基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元

第19卷第1期 2002年 2 月

文章编号：1000-4750(2002)01-001-08

工 程 力 学 ENGINEERING MECHANICS

Vol.19 No. 1 Feb. 2002

基于一阶剪切变形理论的 新型复合材料层合板单元

岑 松1，龙驭球2，姚振汉1

(1. 清华大学工程力学系，北京100084；2. 清华大学土木系，北京100084)

摘 要：基于一阶剪切变形理论(FSDT)，本文构造一种新型的20自由度(每结点5个自由度)，四边形复合材料层合板单元，适合于任意铺设情形的层合板的计算。它是按如下方式构造的：(1) 单元每边的转角和剪应变由Timoshenko层合厚梁理论来确定；(2) 对单元域内的转角场和剪应变场进行合理的插值；(3) 引入平面内双线性位移场来体现层合板面内与弯曲的耦合作用。本文单元，记为TMQ20，不存在剪切闭锁现象，在计算单层的各向同性板时可以退化为文[1]中优质的中厚板单元TMQ。在文[2]中将给出本文单元对于层合板问题的详细数值算例。

关键词：有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论(FSDT)；Timoshenko层合梁 中图分类号：TB33, TU33 文献标识码：A

1 引言

复合材料层合板壳结构在现代工业中有着非常广泛的应用，而有限元法是计算这类复杂结构的有效手段。目前，用于复合材料层合板分析的单元主要基于下列理论：

l 基于Kirchhoff假设的经典层合板理论(CLT)； l 一阶剪切变形理论(FSDT) l 高阶剪切变形理论 l 叠层理论(Layerwise)

由于一阶剪切变形理论比较简单，适用于薄板到中厚板较大的范围，所以一直受到特别的重视，不断有研究者提出新的单元模式[3~5]。

文[1]从Timoshenko厚梁理论出发，成功地将著名的薄板单元DKQ[6]发展为基于一阶剪切变形理论的中厚板单元TMQ。本文利用了上述成果，将平面内双线性位移场引入TMQ单元中，将其发展为适用于任意铺设情形的复合材料层合板单元TMQ20。

———————————————

收稿日期：2001-08-20

2 基本理论

２．１　复合材料层合板的一阶剪切变形理论　

如图1所示线弹性任意n层层合板中任一点(x, y, z)的位移为：

u(x,y,z)=u0(x,y) zψx(x,y) 0

v(x,y,z)=v(x,y) zψy(x,y) (1) w(x,y,z)=w(x,y)

图1 复合材料层合板中面上的位移和内力 Fig.1 Forces and displacements at the mid-plane of a

laminated composite plate

板的总应变

基金项目：清华大学基础研究基金项目(JC1999002)，国家自然科学基金(59878022)，中国博士后科学基金 作者简介：岑 松(1972.8)，男，工学博士，博士后，从事计算力学研究方向

龙驭球(1926.1)，男，工学学士，教授，中国工程院院士，从事结构工程研究方向

姚振汉(1939.4)，男，工学博士，教授，清华大学固体力学研究所所长，从事固体力学研究方向

2 工 程 力 学

ε=ε0+zκ (2)

其中ε0和κ分别为中面面内应变场和板的曲率场， ε=[εxεyγxy]T (3) ε

=[ε0xε0y0T

γxy]

u0

=[ x v0 y u0 v0T

+] (4) y x

κ=[κxκy=[

ψx

x

2κxy]T ψy y

ψx ψyT (5)

] y x

此外，板的横向剪应变场为 w w

γ=[γxzγyz]T=[ ψx ψy]T (6)

x y 对于第k (k=1, 2,…, n) 层板，相对于材料主轴

(轴1和轴2)坐标系，即正轴的应力应变关系为：

σ1 Q11Q120 ε1 σ2 = Q12Q220 ε2 τ 0Q66 12 k 0 k γ12 k (7a,b)

