大学物理下毛峰

第10章 气体动理论 习题及答案

1、什么是热力学系统的平衡态？气体在平衡态时有何特征？当气体处于平衡态时还有分子热运动吗？

答：一个系统在不受外界影响的条件下，其宏观性质不随时间变化，则称该系统处于平衡态。 平衡态的特征：

（1） 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换。 （2） 系统的宏观性质不随时间改变。

气体处于平衡态时，气体分子仍然处于无规则的热运动。 2、何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应、核反应、电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。由于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为m的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

E?miRT是温度的单值函数． M23、温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度的微观本质是分子平均平动动能的量度． 4、试说明下列各量的物理意义．

1i3kT （2）kT （3）kT 222mii3RT （5）RT （6）RT （4）

M222（1）

解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能为

1kT． 23kT. 2ikT. 2miRT. M2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量为

(4)由质量为m，摩尔质量为M，自由度为i的分子组成的系统的内能为(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为

iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平

23动动能之总和为RT.

25、最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物

1

理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

6、速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．

（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv （4）

?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）?Nf(v)dv

0?v2v1解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)(5)(6)

?v0f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．

??0f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

?v2v1Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

7、在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等。就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

8、如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

9、题图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢气? 题图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

2

题9图 10、下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动．

解：(1) 2，(2)3，(3)6

11、如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平均动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能

3kT． 253kT，氦分子的平均动能kT． 2253(3)不相等，因为氢分子的内能?RT，氦分子的内能?RT．

2212、某柴油机的气缸内充满了空气，压缩前其中空气的温度为47℃，压强为8.61×104Pa。当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的1/17，此时压强增大到4.25×106Pa，求此时空气的温度（分别以K和℃表示）。

解：设空气质量为m，摩尔质量为M。 空气被压缩前后均可视为理想气体，则有；

p1V1?mmRT1， p2V2?RT2 MM

所以

13、有一水银气压计，当水银柱为0.76 m高时，管顶离水银柱液面0.12 m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部时，水银柱高下降为0.6 m，此时温度为27℃，试计算在管顶的氦气质量 (He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?

mRT 得 MpV m?M

RT解：由理想气体状态方程pV?

3

汞的重度 dHg?1.33?105N?m

?3氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg

氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3

m?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)

?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)

?1.91?10?6Kg

14、设有N个粒子的系统，其速率分布如图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

题14图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

??Nf(v)?av/v0(0?v?v0)?Nf(v)?a(v?0?v?2v0) ?Nf(v)?0(v?2v0)?av/Nv0(0?v?v0)f(v)???a/N(v?0?v?2v0) ?0(v?2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N(2)由归一化条件可得

?v0av0Ndv?N?2v0Nvvadv?Na?2003v 0

4

(3)可通过面积计算?N?a(2v0?1.5v0)?(4) N个粒子平均速率

1N 32v0av2dv??avdv

v0v0v???01vf(v)dv?Nv???0vNf(v)dv??v001123211(av0?av0)?v0 N32915、容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa( 即1atm )，温度为27℃，求

(1)分子数密度n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)

2方均根速率v；(7)分子的平均动能ε．

解：(1)由气体状态方程p?nkT得

p0.1?1.013?105?324mn???2.45?10 ?23kT1.38?10?300(2)氧分子的质量

m?Mmol0.032?26 kg ??5.32?1023N06.02?10MRT 得 Mmol(3)由气体状态方程pV?Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13 kg?m?3

RT8.31?300(4)分子间的平均距离可近似计算

e?(5)平均速率

13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

v?1.60 (6) 方均根速率

RT8.31?300?1.60?446.58 m?s?1 Mmol0.032v2?1.73(7) 分子的平均动能

RT?482.87m?s?1 Mmol??

55kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J 225

8、下列过程是可逆过程还是不可逆过程？说明理由。

（1） 恒温加热使水蒸发；

（2） 由外界做功使水在恒温下蒸发；

（3） 在体积不变的情况下，用温度为T2的炉子加热容器中的空气，使它的温度由T1升到T2； （4） 高速行驶的卡车突然刹车停止。 答：（1）不可逆。因为加热使外界发生了变化。 （2）不可逆。因为做功使外界发生了变化。 （3）不可逆。因为加热使外界发生了变化。 （4）不可逆。因为刹车有耗散力做功。

9、热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为

SB?SA??BdQdQ可逆不可逆；如果P为不可逆过程，其熵变为SB?SA??，你说对吗？哪一个表

AATTB述要修改，如何修改？

答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：

dQ可逆SB?SA??

ATB如果过程P为不可逆过程，其熵变为

SB?SA??BdQ不可逆TA

10、如图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J． (1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?

(2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?

