大学物理上复习资料 - 图文

内容提要

位矢：r?r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k

???????????位移：?r?r(t??t)?r(t)??xi??yj??zk

一般情况，?r??r

????rdrdx?dy??i?速度：??lim?t?0?tdtdtdt?????d?d2r???2?加速度：a?lim?t?0?tdtdt?

圆周运动

?dz???????j?k?xi?yj?zk

dtd2x?d2y?d2z??????????i?2j?2k?xi?yj?zk 2dtdtdtd???? 角速度：??dtd?d2????2?? （或用?表示角加速度） 角加速度：??dtdt线加速度：a?an?at 法向加速度：an?切向加速度：at?线速率：??R?

弧长：s?R?

内容提要

动量：p?m? 冲量：I?????2R?R?2 指向圆心

d??R? 沿切线方向 dt????t2t1?Fdt

t2?t2????动量定理：dp??Fdt p?p0??Fdt

t1t1????动量守恒定律：若F??Fi?0，则p??pi?常矢量

ii

???力矩：M?r?F

质点的角动量（动量矩）：L?r?p?mr??

???????dL角动量定理：M外力?

dt????角动量守恒定律：若M外力??M外力?0，则L??Li?常矢量

i

??B?xByBzB?功：dW?F?dr WAB??F?dr 一般地 WAB??Fxdx??Fydy??Fzdz

AxAyAzA动能：Ek?1m?2 21122m?B?m?A 22动能定理：质点， WAB?

质点系，W外力?W内力?Ek?Ek0

保守力：做功与路程无关的力。

保守内力的功：W保守内力??(Ep2?Ep1)???Ep 功能原理：W外力?W非保守内力??Ek??Ep

机械能守恒：若W外力?W非保守内力?0，则Ek?Ep?Ek0?Ep0

内容提要

转动惯量：离散系统，J??mr?2ii

2连续系统，J?rdm

平行轴定理：J?JC?md2 刚体定轴转动的角动量：L?J? 刚体定轴转动的转动定律：M?J??刚体定轴转动的角动量定理：力矩的功：W?Md?

dL dt?t2t1Mdt?L?L0

?dW?M? dt12转动动能：Ek?J?

2力矩的功率：P?刚体定轴转动的动能定理：

???0Md??112J?2?J?0 22内容提要

库仑定律：F??q1q2?er 24??0r1??F电场强度：E?

q0??带电体的场强：E??Ei??idq?e 2r4??0r静电场的高斯定理：

??LS?1?E?dS??0?qi

??E静电场的环路定理：??dl?0

电势：Vp???p??E?dl

带电体的电势：V?

?Vi??dq4??0r

导体静电平衡：电场，○1导体内场强处处为零；○2导体表面处场强垂直表面 电势，○1导体是等势体；○2导体表面是等势面

??D?dS??qi 电介质中的高斯定理：??S???各向同性电介质：D??0?rE??E

电容：C?Q U1Q211?QU?CU2 电容器的能量：W?2C22题7.4：若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为

r处的电场强度为

1Q E???04r2?L2（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为

E?1Q2??0r4r2?L2

若棒为无限长（即L??），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。

题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此

时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq = Qdx/L，它在点P的电场强度为

1dqdE?e 2r?4??0r整个带电体在点P的电场强度 E??dE

接着针对具体问题来处理这个矢量积分。

（1） 若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，

E??dEi

L（2） 若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为

零，因此，点P的电场强度就是 E??dEyj??sin?dEj

LL证：（1）延长线上一点P的电场强度E??则

EP??dq，利用几何关系r??r?x统一积分变量，

L4??r?20Qdx1?11???-L24??L(r?x)24??0L?r?L2r?L0L21?1Q ??2???04r2?L2电场强度的方向沿x轴。

（3） 根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为

E??Lsin?dq

4??0r?2利用几何关系sin??rr?,r??r2?x2统一积分变量，则

E??rQdxQ?2232-L24??2??0r0L(x?r)L211L2?4r2

当棒长L??时，若棒单位长度所带电荷为?常量，则

P点电场强度

E?limL??1QL2??0r1?4r2L2?? 2??0r此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这

说明只要满足r2L2??1，带电长直细棒可视为无限长带电直线。

题7.5：一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度

题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl，其电荷此电荷元可视为点电荷dq?强度dE?dqer。因圆环上电荷对y轴呈对称性

4??0r21Qdl，它在点O的电场?R分

布，电场分布也是轴对称的，则有?dEx?0，点O的合电场强度E??dEyj，统一积分变

LL量可求得E。

解：由上述分析，点O的电场强度

1sin?QEO????2?dl

L4???RR0由几何关系dl?Rd?，统一积分变量后，有

EO????014??0sin?d???Q2??0R22

方向沿y轴负方向。

题7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为E??（提2?0示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）

题7.6分析：求点P的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为

dq??2?rdr或d???dy 求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。 证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均相同，因而P处的电场强度

xdq1??2?xrdrE??dE??i??4??0(r2?x2)32i4??0(r2?x2)32

??i2?0电场强度E的方向为带电平板外法线方向。

证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为

E?Exi??dEcos?i??? xdy?i22??2??0y?x?i 2?0积分得E?电场强度E的方向为带电平板外法线方向。

上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。

题7.10：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：作半径为R的平面S?与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

?E?dS?S1?0?q?0

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