Q44 τ23

= τ13 k 0

0 γ23 Q55 k γ13 k

11k 12k Q 22k 16k Q26k Q 66k 44k 45k 55k

4224

=Q11klk+2(Q12k+2Q66k)lkmk+Q22kmk

2244

)=(Q11k+Q22k 4Q66k)lkmk+Q12k(lk+mk4224

=Q11kmk+2(Q12k+2Q66k)lkmk+Q22klk

3

=(Q11k Q12k 2Q66k)lkmk

3+(Q12k Q22k+2Q66k)lkmk

3

=(Q11k Q12k 2Q66k)lkmk3

+(Q12k Q22k+2Q66k)lkmk44

)+Q66k(lk+mk

22

=Q44klk+Q55kmk=(Q55k Q44k)lkmk

22

=Q44kmk+Q55klk

22=(Q11k+Q22k 2Q12k 2Q66k)lkmk

(11)

lk=cosθk,mk=sinθk (12)

其中θk为第k层板x轴与材料主轴1的夹角。k12,

2

k1k2和k2为剪切修正系数。

其中

Q11k=Q12k=Q22k

E1k

,

1 µ12kµ21k

层合板的本构关系可表示为：

N AB ε σp= = =Cpεp (13)

M BD κ

T=Csγ (14) 其中N为中面膜力；M为板的弯矩；T为横向剪力；A为拉伸刚度；B为弯拉耦合刚度；D为弯曲刚度；Cs为剪切刚度， N=[NxM=[Mx

NyMy

Nxy]T,Mxy],

T

µ21kE1kµ12kE2k

=Q21k=,

1 µ12kµ21k1 µ12kµ21k (8)

E2k

=

1 µ12kµ21k

T=[TxTy] B11 B 12 B16

B12

B22B26

T

(15a,b,c)

Q66k=G12k,Q44k=G23k,Q55k=G13k

这里σ1k和σ2k是第k层板两个主轴方向的正应力；τ12k是第k层板面内剪应力；τ23k和τ13k是第k层板横向剪应力。ε1k、ε2k、γ12k、γ23k和γ13k是上述应力所对应的应变。E1k和E2k分别为平行于材料纤维方向(轴1)和垂直于材料纤维方向(轴2)的杨氏弹性模量；G12k是面内剪切模量；G23k和G13k是横向剪切模量；µ12k为主泊松比。

于是，第k层板在xoy坐标系下，即偏轴的应力应变关系为：

σx 111216 εx

σk= σy = 122226 εy =kε (9)

τ 162666 γxy xy

k

k

A11A12A16

,B=A= AAA122226

A16A26A66 D11D12D16

DDDD= 122226

D16D26D66 C55C45 Cs= =

C45C44

Aij= Bij=

Dij=

0Cij

0 k12C55

0 k1k2C45n

B16

B26 B66

(16a,b,c)

0 k1k2C45

(17) 20 k2C44

∫ t∫∫

t2

t2

ijdz=

∑ijk(tk tk 1)

k=1

τ

τzk= yz

τxz k

2 k244k1k245 γyz = =Cskγ2

kkQkQ 1245 k γxz 155

1n22

(i,j=1,2,6)(18) tkQijzdz=Qijk(tk 1) t2k=1

t1n233

tkijzdz=ijk(tk 1) t23k=1

∑

∑

(10)

=

Qijk(tk tk 1) (i,j=4,5) (19) ∫ 2Qijdz=∑k=1

tn

tk为第k层板上表面的z坐标，t0= -t/2，tk=t/2。t

其中

为板的厚度。

2.2 Timoshenko层合梁理论

基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元 3

如图2，根据Timoshenko梁理论，层合梁的挠度w，转角ψs和剪应变γ的公式如下[8]：

d

w=wi(1 r)+wjr+(ψsi ψsj)F2

2 (20a)

d

Γ(1 2δ)F32

ψs=ψsi(1 r)+ψsjr+3(1 2δ)ΓF2 (20b)

γ=

δΓ (20c)

其中

4224

(Q11d)k=Q11klkd+2(Q12k+2Q66k)lkdmkd+Q22kmkd(23) lkd=cos(θk θd),mkd=sin(θk θd) (24)