题10图

解：由acb过程可求出b态和a态的内能之差 Q??E?A

?E?Q?A?350?126?224 J

adb过程，系统作功A?42 J

11

Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J 系统放热

11、1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量？增加了多少内能？对外作了多少功？ (1)体积保持不变； (2)压强保持不变． 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得Q??E

吸热 Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1) 23?8.31?(350?300)?623.25 J 2对外作功 A?0

Q??E?(2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??吸热 Q?i?2R(T2?T1) 25?8.31?(350?300)?1038.75 J 2 ?E??CV(T2?T1) 内能增加 ?E?3?8.31?(350?300)?623.25 J 2.75?623.5?415.5J 对外作功 A?Q??E?103812、一个绝热容器中盛有摩尔质量为M(mol)，比热容比为?的理想气体，整个容器以速度v运动。若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)．

12mv，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变化 2m1CV?T?mv2 ?E?M2解：整个气体有序运动的能量为 ?T?111Mv2?Mv2(??1) 2CV2R13、0.01 m3氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T?300K

12

由p1V1?p2V2 求得体积 pV0.1 V112???0.01?1?10?4 m3p 210对外作功

A??RTlnV2V?pVlnp11 1p2 ?0.1?1.013?105?0.01?ln0.01

??4.67?102J

(2)绝热压缩C5V?2R ??75 由绝热方程 p??p?1V11/?1V1?p2V2 V2?(p)

21 Vp?1V11/?p12?(p)?()?V1

2p25?(0.110)7?0.01?3.73?10?4m 由绝热方程T??11p??1?T????12p2 得 T??T???11p2.42?3001?(100)0.4p??1T2?1118K

1热力学第一定律Q??E?A，Q?0 所以 A??mMCV(T2?T1) pV?mpV5MRT，A??11RTR(T2?T1) 12A??1.013?105?0.001300?52?(1118?300)??690.8 J

14、理想气体由初状态(p1,V1)经绝热膨胀至末状态(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.

13

答：证明： 由绝热方程

pV??p1V1??p2V2??C 得p?p1V1?1 V?A??pdV

V1V2A??V2V1p1V1?dvp1V1?11(V2???1?V1???1) p1V1r??(??1???1)????1v??1V2V1?p1V1?V1???1?p2V2?V2???1 ?

??1所以 A?p1V1?p2V2

??115、1 mol的理想气体的T-V图如图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．

题15图

解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为 K?T0 2V0得过程方程 T?T0V 2V0由状态方程 pV??RT 得 p??RTV

ab过程气体对外作功

A??A????16、某理想气体的过程方程为Vp

1/22V0V02V0v02V0v0pdV

2V0RTRT0dV??VdVV0VV2V0RT0RTdV?02V02

?a,a为常数，气体从V1膨胀到V2．求其所做的功．

14

解：气体作功

A??pdV

v1V2A??V2V1a2a2V2121dV?(?)?a(?) V12VV1V2V17、设有一以理想气体为工质的热机循环，如图所示．试证其循环效率为

答：等体过程

吸热 绝热过程 等压压缩过程

放热 循环效率

V1?1??1??V2p 1p?12 Q1???CV(T2?T1) Q1?Q??Cp1V2p21V(R?V1R) Q?3?0 Q?2??Cp(T2?T1) Q2?Q?2???CP(T2?T1) ?Cp2V1p2V2P(R?R)

??1?Q2Q 1??1?Q2Q?1?Cp(p2V1?p2V2)1CV(p1V2?p2V2)

??1??(?1/?2?1)(p1/p2?1)题17图 题19图

15

18、一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率 ??1?T2 T1??1?(2)低温热源温度不变时，若

300?70% 1000 ??1?300?80% T1要求 T1?150K0，高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时，若

??1?T2?80% 1000要求 T2?200K，低温热源温度需降低100K

19、如图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和C点的温度分别为T2和T3．求此循环效率．这是卡诺循环吗? 解：(1)热机效率

??1?Q2 Q1???CP(T2?T1) AB等压过程 Q1吸热 Q1?mCP(TB?TA) M??vCP(T2?T1) CD等压过程 Q2??放热 Q2??Q2mCP(TC?TD) MQ2TC?TDTC(1?TD/TC) ??Q1TB?TATB(1?TA/TB)根据绝热过程方程得到

?1????1??AD绝热过程 p?ATA?pDTD

??1????1??BC绝热过程 pBTB?pCTC

16

又 pA?pBpC?pDTDT ?TCTB

??1?T3 T2(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

20、（1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功？从-173℃向27℃呢？

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

e?Q2T2 ?A静T1?T27℃→27℃时，需作功

A1?T1?T2300?280Q2??1000?71.4 J T2280?173℃→27℃时，需作功

A2?T1?T2300?100Q2??1000?2000J T2100(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

21、有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)． 解：两个容器中的总熵变

S?S0??TCCmoldTdT ??molT1T2TTTTTT2 ?Cmol(ln?ln)?Cmolln

T1T2T1T2因为是两个相同体积的容器，故

Cmol(T?T2)?Cmol(T1?T) 得 T?T2?T1 2 17

(T2?T1)2 S?S0?Cmolln

4T1T222、把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问： (1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大?

