去). 3【答案】(Ⅰ) 5;(Ⅱ) 5. 210．（2012年高考（辽宁理））在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差

数列.

(Ⅰ)求cosB的值;

(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 【答案及解析】

(1)由已知2B=A+C,A+B+C=?,?B=2?1,cosB= 322(2)解法一:b=ac,由正弦定理得sinAsinC=sinB=23 41a2+c2-b2a2+c2-ac22解法二:b=ac,=cosB=,由此得a+c-ac=ac,得a=c =22ac2ac所以A=B=C=?3,sinAsinC=3 4【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 11．（2012年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已

知,A??,bsin(?C)?csin(?B)?a.(1)求证:B?C?

4442???(2)若a=2,求△ABC的面积. 解:(1)证明:由 bsin(??C)?csin(?B)?a及正弦定理得:

44?sinBsin(?C)?sinCsin(?B)?sinA,

44即sinB(??22222sinC?sinC)?sinC(sinB?sinB)? 22222整理得:sinBcosC?cosBsinC?1,所以sin(B?C)?1,又0?B,C?所以B?C?3? 4?2

(2) 由(1)及B?C?3?5???可得B?,C?,又A?,a?2 4884

所以b?所

asinB5?asinC??2sin,c??2sin,

sinA8sinA8以

三

角

形

ABC

的

面

积

1?bs2ci?nA?58?28?s?i8 n2??8s1?i?2n【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.

????????????????12．（2012年高考（江苏））在?ABC中,已知AB?AC?3BA?BC.

(1)求证:tanB?3tanA;

5，求A的值. 5????????????????【答案】解:(1)∵AB?AC?3BA?BC,∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosB,即

(2)若cosC?AC?cosA=3BC?cosB.

ACBC由正弦定理,得,∴sinB?=cosA=3sinA?cosB.

sinBsinAsinBsinA又∵00，即tanB?3tanA. =3? cosB>0.∴

cosBcosA?5?525(2)∵ cosC?.∴tanC?2. ，0

1?tanA?tanB4tanA1由 (1) ,得,解得. tanA=1 tan，A=???231?3tan2A∴tan?????A?B????2,即tan?A?B???2.∴∵cosA>0,∴tanA=1.∴A=.

4【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.

????????????????【解析】(1)先将AB?AC?3BA?BC表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.

?5，可求tanC,由三角形三角关系,得到tan?????A?B???,从而根据两角5和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值. 13．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．

(2)由cosC??ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A?C)?cosB?1,a?2c,

求C.

【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关

系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.

【解析】由A?B?C???B???(A?C), 由正弦定理及a?2c可得sinA?2sinC

所以cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cos(??(A?C))?cos(A?C)?cos(A?C)

?cosAcosC?sinAsinC?cosAcosC?sinAsinC?2sinAsinC

故由cos(A?C)?cosB?1与sinA?2sinC可得2sinAsinC?1?4sinC?1 而C为三角形的内角且a?2c?c,故0?C?2?2,所以sinC?1?,故C?. 26【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角

形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到A,C角关系,然后结合

a?2c,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角C的值.

2011年高考题

一、选择题

2（a?b）?c2?4，且C=60°，1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

则ab的值为

42 A．3 B．8?43 C． 1 D．3

【答案】A

0＜?＜2.（浙江理6）若

???3??1cos(?)?-＜?＜0cos(??)?423，则2，243，，

cos(???2)?

33?A．3 B．3 536?C．9 D．9

【答案】C

3.（天津理6）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且

AB?CD,2AB?3BD,BC?2BD，则sinC的值为

3A．3 3B．6

6C．3 6D．6

222【答案】D

4.（四川理6）在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是

?A．（0，6] ??B．[ 6，?） C．（0，3] ?D．[ 3，?）

【答案】C

【解析】由题意正弦定理

b2?c2?a21?a?b?c?bc?b?c?a?bc??1?cosA??0?A?bc23

2222225.（辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，

b?a则

（A）23 【答案】D 二、填空题

00?CAB?75,?CBA?60CAB6.（上海理6）在相距2千米的．两点处测量目标，若，

（B）22 （C）3 （D）2

则A．C两点之间的距离是 千米。 【答案】6

7.（全国新课标理16）?ABC中，B?60?,AC?3,，则AB+2BC的最大值为_________． 【答案】27 8.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。2

【答案】

9.（北京理9）在?ABC中。若b=5，a=_______________。

?B??4，tanA=2，则sinA=____________；

25【答案】5210

10.（安徽理14）已知?ABC 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的

等差数列，则?ABC的面积为_______________.