2Cd=(k12ld

22+k2md)

∑(Q55d)k(tk tk 1) (25)

k=1

n

其中

22

(55d)k=Q55kld+Q44kmd (26)

ld=cosθd,md=sinθd (27)

容易证明，当总厚度t→0时，δ→0，这样γ→0，不存在剪切闭锁问题。

3 单元列式

如图4所示任意四边形4结点层合板单元，其自由度定义如下：

a

e=[u1v1w1ψx1ψy1Mu2v2w2ψx2ψy2

u3v3

w3ψx3ψy3Mu4v4

w4ψx4ψy4]T

图2 复合材料层合梁单元

Fig.2 The Timoshenko laminated composite beam element

(28)

其中

2 =( wi+wj) ψsi ψsjΓ d 6λ δ=

1+12λ

(21) Dd

=λ

Cdd

F2=r(1 r)

F3=r(1 r)(1 2r)

式(21)中的Dd和Cd分别为梁的弯曲和剪切刚度。

图4 四边形4结点层合板单元

Fig.4 4-node quadrilateral laminated composite plate element

由于式(20)和(21)将在下面模拟板单元边界的位移和应变模式，所以Dd和Cd将用层合板相应的量代替。参考图3，它们可确定如下：

1n33

D

d=∑(Q11d)k(tk tk 1) (22) 3k=1

３．１　剪应变场的确定　

由式(20c)可得单元每边的剪应变γsi(i=1,2,3,4)为

δ1

2(w2 w3)+(c1ψx2 b1ψy2)= γ s1

d1

+(c1ψx3 b1ψy3)] δ

γs2= 2[2(w3 w4)+(c2ψx3 b2ψy3)

d2

+(c2ψx4 b2ψy4)]

(29) δ3

γs3= 2(w4 w1)+(c3ψx4 b3ψy4)

d3

+(c3ψx1 b3ψy1)]

δ

[2(w1 w2)+(c4ψx1 b4ψy1)γ= s4

d4

+(c4ψx2 b4ψy2)]

图3 Timoshenko层合梁单元ij在xoy坐标系

与第k层板材料主坐标系1o2中的方位 Fig.3 The orientation of a beam element ij in the coordinate system xoy and the material principal coordinate

system 1o2 of the kth layer of a plate

其中di(i=1,2,3,4)分别为23，34，41，12边的边长， b1=y2 y3b2=y3 y4b3=y4 y1b4=y1 y2

c1=x3 x2c2=x4 x3c3=x1 x4c4=x2 x1

(30)

4 工 程 力 学

δi=

6λi

,

1+12λi

λi=

DdiCdidi2

(i=1,2,3,4) (31)

Ddi和Cdi分别由式(22)和(25)给出。令

γ*si=diγsi

**

γ*s=[γs1γs2

* γx1 b3 b4 1 γs4

= * (38a) γy1 b3c4 b4c3 c3 c4 γs3

(i=1,2,3,4) (32)

*T

γ*s3γs4] (33)

于是有

*e

γ*s=Γa (34) 其中

0 * 0Γ= 0 000

00

00

00 c3δ3b3δ3 c4δ4b4δ4

b1δ100

00 2δ10000000

02δ4

c1δ100 c4δ40 c2δ2 c3δ30

b1δ100b4δ4

同理，对于结点2，3和4可得

* γx2 b4 b1 1 γs1

= * (38b) γy2 b4c1 b1c4 c4 c1 γs4

* γx3 b1 b2 1 γs2 = * (38c) γy3 b1c2 b2c1 c1 c2 γs1

γx4 1 =

γy4 b2c3 b3c2 b2 c 2

* b3 γs3

* (38d) c3 γs2

02δ3

0 2δ4

2δ1

00 2δ20000

00

c1δ1 c2δ200

00

b2δ200

00

02δ20

00 2δ3

0 b2δ2 b3δ3

0

整理式(38)可得

*

γxi=Xsγ*si,γyi=Ysγsi (39) 其中

γxi=[γx1γx2γx3γx4]Tγyi=[γy1γy2γy3γy4]T

Xs=

0

b

b4c1 b1c4 b2

b1c2 b2c1

0

Ys=

0

c4

b4c1 b1c4 c

b1c2 b2c1

0

00cb1c2 b2c1

c3

b2c3 b3c2

c4

b3c4 b4c3

00c2

b2c3 b3c2

c3 b3c4 b4c3

c1

b4c1 b1c4 0

0

(40)