(3)水和热源的总熵变多大？增加还是减少？(水的熔解热??334 J?g?1) 解：(1)水的熵变

Q0.5?334?103?S1???612 J?K?1

T273(2)热源的熵变

Q?0.5?334?103?S2????570 J?K?1

T293(3)总熵变

?S??S1??S2?612?570?42 J?K?1

熵增加

第12章 机械振动 习题及答案

1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）（2）

；(3)

；(4)

.

；

答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。 对于简谐振动，有

,故（3）表示简谐振动。

2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？

（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。 解：当

时，

（1）劲度系数k不变。 （2）频率不变。

（3）总机械能

（4）最大速度

18

(5) 最大加速度

3、劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为

K串等效位移为x，则有

F??k串xF1??k1x1

F2??k2x2

又有 x?x1?x2

x?所以串联弹簧的等效倔强系数为

FF1F2 ??k串k1k2k串?k1k2

k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为

T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有 k并x?k1x1?k2x2 故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为

19

T??2?4. 完全相同的弹簧振子，

m

k1?k2 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？

k k m (b)

vm (a)

vm (c)

解：对于弹簧振子， （a） （b）

,故 ，故 ，故

时，

,

k k m (d)

，故

（c） ，故

，故

（d）

,故 ，故

5、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

20

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，

沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

sin??Td2mgx1?mdt2 T1R?T2R?I? d2xdt2?R? T2?k(x0?x) 式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

mR?IR)d2(xdt2??kxR

令 ?2?kR2mR2?I 则有

d2xdt2??2x?0 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

T?2?mR2???2?Im?I/R2kR2(?2?K) 6、质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?3)求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T?2???14s,?0?2?/3 又 v?1?1m??A?0.8?m?s ?2.51m?s

①

②

③ (SI)的规律作谐振动，

21

am??2A?63.2m?s?2

(2) Fm?mam?0.63N

E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即

12mvm?3.16?10?2J 212112kx??(kA) 222∴ x??22A??m 2207、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：

(1)x0??A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2(4)过x??A2处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ??x0?Acos?0

?v0???Asin?02?t??) T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T32?5x?Acos(t??)

T4x?Acos( ,速度

,加速

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

?1???2???3??4?8. 物体沿x轴作简谐振动，在度

,试求：

32?35?4时刻，其坐标为

（1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。

22

解：设 ，则时

(1)

(2)

0.00922?8.5 cm A?x?2?0.085??023.522022v0tan???

v0?0.0092????0.00461 ?0x023.5?(?0.085)??95.10

处，且向左运动时，另

9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在一个质点2在

处，且向右运动。求这两个质点的相位差。

解：由旋转矢量图可知，当质点1在而质点2在

处，且向左运动时，相位为

；

。

处，且向右运动，相位为（如图）。所以他们的相位差为

?310、一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间；

23

(3)在x?12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??2?T?0.5?rad?s?1

又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x20.5?24?10?cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?3?(?)2?0.17??4.?3

22?10N方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

t?t时 xA0??2,且v?0,故??t?3 ∴ t??????3/?2?23s (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E?1kA2?12m?2A22?1?10?10?3(?2)2?(0.24)22 ?7.1?10?4J11、图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

解：由题图(a)，∵t?0时，x30?0,v0?0,??0?2?,又,A?10cm,T?2s 即 ??2?T??rad?s?1

24

故 xa?0.1cos(?t?由题图(b)∵t?0时，x0?3?)m 2A5?,v0?0,??0? 23255又 ?1???1????

325∴ ???

655?)m 故 xb?0.1cos(?t?6312、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10 cm，当物块离开平衡位置6 cm时，速度为24 cm/s。

问：

（1）此简谐振动的周期是多少？

（2）物块速度为12 cm/s时的位移是多少？ 解：设

已知

，故

，

,

t?1时，x1?0,v1?0,??1?2???