【答案】153 三、解答题

11.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A?（1）若

?6)?2cosA, 求A的值；

1cosA?,b?3c3（2）若，求sinC的值.

本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。

解：（1）由题设知

sinAcos?6?cosAsin?6?2cosA,从而sinA?3cosA,所以cosA?0，

tanA?3,因为0?a??,所以A??3

.1cosA?,b?3c及a2?b2?c2?2bccosA,得a2?b2?c2.3（2）由

B?故△ABC是直角三角形，且12.（安徽理18）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作

?2,所以sinC?cosA?13.

Tn，再令

an?lgTn,n≥1.

（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

{an}的通项公式；

求数列

bn?tanan?tanan?1,{bn}的前n项和

Sn.

本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设

l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中

t1?1,tn?2?100,则

Tn?t1?t2???tn?1?tn?2,Tn?tn?1?tn?2???t2?t1,①×②并利用

① ②

t1tn?3?i?t1tn?2?102(1?i?n?2),得Tn2?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2),?an?lgTn?n?2,n?1.（II）由题意和（I）中计算结果，知

bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.

tan1?tan((k?1)?k)?

另一方面，利用

tan(k?1)?tank,1?tan(k?1)?tank

tan(k?1)?tank?

得

nn?2k?3tan(k?1)?tank?1.tan1

所以

Sn??bk??tan(k?1)?tankk?1

tan(k?1)?tank?1)tan1k?3tan(n?3)?tan3??n.tan1 ??(n?213.（湖北理16）

1a?1.b?2.cosC?.4 设?ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求?ABC的周长 （Ⅱ）求

cos?A?C?的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）

?c2?a2?b2?2abcosC?1?4?4?

解：（Ⅰ）

1?44

?c?2.

??ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5.

?cosC?1115,?sinC?1?cos2C?1?()2?.444

（Ⅱ）

15asinC15?sinA??4?c28 ?a?c,?A?C，故A为锐角，

?cosA?1?sin2A?1?(

1527)?.88

?cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC?

71151511????.848816

14.（湖南理17）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；

?（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

解析：（I）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC. 因为0?A??,所以

sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1,则C?B?（II）由（I）知

?4

3??A.4于是

3sinA?cos(B?)?3sinA?cos(??A)4?3sinA?cosA?2sin(A?).63???11?????0?A?,??A??,从而当A??,即A?时,46612623

2sin(A?)6取最大值2．

?????5?3sinA?cos(B?)A?,B?.4的最大值为2，此时312 综上所述，15.（全国大纲理17）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求 解：由a?c?

C．

2b及正弦定理可得

A?siCn? sin2sBi n .????3分

又由于A?C?90?,B?180??(A?C),故

C?siCn? cos ?2sAin?(C

)2sin(9?0?C2 )

????7分

2 . ?2cosC22cosC?sinC?cos2C,22 ??5C?) cos(4cCo s2 因为0??C?90?， 所以2C?45??C, C?15? 16.（山东理17）

cosA-2cosC2c-a=cosBb． 在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC （I）求sinA的值；

1 （II）若cosB=4，b=2，?ABC的面积S。

解：

abc???k, （I）由正弦定理，设sinAsinBsinC 2c?a2ksinC?ksinA2sinC?sinA??,bksinBsinB则 cosA?2cosC2sinC?sinA?.cosBsinB所以

即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB， 化简可得sin(A?B)?2sin(B?C).

又A?B?C??， 所以sinC?2sinA

sinC?2.因此sinA

sinC?2sinA （II）由得c?2a.

由余弦定理

1b2?a2?c2?2accosB及cosB?,b?2,41得4=a2?4a2?4a2?.4

解得a=1。

因此c=2

1cosB?,且G?B??.4又因为

sinB?所以

15.4

S?因此

111515acsinB??1?2??.2244

17.（陕西理18）

叙述并证明余弦定理。

解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在?ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC

证法一 如图

????????a?BC?BC

2?????????????????(AC?AB)?(AC?AB) ????2????????????2?AC?2AC?AB?AB

????2????????????2 ?AC?2AC?ABCOSA?AB

?b2?2bccosA?c2

222即a?b?c?2bccosA 222同理可证b?a?c?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

证法二 已知?ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0),

?a2?BC2?(bcosA?c)2?(bsinA)2

?b2cos2A?2bccosA?c2?b2sin2A b2?a2?c2?2accosB

同理可证

b2?c2?a2?2cacosB,

c2?a2?b2?2abcosC.