(35)

如图5所示，单元各边的方向余弦定义如下：

c4c1

=s

x=sxcos(,)cos(,)1223 d4d1

bb

cos(s12,y)= cos(s23,y)= d4d1

(36)

c2c3

cos(s41,x)=cos(s34,x)= d2d3 bb cos(s41,y)= 3 cos(s34,y)= 2

d2d3

00b1

b1c2 b2c1

b3

b2c3 b3c2

b4

b3c4 b4c3

00

b2

b2c3 b3c2

b3 b3c4 b4c3

b

b4c1 b1c4 0

0

(41a)

图5 (γx1,γy1)和(γs3,γs4)的几何关系 Fig.5 The geometric relationship between

(γx1,γy1)and (γs3,γs4)

(41b)

由单元角点的剪应变γxi和γyi，可得单元剪应变场如下：

0000 γxz=γx1N1+γx2N2+γx3N3+γx4N4

0000 (42) γ=γN+γN+γN+γN y11y22y33y44 yz其中

110

=(1+ξ)(1 η),(1 ξ)(1 η),N2

44 (43) 1100

N3=(1+ξ)(1+η),N4=(1 ξ)(1+η)

44

将式(34)和(39)代入式(42)得

0=N1

单元的边41和12在结点1处相交，则边41和12

上的剪应变γs3和γs4可以按如下的几何关系用焦点的剪应变(γx1,γy1)表示如下：

γs4 cos(s12,x)cos(s12,y) γx1 = γs3 cos(s41,x)cos(s41,y) γy1

cosθ1sinθ1 γx1 = cosθ2sinθ2 γy1

(37)

于是由式(37)，(36)和(32)可得

基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元

0 γxz NsXsΓ* e

γ= = 0* a=Bsae (44)

NsYsΓ γyz

5

其中Bs为单元剪切应变矩阵，

0 NsXsΓ*

Bs= 0* (45)

NsYsΓ 0

Ns=[N10

N2

0N3

0N4] (46)

３．２　转角场的确定　

如图6所示，设令点5，6，7和8分别是边23，

34，41和12的中点。沿边23的法向转角和切向转角可表示为

ψ

n 1 b1 c1 ψx = ψ (47) ψ dcb s 231 11 y 23

31

=(1 2)( ) (1 6δ1)wwψδ5132s 2d14d1 [c1(ψx2+ψx3) b1(ψy2+ψy3)] 31 ψs6=(1 2δ2)(w4 w3) (1 6δ2)

2d24d2

[c2(ψx3+ψx4) b2(ψy3+ψy4)]

(50) 31

ψs7=(1 2δ3)(w1 w4) (1 6δ3)

2d34d3

[c3(ψx4+ψx1) b3(ψy4+ψy1)]

31

= (12)()(1 6δ4)ψδww8421s 2d44d4 [c4(ψx1+ψx2) b4(ψy1+ψy2)]

对于23边中点5上的(ψx5,ψy6)可由式(47)确

定：

ψx5 1 b1c1 ψn5 = (51) ψdcb y5111 ψs5

同理可得(ψx6,ψy6)，(ψx7,ψy7)和(ψx8,ψy8)。将式(49)