(1)当

（2）当

时

13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。 解：

25

x b a S x O

设木块质量为m，底面积为S，水的密度为

，木块受到重力

和浮力

. 平衡时，

,以水面上某点为原点，向上为x轴建立坐标系，则当木块在图示位置时，合

力为

由牛顿第二定律

故

可见，木块作简谐振动，振幅为

，

，

?314、有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水?4?1平向右的冲量F?t?1.0?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振

幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有

F??t?mv?0

26

F??t1.0?10?4??0.01∴ v??3m10?10m?s-1

按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s?1 ＞0 ∴

?0?3?/2

??g9.8??3.13rad?s?1 l1.02x0?(又

∴ A?故其角振幅

v0?)2?v0??0.01?3.2?10?3m 3.13??小球的振动方程为

A?3.2?10?3rad l32??3.2?10?3cos(3.13t??)rad

15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．

?，6

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2

?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则

2A2?A12?A2?2A1A2cos?

2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1?0即??

?2，这说明，A1与A2间夹角为

??，即二振动的位相差为. 2227

16、已知两简谐振动的振动方程分别为 ,试求其合成运动的振幅及初相。

解：由 ， 知：

合成震动振幅为

初相为

17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

?(1) ?x1?5cos(3t?????3)cm ?x1?5cos(3t?3)cm??x7? (2)?4? 2?5cos(3t?3)cm??x2?5cos(3t?3)cm解： (1)∵ ????7?2??1?3??3?2?, ∴合振幅 A?A1?A2?10cm

(2)∵ ???4?3??3??, ∴合振幅 A?0

18、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

和

28

??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ????5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m

5?Asin?1?A2sin?266?3 tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??

6?其振动方程为 x?0.1cos(2t?)m

60.4?sin?0.3sin(作图法略)

19、如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为

?x?6cos2?tcm，求y方向的振动方程．

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为两分振动位相差为

?3?或；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知

22?.所以y方向的振动方程为 2y?12cos(2?t??2)cm

第13章 机械波 习题及答案

1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)．

29

(2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．

当谐波方程y?Acos?(t?)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．

(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 2、下列几种说法中，有哪些是正确的？

（1） 波源的震动频率与波动的频率是不同的。 （2） 波源的振动速度与波速相同。 （3） 波源的震动周期与波动的周期相同。

（4） 在波传播方向上任一质点的振动相位比波源相位滞后。 答：（1）不正确，对于简谐振动，波源的振动频率与波动频率相同。 （2）不正确，波源的振动速度与波速是两个不同概念，两者不相等。 （3）正确。 （4）正确。

3、有人在写沿x轴正方向传播的波动方程时，认为波从原点O传播到坐标为x的P店，P点的振动要比O点的晚一段时间谐波的振动方程为

，因而点O在t时刻的相位在

时刻才能传到P点，因而平面简

xu

你认为如何？

答：这种思路是错误的。

第一、应始终以任意质元P点为研究对象。 第二、时间坐标t应定义在P点。

第三、以O点的相位来定义P点的方程，这似乎是矛盾的。

4、波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y=Acos?(t?式?

30

x)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形u

解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，t?0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成

xy?Acos?(t?)时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了

u拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程． 5、波动方程y=Acos［?(t?又是什么意思？

解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；质元比原点落后的振动位相．

6、波在介质中传播时，为什么质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?

解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为y?f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为?y/?x.波动势能则是与?y/?x的平方成正比．由波动曲线图(题图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处?y/?x?0)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

x?x?xx??0)，)+?0］中的表示什么？如果改写为y=Acos (?t?uuuu?x则表示x处u

对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．

7、一平面简谐波在弹性介质中传播，在介质质点从最大位移处回到平衡位置过程中，下列哪些说法是错误的？

（1）它的势能转化为动能。 （2）它的动能转化为势能。

（3）它从相邻的一段介质质点获得能量，其能量逐渐增加。 （4）把自己的能量传给相邻的一段介质质点，其能量逐渐减小。

答：平面简谐波在弹性介质中传播，当质元在最大位移处，振动速度为零，形变为零，故该位置能量最小，当质元在平衡位置时，振动速度最大，形变最大，故该位置能量最大，因此当质元从最大