18.（浙江理18）在?ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．

12ac?bsinA?sinC?psinB?p?R?,4已知且． 5p?,b?14（Ⅰ）当时，求a,c的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14

分。

5?a?c?,??4??ac?1,?4 （I）解：由题设并利用正弦定理，得?

1?a?1,???a?,4?1或?c?,??4?c?1. 解得?222 （II）解：由余弦定理，b?a?c?2accosB

?(a?c)2?2ac?2accosB11?p2b2?b2?b2cosB,2231即p2??cosB,22 30?cosB?1,得p2?(,2)2因为，

p?0,所以由题设知

6?p?2.2

2010年高考题

一、选择题

1.（2010上海文）18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】C

解析：由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13

52?112?132?0，所以角C为钝角 由余弦定理得cosc?2?5?112.（2010湖南文）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则

A.a＞b B.a＜b

C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定

【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。 3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan?ECF?（ ）

31623A. 27 B. 3 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得cos?ECF?解得tan?ECF?4， 53 4解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得

cos?ECF?43，解得tan?ECF?。 54边

4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为?的四个等腰三角形，及其底构成的正方形所组成，该八边形的面积为

（A）2sin??2cos??2； （B）sin??3cos??3 （C）3sin??3cos??1； （D）2sin??cos??1 【答案】A

5.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a?b?3bc，

22sinC?23sinB，则A=

（A）30 （B）60 （C）120 （D）150 【答案】A

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由由正弦定理得

0000c23b??c?23b， 2R2Rb2+c2-a2?3bc?c2?3bc?23bc30

?所以cosA==，所以A=30?2bc2bc2bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

c?6.（2010湖南理）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，

则

A、a>b B、a

2a,

7.（2010湖北理）3.在?ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －

222266 B C － D 3333【答案】D

【解析】根据正弦定理

3ab1510可得解得，又因为b?a，则sinB????3sinAsinBsin60sinB6，故D正确. 3B?A，故B为锐角，所以cosB?1?sin2B?二、填空题

1.（2010重庆文）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在

C上）且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为?i(i?1,2,3)，则cos?13cos?2??33?sin3?13sin?2??33?____________ . 33?cos解析：cos?13cos?2??3?sin?13sin?2??3?1??2??33

又?1??2??3?2?，所以cos?1??2??31??

22.（2010山东文）（15） 在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?2，b?2,sinB?cosB?2,则角A的大小为 . 答案：

3.（2010北京文）（10）在?ABC中。若b?1，c?3，?c?答案：1

4.（2010北京理）（10）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?答案 1

2?，则a= 。 32?，则a = 。 35.（2010广东理）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

答案1．

解析：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，

13?，即sinAsin60?sinA?1??．由a?b知，A?B?60，则A?30， 2C?180??A?B?180??30??60??90?，sinC?sin90??1

6.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则

ba??6cosC，abtanCtanC=_________。 ?tanAtanB[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?C21C1?cosC1，tan2?， ?，tan?22321?cosC2tanA?tanB?1tanC2?2，tanCtanC= 4。 ?tanAtanBa2?b2?c23c2ba222222（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，6ab? ?a?b,a?b?2ab2abtanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C ???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB三、解答题

1.（2010陕西文）17.（本小题满分12分）

在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得

AD2?DC2?AC2100?36?1961cos?=??,

2AD?DC2?10?62

??ADC=120°, ?ADB=60°

在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°， 由正弦定理得

ABAD, ?sin?ADBsinB10?2232?56.

?AB=

AD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?2.（2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）

在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边， 且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c

2

即a?b?c?bc

由余弦定理得a?b?c?2bccosA 故cosA??2222221,A?120? 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.