图6 单元各边的切向和法向

Fig.6 The normal and tangential direction along element sides

和(50)代入这些表达式，整理可得：

~=αaeψx

(52) e~ψ=βa

y

其中

~=[ψT

ψxx5ψx6ψx7ψx8],

(53) T~ψy=[ψy5ψy6ψy7ψy8]β=[β1β2

α1= 0

0 0 0

000

3c3

00

1

02c23b(1 6δ3)] 23

22d3

2c12

[b (1 6δ4)]24

22d4

0 3b3c3

(1 2δ3) 2 4d3

3bc

(1 2δ4) 24d4

于是对于边23上的结点2和3可得

ψn2 1 b1 c1 ψx2 = ψ ψdc b1 y2 s2 231 1

(48) ψ ψn3 1 b1 c1 x3

=

ψs3 d1 c1 b1 ψy3 设单元每边的法向转角ψn是线性分布的，因此对于结点5可得

1

[b1(ψx2+ψx3)+c1(ψy2+ψy3)] (49a) ψn5= 2d1 类似地，对于结点6，7和8可得

1

ψn6= b2(ψx3+ψx4)+c2(ψy3+ψy4)]

2d21

ψn7= b3(ψx4+ψx1)+c3(ψy4+ψy1)] (49b,c,d)

2d31

ψn8= b4(ψx1+ψx2)+c4(ψy1+ψy2)]

2d4

结点5，6，7，8上的切向转角ψs由式(20b)确定如下：

α=[α1

α2α3β3

β4]

α4]

(54a, b)

(1 2δ3)22d33c

0 2(1 2δ4)

2d4

α2= 0 0 0 0 0 0 0 0

0 000

3c1

(1 2δ1)2d12

003c4

(1 2δ4)22d43c1

2 12c13b1c1

[b (1 6δ1)](1 2δ1) 212

24d12d1 00

00 2

12c43b4c4

[b4 (1 6δ4)](1 2δ4) 22 22d44d4

α3=

2d12

3c0 (1 2δ2)2

2d2

000

(1 2δ1)

12d1

1[b2 21

c12

(1 6δ1)]2

δ(1 2) 1

4d12

3bcδ(1 6δ2)](1 2) 22

4d2

0

0

3b1c1

b2

222d2

2c 20

6

α4=

0 00

3c2

(1 2δ2) 002d2 2

3c3

(1 2δ3) 00 2d2 3

000 β1= 0 0 0 0 β2

000 0=

3b1c14d12

(1 2δ1)003bc24d4

工 程 力 学

场：

02c22

b[ (1 6δ2)]22

22d2

2c312

[b (1 6δ3)]23

22d3

01

003b3c3

24d33b4c44d4

3b2c2

(1 2δ) 22

4d2

3b3c3

(1 2δ) 324d3

0 0

u=∑

i=1

4

Ni0ui,

v=∑Ni0vi (57)

i=1

4

00(1 2δ3)2

2d33b4

(1 2δ4)2d43b3

(1 2δ3)(1 2δ4)

0 2b12

[c3 3(1 6δ3)] 2 22d3

2

b412

[c4 (1 6δ4)] 22d4 b12

(1 6δ1)] 2

0

0 2b12

[c4 (1 6δ4)] 2 22d4 c2212d11

b12

(1 6δ1)] 2 2 b12

cδ[(16)] 22 2

22d2

0

0 [c2

212d11

0 2 b22

cδ[(16)] 222

22d2 2 b123

cδ[ (1 6)] 3322d3

0 1

8

3b1

(1 2δ1) 00

2d12

000

0 00

b3 00 (1 2δ)

42 2d4

β3=

3b1

(1 2δ1) 00 2d12

3b(1 2δ2) 0022d2

000

0 00

β4= 0 0 0 0

00 00

3b2

0(1 2δ2)2

2d23b3

(1 2δ3)2d3

8

(1 2δ4)

3b1c14d123bc24d2

３．４　单元面内应变场与曲率场　 单元面内应变场ε0为

ε0=Beae (58)

其中Be为单元面内应变矩阵，

Be=[Be1Be2Be3Be4] (59)

N0

i

0000

x 0

Ni

000 (i=1,2,3,4) (60) Bei= 0

y 0 0

Ni Ni

000 y x

x 1 ξ =J (61)

y η J 1是雅可比矩阵的逆矩阵。

(1 2δ1)(1 2δ2)000

单元的曲率场可由式(5)，(52)和(55)求得： κ= (H0+H1α+H2β)ae=Bbae (62)