31

位移回到平衡位置时，它要从相邻质元获得能量，且能量逐渐增加。故该题中（3）是正确的，（1）（2）（4）是错误的。

8、两列波能发生干涉的条件是什么？两列振动方向相同，频率相同的波在空间相遇时，能否发生干涉？为什么？

答：两列波的干涉条件是：频率相同，震动方向相同，相位差恒定。

两列振动方向相同，频率相同的波在空间相遇，不能发生干涉，因为相位差不恒定。 9、

10、驻波是怎样形成的？驻波形成以后，介质中各质点的振动相位有什么关系？为什么说驻波中相位没有传播？

答：两列振幅相同，传播方向相反的相干波叠加后形成的波即为驻波。

驻波中，相邻两波节之间各点的振动相位相同，而每一波节两边质点的振动相位相反。 由于驻波波节振幅为零，始终处于静止状态，故驻波中没有相位传播。

11、声波在空气中的波长是0.250 m，波速是340 m/s，当它进入另一种介质时，波长变成了0.790 m，试求声波在这种介质中的波速。

解：由于波的频率与介质无关，故在不同介质中，波的频率相同。由

得

即 得 12、已知一波的波动方程为

,

(1) 求波长，频率，波速及传播方向；

（2）说明x=0时波动方程的意义，并作图表示。 解：（1）与标准波动方程

比较得

，于是有

波长 角频率

32

频率 波速 传播方向为x轴正方向。 （2）当

时波动方程就成为该处质点的振动方程

震动曲线如图所示。

5 0 0.1 0.2 0.3

13、波源的振动方程为求：

（1）距波源6.0 m处一点的振动方程； （2）该点与波源的相位差。

,它所激起的波以2.0 m/s的速度在一条直线上传播，

解：波源振动方程为

则波方程为

(1) ，则

(2)该点与波源的相位差为

14、一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质点的振动频率为?=2. 0 Hz，振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程．

33

解: 由题知t?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，故知原点的振动初相为

?,取波动方程为2y?Acos[2?(tx?)??0]则有 T?x?y?0.1cos[2?(2t?)?]

12?0.1cos(4?t?2?x??2)m

15、如图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．

(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少? (2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少? 解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有

对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2

对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0

23?对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??

2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)

(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有

对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B???

?????0,vO??0，∴?O对于O点：∵yO?2

??对于A点：∵y?A??A,vA?0，∴?A?0

? 23?????0,vC??0，∴?C对于C点：∵yC

2?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B? (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)

16、如图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2)P点的振动方程．

解: (1)由题图可知，A?0.1m，??4m，又，t?0时，y0?0,v0?0，∴?0??，而2 34

u??x1u2??2m?s?1，????0.5 Hz，∴??2???? ?t0.5?4故波动方程为

x?y?0.1cos[?(t?)?]m

22(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为

y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m

17、一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由图可知A?0.1m，t?0时，y0?A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m， 2310?5Hz

?2∴ ??2???10?

u?10m?s?1，则??u?(1)波动方程为

y?01.cos[10?(t?x?)?]m 103

A?4?,vP?0，∴?P? (P点的位相应落后于0点，故取负值) 234∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t??)

3x?4(3)∵ 10?(t?)?|t?0???

10335∴解得 x??1.67m

3 (2)由图知，t?0时，yP??

35

（3）

27、两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．

(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为

y?0.06cos(?x?4?t)?0.06cos(?x?4?t) ?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

令?x?(2k?1)?x?(2k?1)12,则2，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置．

(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2 m处的振幅由下式决定，即

A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m

28、一汽笛发出频率为1000 Hz的声波，汽笛以10 m/s的速率离开人而向一悬崖运动，试问： （1）人听到的直接从汽笛传来的声波的频率为多大？

（2）人听到的从悬崖反射回来的声波的频率为多大？(设空气中的声速为340m/s) 解：

，

(1)汽笛离开的运动，由

得

41

（2）汽笛向着悬崖运动，则悬崖处的频率为

人听到的频率亦为1030.3 Hz

29、火车A行驶的速率为72 km/h，汽笛发出的声波频率为800 Hz。相向而来的另一列火车B，行驶速率为90 km/h，火车B的司机听到火车A汽笛声的频率是多少？设空气中的声速为340 m/s。 解：已知

由

得

第14章 光的干涉习题解答

1．某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化?

解: ?不变，为波源的振动频率；?n??空n变小；u??n?变小．

2．什么是光程? 在不同的均匀介质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同？在光程差与相位差的关系式???解:?2???中，光波的波长要用真空中波长，为什么？

?nr．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为?t??． C因为?中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。

3．在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？试说明理由。 (1)使两缝之间的距离变小；

(2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中；

(4)光源作平行于S1、S2连线方向的上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝。 解: 由?x?D?知，(1)条纹变疏；(2)条纹变密；(3)条纹变密；(4)零级明纹在屏幕上作相反方向d42

的上下移动；(5)零级明纹向下移动．

4．在空气劈尖中，充入折射率为n的某种液体，干涉条纹将如何变化？ 解：干涉条纹将向劈尖棱边方向移动，并且条纹间距变小。

5．当将牛顿环装置中的平凸透镜向上移动时，干涉图样有何变化？

解：透镜向上移动时，因相应条纹的膜厚ek位置向中心移动，故条纹向中心收缩。

6．杨氏双缝干涉实验中，双缝中心距离为0.60mm，紧靠双缝的凸透镜焦距为2.5m，焦平面处有一观察屏。

（1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹间距为2.3mm，求入射光波长。 （2）当用波长为480nm和600nm的两种光时，它们的第三级明纹相距多远？ 解：（1）由条纹间距公式?x?D?，得 d?x?d2.3?10?3?0.6?10?3????552nm