又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?因为0??B?90?,0??C?90?， 故B?C

所以?ABC是等腰的钝角三角形。

1 23.（2010辽宁理）（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即 a?b?c?bc

由余弦定理得 a?b?c?2bccosA 故 cosA??22222221，A=120° ??6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinB?sinC?sinB?sin(60??B)

31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ??12分 4.（2010安徽文）16、（本小题满分12分）

?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA?12。 13???????? (Ⅰ)求AB?AC；

(Ⅱ)若c?b?1，求a的值。

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由cosA?12得sinA的值，再根据?ABC面积13????????222公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已知条

件c?b?1，及bc?156求a的值. 解：由cosA?又

122512，得sinA?1?()?.

1313131bcsinA?30，∴bc?156. 2????????12（Ⅰ）AB?AC?bccosA?156??144.

13（Ⅱ）a?b?c?2bccosA?(c?b)?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?∴a?5.

【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的面积是30，cosA?222212)?25， 1312，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求13a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.

（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)

设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc . (Ⅰ) 求sinA的值；

2222sin(A?)sin(B?C?)44的值. (Ⅱ)求

1?cos2A??

5.（2010天津理）（17）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1(x?R) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,2???上的最大值和最小值； ??2?（Ⅱ）若f(x0)?6????,x0??,?，求cos2x0的值。 5?42?【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （1）解：由f(x)?23sinxcosx?2cosx?1，得

2f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)

6所以函数f(x)的最小正周期为?

?因为f(x)?2sin?2x?????6??在区间?0,???????,?上为减函数，又 上为增函数，在区间??66???2????f(0)?1,f???2,?6?-1

??????f????1，所以函数f(x)在区间?0,?上的最大值为2，最小值为?2??2?（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)?2sin?2x0?????? 6?又因为f(x0)???36?，所以sin?2x0???

6?55?由x0????2?7??????,?，得2x0???,?

6?36??42???从而cos?2x0?所以

????42???1?sin2x??? ??0?6?6?5?????????????3?43??cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?

66666610????????6.（2010全国卷1理）(17)(本小题满分10分) 已知VABC的内角A，B及其对边a，b满足a?b?acotA?bcotB，求内角C．

7.（2010福建理）19．（本小题满分13分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮

船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

?OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，而小艇的最高

航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，

设?COD=?(0

??103， cos?由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t?10?103tan?103和t?，

30vcos?所以153310?103tan?103?,又v?30,故sin(?+30)?，解得v?， ?sin(?+30?)230vcos????从而30??<90,由于??30时，tan?取得最小值，且最小值为3，于是 3t?当??30时，?10?103tan?2取得最小值，且最小值为。

303此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 （2010安徽理数）16、（本小题满分12分）

设?ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

?sin2A?sin(?B) sin(?B) ? sin2B。

33 (Ⅰ)求角A的值；

??????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）。

8.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）HHhH，同理：AB?，BD?。 ?tan??AD?ADtan?tan?tan?HHhhtan?4?1.24????124。 ，解得：H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20 AD—AB=DB，故得

因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h， ,tan????dADDBd

HH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?HH?hH(H?h)1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?dddH(H?h)（当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时，取等号） d??2H(H?h)，d故当d?555时，tan(???)最大。 因为0??????2，则0??????2，所以当d?555时，?-?最大。

故所求的d是555m。

9.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，

2bc b2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。

2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，

211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2是有理数。 cosA?2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，

2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，

及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

2009年高考题

1.(2009年广东卷文)已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且 ?A?75o，则b?

( )

A.2 B．4＋23 C．4—23 D．6?2 答案 A

解析 sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?00由a?c?6?2可知,?C?75,所以?B?30,sinB?00000002?6 41 2由正弦定理得b?a?sinB?sinA2?61??2,故选A

2?624

( )

2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，cotA??12，则cosA? 5125512A． B. C. ? D. ?

13131313答案 D

解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=?12知A为钝角，cosA<0排 5

cosA1212??,和sin2A?cos2A?1求得cosA??. sinA513123.(2009全国卷Ⅱ理）已知?ABC中，cotA??， 则cosA? ( )

5125512A. B. C.? D. ?

13131313除A和B，再由cotA?答案 D

解析 已知?ABC中，cotA??12?，?A?(,?). 52??12 故选D. 13cosA??11?tan2A??11?(?52)124.（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

AC的值等于 ， cosAAC的取值范围为 .