其中Bb为单元弯曲应变矩阵

Bb= (H0+H1α+H2β) (63) H0=[H01

H02

H03

H04] (64) 0 Ni

(i=1,2,3,4) (65) y Ni x N8 x 0 N8 y (66a,b) 0 N y N8 x

00 H0i= 00

00 N5 x H1= 0

N5 y 0 NH2= y

N5 x

Ni

x00 N6 x0 N6 y0 N y N6 x

0 Ni y N7 x0 N7 y0 N y N7 x

3b2c2

24d23b3c34d3

(1 2δ2)(1 2δ3)0

设单元转角场为

ψx=∑Niψxi,

i=1

ψy=∑Niψyi (55)

i=1

其中 N1= N2N3N4N5N7

1

(1 ξ)(1 η)(1+ξ+η)41

= (1+ξ)(1 η)(1 ξ+η)

41

= (1+ξ)(1+η)(1 ξ η)

4(56) 1

= (1 ξ)(1+η)(1+ξ η)

4

11

=(1 η2)(1+ξ);N6=(1 ξ2)(1+η)2211=(1 η2)(1 ξ);N8=(1 ξ2)(1 η)22

３．３　中面的面内位移场　

板中面的面内位移u0和v0设为双线性位移

式(13)中的εp可表示为

基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元

0 Be ε

εp= = ae=Bpae (67)

Bb κ

7

当应用TMQ20单元计算单层各向同性板的弯曲问题时，其结果可以退化为文[1]中的TMQ元的

结果。从文[1]的数值算例中可以看到：对于单层各向同性板单元精度高，收敛性好，对网格畸变不敏感。当板厚t→0时，单元(弯曲部分)可以退化为薄板单元DKQ，不存在剪切闭锁现象。

本文单元TMQ20针对任意铺设的复合材料层合板的弯曲问题同样具有很好的性能，其具体的算例将在文[2]中给出。 参考文献：

[1] 岑松, 龙志飞, 龙驭球. 对转角场和剪应变场进行

合理插值的四边形厚板元[J].工程力学, 1999,16(4):1-15.

Cen Song, Long Zhifei and Long Yuqiu. A quadrilateral Mindlin plate element with improved interpolation for the rotation and shear strain fields [J]. Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics,1999,16(4):1-15.(in Chinese) [2] 岑松, 龙驭球, 姚振汉. 用杂交法改善应力解的新

型复合材料层合板单元[J]. 工程力学, 2002, 19(2). Cen Song, Long Yu-qiu and Yao Zhen-han. A new

displacement-based element for the analysis of laminated composite plates with improved hybrid stress distributions[J]. Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics, 2002, 19(2): (in Chinese)

[3] G. Singh, K. K. Raju and G. V. Rao. A new lock-free,

material finite element for flexure of moderately thick rectangular composite plates[J], Comput. & Structures, 1998, 69: 609-623.

[4] E. A. Sadek. Some serendipity finite elements for the

analysis of laminated plates[J]. Comput. & Structures, 1998, 69: 37-51.

[5] F. Auricchio and E. Sacco. A mixed-enhanced finite-element for

the analysis of laminated composite plates [J]. Int. J. Numer. Methods eng., 1999, 44: 1481-1504.

[6] J. L. Batoz, M. B. Tahar. Evaluation of a new quadrilateral

thin plate bending element [J]. Int. J. Numer. Meth. Engng., 1982, 18:1655-1677.

[7] J. N. Reddy. Mechanics of Laminated Composite Plates-Theory and

Analysis[M]. Boca Raton: CRC Press, 1997.

[8] 岑松, 龙志飞. 一种新型厚薄板通用三角形广义协

调元[J]. 工程力学, 1998, 15(1): 10-22.