D2.5Dx?k?（2）由明纹公式d，得

D2.5?9?x?k(???)?3??(600?480)?10?1.5mm 21 ?3d0.6?107．在杨氏双缝实验中，双缝间距d=0.20mm，缝屏间距D＝1.0m。

(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm，计算此单色光的波长； (2)求相邻两明条纹间的距离。

D1?103k?知，6.0??2?， 解: (1)由x明?d0.2∴ ??0.6?10?3mm ?600nm

D1?103?0.6?10?3?3 mm (2) ?x???d0.28．白色平行光垂直入射间距为d?0.25mm的双缝上，距离D?50cm处放置屏幕，分别求第一级和

第五级明纹彩色带的宽度。设白光的波长范围是400nm～760nm，这里说的“彩色带宽度”指两个极端波长的同级明纹中心之间的距离。

解：由明纹公式可得各级明纹彩色带的宽度为

?xk?Dk?? d则第一级明纹彩色带的宽度?x1?50?10?20.25?10?3?1?(760?400)?10?9?0.72mm

第五级明纹彩色带的宽度?x5?50?10?20.25?10?3?5?(760?400)?10?9?3.6mm

9．在双缝装置中，用一很薄的云母片(n=1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置．若入射光的波长为550 nm，则此云母片的厚度是多少？

43

解: 设云母片厚度为e，则由云母片引起的光程差为

??ne?e?(n?1)e

按题意 ??7?

7?7?5500?10?10??6.6?10?6m ?6.6?m ∴ e?n?11.58?110．一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上．油的折射率为1.30，玻

璃的折射率为1.50，若单色光的波长可由光源连续可调，可观察到500nm与700 nm这两个波长的单色光在反射中消失，求油膜层的厚度。

解: 油膜上、下两表面反射光的光程差为2ne，由反射相消条件有

2ne?(2k?1)当?1?500nm时，有

1?(k?)? (k?0,1,2,???) ① 2k2?12ne?(k1?)?1?k1?1?250 ②

2当?2?700nm时，有

12ne?(k2?)?2?k2?2?350 ③

2因?2??1，所以k2?k1;又因为?1与?2之间不存在?3满足

12ne?(k3?)?3式

2即不存在 k2?k3?k1的情形，所以k2、k1应为连续整数，

即 k2?k1?1 ④ 由②、③、④式可得：

k1?k2?2?100?1?7k2?17(k1?1)?1 ?55得 k1?3

k2?k1?1?2

可由②式求得油膜的厚度为

e?k1?1?250?673.1nm

2n11．白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，试问该膜的正面呈现什么颜色？背面呈现什么颜色? 解: 由反射干涉相长公式有

44

2ne??2?k? (k?1,2,???) 4ne4?1.33?38020216??

2k?12k?12k?1得 ??k?2, ?2?673.9nm (红色)

k?3, ?3?404.3 nm (紫色)

所以肥皂膜正面呈现紫红色．

由透射干涉相长公式 2ne?k?(k?1,2,???) 所以 ??当k?2时， ? =505.4nm (绿色)

故背面呈现绿色．

12．在折射率n1=1.52的镜头表面涂有一层折射率n2=1.38的MgF2增透膜，如果此膜适用于波长

2ne1010.8? kk?=550nm的光，问膜的厚度最小应取何值?

解: 设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即

12n2e?(k?)?(k?0,1,2,???)

21(k?)?2?k??? ∴ e?2n22n24n2550550k??(199.3k?99.6)nm

2?1.384?1.38令k?0，得膜的最薄厚度为99.6nm． 当k为其他整数倍时，也都满足要求．

13．如图所示，波长为680 nm的平行光垂直照射到L＝0.12m长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径d=0.048mm的细钢丝隔开。求：

?(1)两玻璃片间的夹角；

(2)相邻两明条纹间空气膜的厚度差； (3)相邻两暗条纹的间距；

(4)在这0.12m内呈现的明条纹的数目。

习题13图

解: (1)由图知，Lsin??d，即L??d

故 ??d0.048?4??4.0?10(rad) L0.12?103(2)相邻两明条纹空气膜厚度差为?e?

?2?3.4?10?7m

45

?6800?10?10?6??850?10(3)相邻两暗纹间距l?m?0.85 mm ?42?2?4.0?10L?141条 l14．折射率为1.60的两块标准平板玻璃形成一个空气劈尖，用波长600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉图样。当在劈尖内充满折射率为1.40的液体时，相邻明纹间距缩小了?l?0.5mm，求劈尖角

(4)?N?的大小。

解：没充液体时，相邻明纹间距为l??2? ?2n?

