2012中考动点问题汇编 - 图文

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中考动点问题汇编

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．

【答案】

2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，

1x1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

y＝－2＋b交折线OAB于点E．

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

y D B C O E A x

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

3若直线经过点A（3，0）时，则b＝2

5若直线经过点B（3，1）时，则b＝2 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

3①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤2，如图25-a，

yDCEOBAx图1

1 此时E（2b，0）

1∴S＝2OE·CO＝2×2b×1＝b

35②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即2＜b＜2，如图2

yDCBEOAx图2 b?3

2），D（2b－2，1）

此时E（3，

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

115?b1b?35b?b2＝ 3－[2(2b－1)×1＋2×(5－2b)·(2?b??S???5b?b2??2∴

1?b?32?b?3252

)＋2×3(2)]＝2

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部

分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

yC1DCMBO1HONEAA1x图3

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，

1B1由题易知，tan∠DEN＝2，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a?(2?a)?1，∴

5222a?54

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝4

5∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为4．

3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y??x?bx?c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

t?114时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

2① 当

② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2

【答案】解：（1）因抛物线y??x?bx?c经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为y??x?4x????????????????1分

2y???x?2??4y??x?4x由

222得当x=2时，该抛物线的最大值是4. ????????????????2分

（2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.

?4k?b?0?k??2??2k?b?4b?8?于是得，解得?

所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ????????????????3分

t?1111P(1111,)44???????4分

由已知条件易得，当

4时，OA=AP=4，

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.

t?114时，点P不在直线ME上. ??????????????5分

∴ 当

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ?????????????6分

∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ???????????????????????????????7分

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴

11S=2DC·AD=2×3×2=3.

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD，

11∴ S=2(CD+PN)·AD=2[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3???????8分当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2???????????????????9分而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1,3）???????????????10分

即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）当0≤t＜1时，S=2当1≤t＜3时，S=﹣当3≤t＜4时，S=﹣4当4≤t＜6时，S=（3）存在．

理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=

，

t2+3t+20

t+4t+； t+36

；；；

t2﹣12

∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°， ∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，

1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=，在Rt△AME中，cos∠MAE═t=3+

，

，即cos30°=

，∴AE=

，即3﹣t=

或t﹣3=

，∴t=3﹣

或

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；

3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合， ∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣

或t=3+或t=2或t=2或t=0．

26（2011广西梧州，26，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．

（1）求CD的长；

（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围． A D Q

【答案】解：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm． ∴CH=BC-BH=14-6=8cm．在Rt△DCH中，

CD=DH2+CH2=82cm．

（2）当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t，

① 当Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=22·t．

又∵DH=HC，DH⊥BC， ∴∠C=45°．

∴在Rt△QCG中，QG=QC·sin∠C=22t×sin45°=2t．又∵BP=BC-PC=14-t，

∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×2t=14t-t2．

CD82当Q运动到D点时所需要的时间t===4．

2222∴S=14t-t2（0＜t≤4）．

② 当Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，

∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×8=56-4t．

CD+AD82+632当Q运动到A点时所需要的时间t===4+．

2222232∴S=56-4t（4＜t≤4+）．

综合上述：所求的函数关系式是：

A D B P C

Q G P C

A Q D S=14t-t2（0＜t≤4）．S=56-4t（4＜t≤4+

） 2

P G

（1）要使运动过程中出现PQ∥DC，a的取值范围是a≥1+2．

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；

(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为

245个平方单位？

y A P Q O B

2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0

。

（1）求面积S与时间t的关系式；

（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。

3.已知：如图①，在Rt△ACB中，?C?90?，AC?4cm，BC?3cm，点P由B出发沿BA方向

向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0?t?2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的

P 值；若不存在，说明理由；

4．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）设四边形APQC的面积为y（cm），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是 △ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