答案 2(2,3)

解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得

ACBCACAC?,??1??2.

sin2?sin?2cos?cos?由锐角?ABC得0?2??90?0???45，

又0?180?3??90?30???60，故30???45????????????23?cos??， 22?AC?2cos??(2,3).

5.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，b、c，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

2222sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2?b2?c2b2?c2?a2有:a??3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知

2ab2bc. a2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2

①

22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC

由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA c ②

由①，②解得b?4.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

6.（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

?????A25???cos?，AB?AC?3．

25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．

????????A25342A解 （1）因为cos?，?cosA?2cos?1?,sinA?，又由AB?AC?3

25255得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?1bcsinA?2 2（2）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得

a2?b2?c2?2bccosA?20，?a?25

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

?????A25???cos?，AB?AC?3．

25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 2552又A?(0,?)，sinA?1?cosA?43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所以55

114bc?5，所以?ABC的面积为：bcsinA??5??2

225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?25?1?2?3?25

8.（2009北京理） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B?（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求?ABC的面积.

?3，cosA?4 ,b?3。5【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B?∴C??4,cosA?， 352?3?A,sinA?， 35313?43?2???A??cosA?sinA?. 32210??∴sinC?sin? （Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA? 又∵B?33?43,sinC?， 510?3bsinA6∴a??.

sinB5∴△ABC的面积S?,b?3，∴在△ABC中，由正弦定理，得

1163?4336?93absinC???3??. 22510509.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=解 （1）f(x)=cos(2x+

?2)+sinx. 31c1，f()??，且C为锐角，求sinA. 324??1?cos2x13?2??sin2x )+sinx.=cos2xcos?sin2xsin?3322231?3,最小正周期?. 2所以函数f(x)的最大值为

（2）f()=

c21331, 因为C为锐角, 所以?sinC=－, 所以sinC?2224C??3,

又因为在?ABC 中, cosB=

12, 所以 sinB?3, 所以 33211322?32????. 32326sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?求角C.

解 （1）f(x)?2sinx?2,f(A)?3, 21?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为

0????,所以??（2）因为f(A)??2.所以f(x)?sin(x??2)?cosx

33?,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为226a?1,b?2,所以由正弦定理,得

ab,也就是?sinAsinBsinB?bsinA12?2??, a223?.

44???7?3??3??当B?时,C?????;当B?时,C?????.

4641246412因为b?a,所以B?或B?【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

?

10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c，cos(A?C)?cosB?32,b?ac，求B. 2解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=解：由 cos（A?C）+cosB=

3?(负值舍掉)，从而求出B=。 2333及B=π?（A+C）得 cos（A?C）?cos（A+C）=， 223 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）=,

23 sinAsinC=.

4又由b=ac及正弦定理得

2sin2B?sinAsinC,

故 sinB?23， 4sinB?于是 B=

33 或 sinB??（舍去）， 22π2π 或 B=. 33又由 b?ac知b?a或b?c

2所以 B=

π。 311.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=

（I）求sinA的值；

(II)设AC=6，求?ABC的面积. 解：（Ⅰ）由C?A?1. 3??B，且C?A???B，∴A??，∴242?B2BBsinA?sin(?)?(cos?sin)，

42222311∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?0，∴sinA?

323A

C

B

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

ACBC ?sinBsinA33?32，又sinCs?in(∴BC?ACsinA?sinB6?13A)?Bsin?cosAcosBsin?AB

?322616???? 33333116AC?BC?sinC??6?32??32 223∴S?ABC?12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在

（I）求sinA的值；(II)设AC=

，求

ABC中，C-A=ABC的面积。

， sinB=。

【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sinA的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S?. 解（1）∵c?A?∴sinA?sin(?2且c?A???B∴A??4?B 2B2BB)?(cos?sin) 422221BB11∴sin2A?(cos?sin)2?(1?sinB)?

22223??又sinA?0 ∴cosA?3 3（2）如图，由正弦定理得BC?AC?sinAACBC?∴BC??sinBsinBsinA6?1333?32 又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosA?sinB32216?????3333

∴S?ABC?116AC?BC?sinC??6?32??32. 22313.（2009江西卷文）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A?（1）求C；

?6(1?3)c?2b．，

????????（2）若CB?CA?1?3，求a,b，c．

解：（1）由(1?3)c?2b 得

b13sinB ???c22sinCsin(?? 则有

?6sinC?C)?sin5?5?cosC?cossinC131366=cotC? ??2222sinC 得cotC?1 即C??4.