充满液体时，相邻明纹间距为l??则?l?????? ，得2?2n??(1?)1n?1.71?10?4rad 2?l?415．有一劈尖，折射率n=1.4，劈尖角??10rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两相邻明条纹之间的距离为0.25cm，（1）试求此单色光在空气中的波长；（2）如果劈尖长为3.5cm，那么总共可

出现多少条明条纹？

解：（1）相邻明纹间距为l?2n?，得??2n??l?700nm

?3.5?N??14条 （2）可出现的明条纹条数为0.2516．用波长?为500nm的平行光垂直入射劈形薄膜的上表面，从反射光中观察，劈尖的 棱边是暗纹。若劈尖上面介质的折射率n1大于薄膜的折射率n(n=1.5)。求：

(1)膜下面介质的折射率n2与n的大小关系；

(2)第十条暗纹处薄膜的厚度；

(3)使膜的下表面向下平移一微小距离?e，干涉条纹有什么变化?若?e=2.0μm，原来的第十条暗纹处将被哪级暗纹占据?

解: (1)n2?n．因为劈尖的棱边是暗纹，对应光程差??2ne??2?(2k?1)?2，膜厚e?0处，有

k?0，只能是下面媒质的反射光有半波损失

(2) e?9??才合题意； 2?2n?1500nm

（因第10条暗纹为第9级暗纹）

(3)膜的下表面向下平移，各级条纹向棱边方向移动．若?e?2.0μm，原来第10条暗纹处现对应的膜厚为e??(1.5?10

?3?2.0?10?3)mm

46

有 k?2ne???21

现被第21级暗纹占据．

17．(1)若用波长不同的光观察牛顿环，?1＝600nm，?2＝450nm，观察到用?1时的第k个暗环与用?2时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm。求用?1时第k个暗环的半径。(2)如在牛顿环中用波长为500nm的第五个明环与用波长为?2的第六个明环重合，求未知波长?2。 解: (1)由牛顿环暗环公式

rk?kR?

据题意有 r?∴k?kR?1?(k?1)R?2

，代入上式得

?2?1??2r?R?1?2

?1??2190?10?2?600?10?9?450?10?9 ? ?9?9600?10?450?10?1.85?10?3m

(2)用?1?500nm照射，k1?5级明环与?2的k2?6级明环重合，则有

r?(2k1?1)R?1(2k2?1)R?2 ?22∴ ?2?2k1?12?5?1?1??500?409.1nm

2k2?12?6?1

18．曲率半径为R的平凸透镜放在一标准平板上面，当以单色光垂直照射透镜时，观察反射光的干涉条纹。如果测得牛顿环的第m条和第n条明环之间的距离为l，求入射光的波长？ 解：由明环半径公式 r明?(2k?1)R? 2n(?2R?1)?l 2有

(2m?1R?)?2 47

l2得 ?? R[m?n?1?(2m?1)(2n?1)]19．牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一高度为e0的间隙。现用波长为?的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，试求反射光形成的牛顿环各暗环半径。 解：设第k级暗环的半径为

rk，对应的空气层厚度为ek，则根据几何关系有：

rk2?R2?(R?e0?ek)2

2通过近似运算得rk?2Rek?2Re0

根据暗环形成条件??2ek?代入上式即可得rk??2?(2k?1)?2

R(k??2e0)

20．把折射率为n=1.632的玻璃片放入迈克耳逊干涉仪的一条光路中，观察到有150条干涉条纹向一方移过。若所用单色光的波长为?=500nm，求此玻璃片的厚度。 解: 设插入玻璃片厚度为d，则相应光程差变化为

2(n?1)d??N?

?N?150?500?10?9?5.9?10?5m?5.9?10?2mm ∴ d??2(n?1)2(1.632?1)21．利用迈克耳逊干涉仪可测量单色光的波长．当M1移动距离为0.322mm时，观察到干涉条纹移动数为1024条，求所用单色光的波长。 解: 由 ?d??N?2

?d0.322?10?3?2?得 ??2 ?N1024?6.289?10?7m ?628.9nm

第15章 光的衍射 习题解答

1．为什么声波的衍射比光波的衍射更加显著？

解：因为声波的波长远远大于光的波长，所以声波衍射比光波显著。 2．衍射的本质是什么？衍射和干涉有什么联系和区别？

解：波的衍射现象是波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时所发生的展衍现象．其实质是由被障碍物或孔隙的边缘限制的波阵面上各点发出的无数子波相互叠加而产生．而干涉则是由同频率、同方向及位相差恒定的两列波的叠加形成．