5.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=秒的速度从D点出发向A点运动

1）点E在运动过程中，△DCE中哪些量保持不变？哪些量发生变化？

2）点E在运动过程中，是否存在时间t，使得△DCE是特殊形状的三角形？若存在，求出t的值。若不存在，请说明理由？

B B C

5，AD=5，BC=3，点E在线段DA上以1个单位/

APBQCE

3）在2）的条件下，若点F从B点出发沿B→C→D以2个单位/秒的速度与点E同时运动，点F到达D

点时两点同时停止运动，在运动过程中，是否存在时间t，使四边形FCDE成为平行四边形？若存在，

求出t的值，若不存在，说明理由

4）在3）中条件不变的情况下，是否存在时间t，使△DEF成为直角三角形？若存在，求出t的值，若

不存在，说明理由

B F C

A B F E

C D

6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么

位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

D C

Q A

7．如图，把梯形OBCD放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OB在x轴正半轴上，OB＝5，OD＝BC＝2，CD＝3．

(1)直接写出∠DOB的度数；

(2)一动点M从点O出发，沿O?B?C?D?O以每秒 1个单位的速度运动，运动到点O停止．

①当点M在OB上运动时，若∠DMC＝∠DOB，请求出此时点M的坐标；

②设点M的运动时间为t秒，当点M在B?C?D?O上运动时，过点M作MN?x轴，垂足为N，问：当

t为何值时，△MNB的面积等于

34？

8．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A?开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C?后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q?作DQ⊥CB，垂足为D，则：

DQAB?CQAC）

CCQQDPAA(a)B(b)

www.czsx.com.cnwww.czsx.com.cn7．（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象

?限，顶点A在x轴的正半轴上. 另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC?AC，?C?120．现有

PB两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A?O?B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时

间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使

得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图(2)，现有?MCN?60?，其两边分别与OB，

AB交于点M，N，连接MN．将?MCN绕着

点C旋转（0??旋转角?60?），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中， △BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

【答案】解：（1）过点C作CD?OA于点D．（如图①）

yBEDPOQACx26题答图①

∵OC?AC，?ACO?120?，

∴?AOC??OAC?30?．

∵OC?AC，CD?OA， ∴OD?DA?1．

在Rt?ODC中，OC?23ODcos?AOC?1cos30??233．··································· （1分）

（ⅰ）当0?t?时，OQ?t,AP?3t,OP?OA?AP?2?3t；

过点Q作QE?OA于点E．（如图①）在Rt?OEQ中，∵?AOC?30?，∴QE?1212t23412t2OQ?，

∴S?OPQ?34OP?EQ?12(2?3t)???t?212t．

即S??t2?······················································································ （3分） t ．

y （ⅱ）当

23?t?233B时，（如图②）

OQ?t，OP?3t?2．

POQC26题答图②

∵?BOA?60?，?AOC?30?，∴?POQ?90?． ∴S?OPQ?32121232t?t．

2AxOQ?OP?t?(3t?2)?即S?t?t． 232故当0?t?（2）D(33时，S??t2?4233,0)或(312t，当

2343?t?,233时，S?32········· （5分） t?t． ·

2,1)或(23,0)或(233······································ （9分） )．·

yB（3）?BMN的周长不发生变化．

M延长BA至点F，使AF?OM，连结CF．（如图③） ∵?MOC??FAC?90?,OC?AC， ∴?MOC≌?FAC．

NAxOCF26题答图③ ∴MC?CF，?MCO??FCA． ·····························································（10分）

∴?FCN??FCA??NCA??MCO??NCA??OCA??MCN?60?． ∴?FCN??MCN．

又∵MC?CF,CN?CN．

∴?MCN≌?FCN．∴MN?NF． ······················································（11分）

∴BM?MN?BN?BM?NF?BN?BO?OM?BA?AF?BA?BO?4．

15．（2010 河北）如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B?90?，AD = 6，BC = 8，AB?33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．

（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到

最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说．．明理由．

A E D B P M 图16

Q C

A D B M

（备用图）

【答案】解：（1）y = 2t；

（2）当BP = 1时，有两种情形：

①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = BC= 4，MP = MQ = 3，

21A E ∴PQ = 6．连接EM，