Cen Song and Long Zhifei. A new triangular generalized

conforming element for thin-thick plates [J]. Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics, 1998, 15(1): 10-22. (in Chinese)

３．５　单元刚度矩阵　

层合板单元的应变能为

1T

Ue=ae∫∫eBpTCpBpdA ae

A2 (68) 1eT

+a∫∫eBsTCsBsdA ae

A2

其中Ae为单元的面积。由最小势能原理导出的单元刚度矩阵为

Ke=∫∫eBpTCpBpdA+∫∫eBsTCsBsdA

A

A

=∫

1

1 11

∫

1

BpTCpBpJξdη

1

T

(69)

+∫Bs

1∫ 1

CsBsJdξdη

其中J为雅可比行列式，采用3×3高斯积分计算式(69)。

此单元记为TMQ20。。

当板的厚度t趋向于零时，由于δi→0(参见式(21))，单元刚度矩阵中的剪切项将会自动消失，避免了剪切闭锁现象的发生。 ３．６　单元荷载列阵　

在单元的推导过程中没有涉及挠度场w的插值，为了计算横向分布荷载的结点等效荷载列阵，可以设挠度场w为：

w=Nwae (70) 其中

Nw=[00N1

00

0N3

0000000

0N2

0N4

0000]

(71)

Ni0(i=1,2,3,4)由式(43)给出。于是对于横向分布荷

载x,y)，等效结点荷载列阵为 fe=[00

00

fz1fz3

00000000

fz2fz4

0000]

T

(72)

其中 fzi=∫

x,y)Ni0dA=eA

∫ 1∫ 111

*(ξ,η)Ni0

Jdξdη

(73)

(i=1,2,3,4)

4 结论

本文提出一个基于一阶剪切变形理论(FSDT)

的四结点四边形二十个工程自由度的层合板单元TMQ20。它是由四边形厚薄板通用单元TMQ(参见文[1])新增加中面双线性位移场构造而成的，以适用于层合板任意铺设情况。

8 工 程 力 学

A NEW ELEMENT BASED ON THE FIRST-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY FOR THE ANALYSIS OF LAMINATED

COMPOSITE PLATES

CEN Song1, LONG Yu-qiu2, YAO Zhen-han1

(1. Department of Engineering Mechanics; 2. Department of Civil Engineering, Tsinghua University 100084)

Abstract: Based on the first-order shear deformation theory (FSDT) a simple displacement-based, 20 DOF (5 DOF per node) quadrilateral bending element for the analysis of arbitrary laminated composite plates is presented in this paper. It is constructed through the following procedures: (i) the tangential rotation and the shear strain along each element side are determined by Timoshenko laminated composite beam theory. (ii) the shear strain and rotation fields within the element are then determined by improved rational interpolation. (iii) a bilinear in-plane displacement field is introduced for the coupling of in-plane and bending actions. The new element, denoted by TMQ20, is free of shear locking. It degenerates into the high-performance Mindlin plate element TMQ when dealing with single layer isotropic plates. Numerical examples to verify the proposed element for analysis of laminated composite plates will be presented in another paper published in the next issue of this Journal.

Key words: finite element; laminated composite plate; first-order shear deformation theory; Timoshenko

laminated composite beam

(上接033页)

SLIDING ROOF SYSTEM—A VIBRATION ABSORBER FOR BUILDINGS

TIAN Zhi-chang , QIAN Jia-ru

(Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing, 100084, P. R. China)

Abstract: A sliding roof system is proposed as a means to reduce dynamic response of buildings to earthquake excitations. In the system, frictional materials are inserted between the roof slab and the beams that support it. The roof slab and the beams are connected by springs. The optimum stiffness of the system is determined in such a way that the seismic response of the building is the minimum. A comparative study on the response of an eight-story frame structure with/without the proposed system to ground motions is carried out to assess the effectiveness of the system. It is found that the energy dissipation capacity of the system has nonlinear property. The effectiveness of the system is related to the frequency content and the acceleration value of the ground motion. The system reduces the maximum lateral displacement response and the maximum inter-story drift response of the analyzed building by as much as 45 percent on average except the roof.

Key words: sliding roof system; P-TMD; energy absorber

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2vwe.html