3．什么叫半波带？单缝衍射中怎样划分半波带？对应于单缝衍射第三级明条纹和第四级暗条纹，单缝处波阵面各可分成几个半波带？

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解：半波带由单缝A、B首尾两点向?方向发出的衍射线的光程差用纹和第四级暗条纹，单缝处波阵面可分成7个和8个半波带． ∵由asin??(2k?1)?来划分．对应于第三级明条2?2?(2?3?1)

?2?7??2

asin??4??8??24．在单缝衍射中，为什么衍射角?愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度愈小？

解：因为衍射角?愈大则asin?值愈大，分成的半波带数愈多，每个半波带透过的光通量就愈小，而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的，所以亮度减小．

5．若把单缝衍射实验装置全部浸入水中，衍射图样将发生怎样的变化？如果此时用公式

asin???(2k?1)长？

?2(k?1,2,?)来测定光的波长，问测出的波长是光在空气中的还是在水中的波

k?，而空气中为asin??k?，n解：当全部装置浸入水中时，由于水中波长变短，对应asin???k???∴sin??nsin??，即??n??，水中同级衍射角变小，条纹变密． 如用asin???(2k?1)?(k?1,2,???)来测光的波长，则应是光在水中的波长．(因asin?只代表光2在水中的波程差)．

6．单缝衍射暗纹条件与双缝干涉明纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾？怎样说明？ 解：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为asin??k??2k?，是用半波带法分析(子波叠加问题)．相邻2两半波带上对应点向?方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数，故形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为dsin??k?，描述的是两路相干波叠加问题，其波程差为波长的整数倍，相干加强为明纹．

7．光栅衍射与单缝衍射有何区别？为何光栅衍射的明纹特别明亮而暗区很宽？

解：光栅衍射是多缝干涉和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多缝干涉．光强与缝数N成正比，所以明纹很亮；又因为在相邻明纹间有(N?1)个暗纹，而一般很大，故实际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景．

8. 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明纹缺级? (1)a?b?2a；(2)a?b?3a；(3)a?b?4a

解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时，出现缺级．即

2?(a?b)sin???k?(k?0,1,2,?) ?(k??1,2?)?asin???k??可知，当k?a?bk?时明纹缺级． a(1)a?b?2a时，k?2,4,6,???偶数级缺级；

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(2)a?b?3a时，k?3,6,9,???级次缺级； (3)a?b?4a，k?4,8,12,???级次缺级．

9．若以白光垂直入射光栅，不同波长的光将会有不同的衍射角。 （1）零级明纹能否分开不同波长的光？ （2）在可见光中哪种颜色的光衍射角最大？ （3）不同波长的光分开程度与什么因素有关？

解：(1)零级明纹不会分开不同波长的光．因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强．

(2)可见光中红光的衍射角最大，因为由(a?b)sin??k?，对同一k值，衍射角???． （3）对于同一级明纹，波长相差越大条纹分开程度越大。

10．为什么天文望远镜物镜的孔径做得很大？射电天文望远镜和光学望远镜，哪种分辨率更高？ 解：光学仪器的最小分辨角为?0?1.22?D，它的倒数为分辨率，当D越大或者?越小，分辨率就越

大，所以用的天文望远镜物镜的孔径很大，提高了分辨率；由于微波的波长比可见光的波长要小，故射电天文望远镜的分辨率更高。

11．单缝宽0.40mm，透镜焦距为1m，用??600nm的单色平行光垂直照射单缝。求： （1）屏上中央明纹的角宽度和线宽度；

（2）单缝上、下端光线到屏上的相位差恰为4?的P点距离中央明纹中心的距离； （3）屏上第一级明纹的线宽度；

解：（1）第1级暗条纹中心对应的衍射角?1为

6?10?7?3rad?1.5?10rad ?1?sin?1???4a4?10? 故中央明纹的角宽度为

??0?2?1?3?10?3rad

而中央明纹的线宽度为

l0?2ftg?1?2f?1?2?1?1.5?10?3m?3mm

（2）相位差为4?，则对应的光程差为2?，即

asin??2?

故屏上P点应形成第二级暗纹，它到中央明纹中心的距离为 x?ftan??fsin??f2??3mm a（3）屏上第一级明纹的线宽度为中央明纹线宽度的1/2，解之得

l?f?a?1.5?10?3m?1.5mm

12．在单缝夫琅禾费衍射实验中，用波长?1?650nm的单色平行光垂直入射单缝，已知透镜焦距

f?2.00m，测得第二级暗纹距中央明纹中心3.20?10?3m。现用波长为?2的单色平行光做实验，

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