（2） 由CB?CA?1?3 推出 abcosC?1?3 ；而C??????????4,

即得

2ab?1?3, 2?2ab?1?3??a?22???? 则有 ?(1?3)c?2b 解得 ?b?1?3 ?c?2?ac????sinAsinC??14.（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

tanC?sinA?sinB,sin(B?A)?cosC.

cosA?cosB（1）求A,C；

（2）若S?ABC?3?3,求a,c. 解：(1) 因为tanC?sinA?sinBsinCsinA?sinB，即， ?cosA?cosBcosCcosA?cosB所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB， 即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB，

得 sin(C?A)?sin(B?C). 所以C?A?B?C,或C?A???(B?C)(不成立).

即 2C?A?B, 得C??3，所以.B?A?2? 3又因为sin(B?A)?cosC?得A?1?5?，则B?A?，或B?A?（舍去） 266?4,B?5? 12

(2)S?ABC?16?2acsinB?ac?3?3， 28 又

acac, 即 ， ??sinAsinC2322得a?22,c?23.

15.（2009天津卷文）在?ABC中，BC?（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A?5,AC?3,sinC?2sinA

?4)的值。

ABBC，于是?sinCsinA（1）解：在?ABC 中，根据正弦定理，

AB?sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BC2（2）解：在?ABC 中，根据余弦定理，得cosA?

2AB?AC于是sinA?1?cosA=

25， 5从而sin2A?2sinAcosA?43,cos2A?cos2A?sin2A? 55sin(2A??4)?sin2Acos?4?cos2Asin?4?2 10【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

16.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA?510,sinB? 510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510,sinB? 510解（I）∵A、B为锐角，sinA?

∴ cosA?1?sinA?225310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4

（II）由（I）知C? 由

23?，∴ sinC?

24abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?∴ 2b?b?∴ a?2?1

2?1 ∴ b?1

2,c?5 17.（2009全国卷Ⅱ理）设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，

32，b?ac，求B 23分析：由cos(A?C)?cosB?，易想到先将B???(A?C)代入

2cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cosB?33得cos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦公22。

式展开得sinAsinC?32；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得43?2?.故B?或。大部分考生做到这里忽略了233sin2B?sinAsinC，进而得sinB?检验，事实上，当B?2?1时，由cosB??cos(A?C)??，进而得323cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，应舍去。

22?2也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?。不过这种方法学生不易想到。

3

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平

面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，

0002?1.414，6?2.449）

解：在?ACD中，?DAC＝30°，?ADC＝60°－?DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1

又?BCD＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是?CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在?ABC中，

ABAC， ?sin?BCAsin?ABC即AB＝

ACsin60?32?6?

sin15?2032?6?0.33km

20因此，BD?故B、D的距离约为0.33km。 12分

19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两

座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，sin?BCAAB?ACsin?ABC,

000

即AB=sin15ACsin60???32?620,

因此，BD=

32?620?0.33km。

故B，D的距离约为0.33km。

20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平

方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?dsin?2 ；

sin(?1??2)第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；

sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) . 第三步：计算MN. 由余弦定理MN?方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?dsin?1 ；

sin(?1??2)第二步：计算BN . 由正弦定理BN?dsin?1 ；

sin(?2??1)BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2) 第三步：计算MN . 由余弦定理MN?21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA?510,sinB? 510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510,sinB? 510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4

（II）由（I）知C?由

23?，∴ sinC?

24abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?∴ 2b?b?∴ a?2?1 2?1 ∴ b?1

2,c?5 22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a?2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小：

（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

332,求a＋b的值。

解（1）由3a?2csinA及正弦定理得，

a2sinAsinc?3?AsinC QsinA?0,?sinC?32 Q?ABC是锐角三角形，?C??3

（2）解法1：Qc?7,C??3.由面积公式得

12absin?3?332,即ab?6　　　　　　　　① 由余弦定理得

a2?b2?2abcos?3?7,即a2?b2?ab?7　　　　②

由②变形得

（a+b)2?25,故a?b?5 解法2：前同解法1，联立①、②得

??a2?b2?ab?7　??a2?b2＝１３?ab?6? ?ab?6消去b并整理得a4?13a2?36?0解得a2?4或a2?9 所以??a?2b?3或??a?3故a?b?5 ??b?223.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造，

在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB?50m， BC?120m，于A处测得水深AD?80m，于B处测得水深

BE?200m，于C处测得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。

解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?MF2?DM2?302?1702?10198， DE?DN2?EN2?502?1202?130， EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150．

在?DEF中，由余弦定理，

DE2?EF2?DF21302?1502?102?29816. 24.(2009湖南卷cos?DEF???2DE?EF2?130?15065理). 在?ABC，已知

????????????????2AB?AC?3AB?AC?3BC2，求角A，B，C的大小.

解 设BC?a,AC?b,AB?c

????????????????3由2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以cosA?

2又A?(0,?),因此A??6

????????3222由3AB?AC?3BC得bc?3a，于是sinC?sinB?3sinA?

4所以sinC?sin(5?3133sinC)??C)?，sinC?(cosC?，因此

224642sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?0

35???4??由A=知0?C?，所以?，2C??，从而

63336???2?2C??0,或2C???,，既C?,或C?,故

3363?2????2?。 A?,B?,C?,或A?,B?,C?63666325..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA

(I) 求AB的值： (II) 求sin?2A???????的值 4?ABBC ?sinCsinA（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=

sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BD225（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= ?2AB?AC5于是 sinA=1?cos2A?5 5

从而sin2A=2sinAcosA=

所以 sin(2A-

4322

,cos2A=cosA-sinA= 552???)=sin2Acos-cos2Asin= 4441026.（2009四川卷理）在?ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且

310 cos2A?,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a,b,c的值。

103102，?cosB?1?sinb? 1010解：（Ⅰ）?A、B为锐角，sinB?又cos2A?1?2sinA?23， 5?sinA?5252，cosA?1?sinA?， 55253105102???? 5105102?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB??0?A?B?? ?A?B??4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C? 由正弦定理

23?,?sinC?.

24abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b，c?5b

Qa?b?2?1，

?2b?b?2?1，?b?1 ?a?2,c?5

??27.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， ?n n?(siB??,sAip?(b?2,a?2) . ，

???（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

?????（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

3uvv证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,

即a?ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b ?b?2R2R??ABC为等腰三角形

uvuv解 （2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0 ?a?b?ab

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab

222即(ab)2?3ab?4?0

?ab?4(舍去ab??1)

11??S?absinC??4?sin?3 223

2007—2008年高考题

一、选择题

1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,

2

2

2

则角B的值为 A.

B.

C.

D.

（ ）

? 6

? 3?5?或

66?2?或

33

答案 D

2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

5 18 B.

33 C.

24 D.

7 8答案 D

3.（2008陕西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c?则a等于

2，b?6，B?120

?，

（ ）

A．6 答案 D

B．2

C．3

D．2

4.（2007重庆）在△ABC中，AB?3，A?45?，C?75?，则BC? Ａ．3?3 答案 Ａ

Ｂ．2

Ｃ．2

Ｄ．3?3 （ ）

5.(2007山东)在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）

????2????????A.AC?AC?AB ????2????????C.AB?AC?CD

答案 C 二、填空题

????2???????? B.BC?BA?BC

????????????????????2(AC?AB)?(BA?BC)D.CD? ????2AB7.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若则cosA?_________. 答案 ?3b?ccosA?acosC，

?3 38.(2008湖北)在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,则

bccosA?cacosB?abcosC的值为 . 答案

61 21?，C?150，BC?1，则AB? . 39.（2007北京）在△ABC中，若tanA?答案

10

210.（2007湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，

c?3，则B? ．

答案

5? 611.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .

答案 3

三、解答题

12.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东

45?且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45?+?(其中sin?=26??，0???90)且与点A相距1013海里的位置C. 26（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=402，AC=1013，?BAC??,sin??26. 26??由于0???90,所以cos?=1?(262526)?. 2626由余弦定理得BC=

AB2?AC2?2AB?ACcos??105.

所以船的行驶速度为105?155（海里/小时）. 23（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= 2AB=40, 2?x2=ACcos?CAD?1013cos(45??)?30, y2=ACsin?CAD?1013sin(45??)?20. 所以过点B、C的直线l的斜率k=

?20?2,直线l的方程为y=2x-40. 10|0?55?40|?35?7.

1?4又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.

解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得，